Obecná definice limity funkce

Na první pohled je zjevné, že definice limity \(\lim_{x \to c} f(x) = A\) se liší podle toho, zda \(c\) a \(A\) jsou reálná čísla nebo nevlastní body. To způsobuje určité problémy při důkazu některých vět o limitách, neboť je nutné dokazovat každý případ zvlášť. Řešením těchto obtíží může být taková definice limity funkce, která nebude rozlišovat, zda \(c\) a \(A\) jsou reálná čísla nebo nevlastní body. Taková definice skutečně existuje. Abychom ji však mohli používat, musíme rozšířit definici okolí bodu i pro nevlastní body (tj. pro \(+\infty\) a \(-\infty\)).

V následujících definicích je \(\varepsilon \in \mathbb{R},\,\varepsilon \gt 0\)

Definice

\(\varepsilon\)-okolím bodu \(+\infty\) rozumíme množínu \(\{x \in \mathbb{R};\, \frac {1}{\varepsilon} \lt x\}\) .

Značení: \(\mathrm{U}(+\infty,\, \varepsilon)\).

Obr. 3.39: \(\varepsilon\)-okolí bodu \(+\infty\)
Hodnota čísla \(\varepsilon\)

\(\varepsilon\) = 10 
\(\varepsilon\) = 1   
\(\varepsilon\) = 0.5
Obr. 3.39: \(\varepsilon\)-okolí bodu \(+\infty\)

Definice

\(\varepsilon\)-okolím bodu \(-\infty\) rozumíme množínu \(\{x \in \mathbb{R};\, x \lt -\frac {1}{\varepsilon}\}\) .

Značení: \(\mathrm{U}(-\infty,\, \varepsilon)\).

Obr. 3.40: \(\varepsilon\)-okolí bodu \(-\infty\)
Hodnota čísla \(\varepsilon\)

\(\varepsilon\) = 10 
\(\varepsilon\) = 1   
\(\varepsilon\) = 0.5
Obr. 3.40: \(\varepsilon\)-okolí bodu \(-\infty\)

Definice

Prstencovým \(\varepsilon\)-okolím bodu \(+\infty\) rozumíme množínu \(\{x \in \mathbb{R};\, \frac {1}{\varepsilon} \lt x\}\) .

Značení: \(\mathrm{P}(+\infty,\, \varepsilon)\).

Obr. 3.41: Prstencové \(\varepsilon\)-okolí bodu \(+\infty\)
Hodnota čísla \(\varepsilon\)

\(\varepsilon\) = 10 
\(\varepsilon\) = 1   
\(\varepsilon\) = 0.5
Obr. 3.41: Prstencové \(\varepsilon\)-okolí bodu \(+\infty\)

Definice

Prstencovým \(\varepsilon\)-okolím bodu \(-\infty\) rozumíme množínu \(\{x \in \mathbb{R};\, x \lt -\frac {1}{\varepsilon}\}\) .

Značení: \(\mathrm{P}(-\infty,\, \varepsilon)\).

Obr. 3.42: Prstencové \(\varepsilon\)-okolí bodu \(-\infty\)
Hodnota čísla \(\varepsilon\)

\(\varepsilon\) = 10 
\(\varepsilon\) = 1   
\(\varepsilon\) = 0.5
Obr. 3.42: Prstencové \(\varepsilon\)-okolí bodu \(-\infty\)

Poznámka

\(\mathrm{P}(-\infty,\, 2) = \{x \in \mathbb{R};\, x \lt -\frac {1}{2}\} = (-\infty,\, -\frac {1}{2})\)
\(\mathrm{U}(+\infty,\, 2) = \{x \in \mathbb{R};\, \frac {1}{2} \lt x \} = (\frac {1}{2}, +\infty)\)
\(\mathrm{U}(+\infty,\, 0,1) = \{x \in \mathbb{R};\, 10 \lt x\} = (10,\, +\infty)\)

Poznámka

Proč je v definicích použito \(\frac{1}{\varepsilon}\)?

Důvod je tento: Pro okolí vlastního bodu platí, že pro menší hodnotu epsilon získáváme podmnožinu předchozího okolí. Např. \(\mathrm{P}(a,\,1) \subset \mathrm{P}(a,\,2)\) Stejnou vlastnost požadujeme i od okolí nevlastního bodu. A proto je v definici použito \(\frac{1}{\varepsilon}\). Př. \(\mathrm{U}(+\infty,\,0,1) \subset \mathrm{U}(+\infty,\,2)\).

Shrnutí

\(\mathrm{U}(+\infty,\, \varepsilon)\)=\(\mathrm{P}(+\infty,\, \varepsilon)\)=\(\{x \in \mathbb{R};\,\frac{1}{\varepsilon} \lt x\}\)
\(\mathrm{U}(-\infty,\, \varepsilon)\)=\(\mathrm{P}(-\infty,\, \varepsilon)\)=\(\{x \in \mathbb{R};\,x \lt -\frac{1}{\varepsilon}\}\)

Limitu funkce \(f\) pak můžeme definovat bez ohledu na skutečnost, zda \(c\) a \(A\) jsou reálná čísla nebo nevlastní body.

Definice

Řekneme, že funkce \(f\) má v bodě \(c\) limitu \(A\) právě tehdy, když
\(\forall \varepsilon \gt 0 \quad \exists \delta \gt 0 \quad \forall x \in \mathbb{R} \) platí \(x \in \mathrm{P}(c,\,\delta) \Rightarrow f(x) \in \mathrm{U}(A, \, \varepsilon)\)

Poznámka

Čísla \(c\) a \(A\) mohou být reálná či \(+\infty\) nebo \(-\infty\).