Limita a spojitost

Z definice limity dokažte, že \(\lim_{x \to 0} x = 0\)

• Definice limity říká, že \(\lim_{x \to 0} x = 0,\) právě když
  \(\forall \varepsilon \gt 0 \quad \exists \delta \gt 0 \quad \forall x \quad x \in \mathrm{P}(0,\,\delta) \Rightarrow f(x) \in \mathrm{U}(0,\,\varepsilon)\),
  kde \(f(x) = x\).
• Zapsáno pomocí nerovností získáme
  \(\forall \varepsilon \gt 0 \quad \exists \delta \gt 0 \quad \forall x 0 \lt |x - 0| \lt \delta \Rightarrow |x - 0| \lt \varepsilon\)
• Pro libovolné číslo \(\varepsilon\) můžeme snadno volit číslo \(\delta\) tak, aby implikace platila. Číslo \(\delta\) lze volit z intervalu \((0, \,\varepsilon \gt\), nejlépe \(\delta = \varepsilon\).

Z definice limity dokažte, že \(\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = 2\)

• Definice limity říká, že \(\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = 2,\) právě když
  \(\forall \varepsilon \gt 0 \quad \exists \delta \gt 0 \quad \forall x \quad x \in \mathrm{P}(1,\,\delta) \Rightarrow f(x) \in \mathrm{U}(2,\,\varepsilon)\),
  
• Zapsáno pomocí nerovností získáme
  \(\forall \varepsilon \gt 0 \quad \exists \delta \gt 0 \quad \forall x 0 \lt |x - 1| \lt \delta \Rightarrow \left|\frac{x^2 - 1}{x - 1} - 2 \right| \lt \varepsilon\)
• Pro libovolné číslo \(\varepsilon\) hledáme číslo \(\delta\) tak, aby implikace platila.
• Protože \(x\) má být různé od \(1\), můžeme provést úpravu:
  \(\left | \frac{x^2 - 1}{x - 1} - 2 \right | = |(x + 1) - 2| = |x - 1| \lt \varepsilon\).
• Číslo \(\delta\) lze volit z intervalu \((0, \, \varepsilon \gt\), nejlépe \(\delta = \varepsilon\).