Příklady k procvičení:
Je dána krychle \(ABCDEFGH\), \(|AB| = 6\mbox{ cm}\). Určete vzdálenost bodu \(A\) od přímky \(BH\).
Znázornění situace
Analytické řešení
Zadanou krychli jsme vhodně umístili do soustavy souřadnic:
Směrovým vektorem přímky \(BH\) (označme ji \(p\)) je vektor \(\overrightarrow{BH}=(-6;6;6)\sim (-1;1;1)\).
Parametrické vyjádření přímky \(p\) je:
\[p:\quad x=6-t;\quad y=t;\quad z=t;\quad t\in\mathbb{R}\] Najděme obecnou rovnici roviny \(\varrho\), která je kolmá na přímku \(p\) a prochází bodem \(A\).
Normálový vektor roviny \(\varrho\) odpovídá směrovému vektoru přímky \(p\), tj. \(\overrightarrow{n_\varrho}=(-1;1;1)\sim (1;-1;-1)\).
Pro obecnou rovnici roviny \(\varrho\) platí:
\[\varrho:\quad x-y-z=0\] Nyní určeme průnik \(P\) přímky \(p\) a roviny \(\varrho\):
\[p\cap\varrho:6-t-t-t=0\] \[p\cap\varrho:3t=6\quad \Rightarrow\quad t=2\] Bod \(P\) náleží přímce \(p\), proto platí:
\[P=[6-t;t;t]\] Dosaďme parametr \(t=2\) do souřadnic bodu \(P\):
\[P=[6-t;t;t]=[4;2;2]\] Zbývá nám zjistit vzdálenost bodů \(A=[0;0;0]\) a \(P=[4;2;2]\):
\[|AP|=\sqrt{(4-0)^2+(2-0)^2+(2-0)^2}=\sqrt{16+4+4}=\sqrt{24}\doteq 4,9 \mbox{ cm}\]
Syntetické početní řešení
Pro výpočet vzdálenosti \(|AP|\), kde bod \(P\) je patou kolmice vedené z bodu \(A\) k přímce \(BH\), využijeme \(\triangle ABP\).
Úhel \(ABH\) označíme \(\beta\). Nejlepším nástrojem pro získání délky úsečky \(AP\) je goniometrická funkce sinus:
\[\sin\beta=\frac{|AP|}{|AB|}\Rightarrow |AP|=|AB|\cdot\sin\beta\] Abychom tuto funkci mohli použít, musíme vypočítat velikost úhlu \(\beta\). Tu zjistíme pomocí goniometrické funkce tangens v pravoúhlém trojúhelníku \(ABH\).
Úhel \(ABH\) označíme \(\beta\).
Pro úhel \(\beta\) tedy platí:
\[\tan\beta=\frac{|AH|}{|AB|}=\frac{6\sqrt{2}}{6}=\sqrt{2}\Rightarrow\beta\doteq 54^\circ 44^{'}\] Dosaďme velikost úhlu \(\beta\) do vztahu pro výpočet \(|AP|\):
\[|A,BH|=|AP|=|AB|\cdot\sin\beta=6\sin(54^\circ 44^{'})\doteq 4,9 \mbox{ cm}\]
Syntetické konstrukční řešení
Zápis konstrukce:
\(\mbox{1) čtverec }ABCD; |AB|=6 \mbox{ cm}\)
\(\mbox{2) } k; k\perp AB\wedge D\in k\)
\(\mbox{3) } l; l(A,|AC|)\)
\(\mbox{4) } H; H\in l\cap k \)
\(\mbox{5) } m; m\perp BH \wedge A\in m\)
\(\mbox{6) } P;P\in m\cap BH\)
Provedením konstrukce jsme získali \(|AP|=|A,BH|\).
Je dána krychle \(ABCDEFGH\), \(|AB| = 6\mbox{ cm}\). Určete vzdálenost bodu \(E\) od přímky \(AS_{FH}\).
Znázornění situace
Analytické řešení
Zadanou krychli jsem vhodně umístili do soustavy souřadnic:
K řešení využijeme doplnění na rovnoběžník \(ES_{FH}AN\) (viz obrázek), jehož výška je rovna hledané vzdálenosti bodu \(E\) od přímky \(AS_{FH}\).
Výšku rovnoběžníku \(ES_{FH}AN\) odvodíme z jeho obsahu. Obsah rovnoběžníku získáme vektorovým součinem vektorů \(\overrightarrow{ES_{FH}}=(3;3;0)\), \(\overrightarrow{AS_{FH}}=(3;3;6)\).
\[\begin{eqnarray*}S&=&|\overrightarrow{ES_{FH}}\times\overrightarrow{AS_{FH}}|\\
&=&\bigl|(3\cdot 6-0\cdot 3;0\cdot 3-3\cdot 6;3\cdot 3-3\cdot 3)\bigr|\\
&=&|(18;-18;0)|\\
&=&18\sqrt{2}\end{eqnarray*}\] Nyní již můžeme vypočítat hledanou výšku rovnoběžníku \(ES_{EG}AN\):
\[|EP|=\frac{S}{|AS_{FH}|}=\frac{18\sqrt{2}}{\sqrt{3^2+3^2+6^2}}=\frac{18\sqrt{2}}{\sqrt{54}}=\frac{18\sqrt{2}}{3\sqrt{6}}=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\doteq 3,46\mbox{ cm}\]
\[|EP|=\frac{S}{|AS_{FH}|}=\frac{18\sqrt{2}}{\sqrt{3^2+3^2+6^2}}=\frac{18\sqrt{2}}{\sqrt{54}}=\frac{18\sqrt{2}}{3\sqrt{6}}=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\doteq 3,46\mbox{ cm}\]
Syntetické početní řešení
Během řešení se budeme pohybovat v trojúheníku \(AS_{FH}E\). Abychom mohli vypočítat vzdálenost \(|EP|\) (vzdálenost bodu \(E\) od přímky \(AS_{FH}\),
bod \(P\) je patou výšky vedené z bodu \(E\) v trojúhelníku \(AS_{FH}E\)) musíme určit velikost úhu \(EAS_{FH}\).
Velikost úhlu \(EAS_{FH}\) zjistíme pomocí goniometrické funkce tangens:
\[\tan(\angle EAS_{FH})=\frac{|ES_{FH}|}{|AE|}=\frac{3\sqrt{2}}{6}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow |\angle EAS_{FH}|\doteq 35^\circ 16^{'}\] Nyní využijeme goniometrickou funkci sinus, abychom získali velikost úsečky \(EP\):
\[\sin(\angle EAS_{FH}) = \frac{|EP|}{|AE|}\Rightarrow |EP|=|AE|\cdot\sin(\angle EAS_{FH})=6\sin(35^\circ 16^{'})\doteq 3,46\mbox{ cm}\]
Syntetické konstrukční řešení
Zápis konstrukce:
\(\mbox{1) čtverec } ABCD; |AB|=4 \mbox{ cm}\)
\(\mbox{2) } \leftrightarrow o; o\perp \overline{AC} \wedge C\in o\)
\(\mbox{3) } \leftrightarrow p; p\perp \overline{AC} \wedge A\in p\)
\(\mbox{4) } k; k(C,|AB|)\)
\(\mbox{5) } l; l(A,|AB|)\)
\(\mbox{6) } E; E\in p\cap l \)
\(\mbox{7) } G; G\in k\cap o \wedge G\in\longmapsto ACE\)
\(\mbox{8) } S_{FH};S_{FH}\in EG\wedge |ES_{FH}|=|S_{FH}G|\)
\(\mbox{9) } \leftrightarrow m; m\perp \overline{AS_{FH}} \wedge E\in m\)
\(\mbox{10) } P; m\cap \overline{AS_{FH}} = \{P\} \)
Provedením konstrukce jsme získali vzdálenost bodů \(E\) a \(P\), čímž jsme sestrojili vzdálenost bodu \(E\) od přímky \(AS_{FH}\) Je dán pravidelný pětiboký jehlan \(ABCDEV\) s podstavou \(ABCDE\) o středu \(S\), \(|AB| = 4\mbox{ cm}\), \(|SV| = 4\mbox{ cm}\). Určete vzdálenost bodu \(A\) od přímky \(DV\).
Znázornění situace
Analytické řešení
Zadaný pětiboký jehlan jsme vhodně umístili do soustavy souřadnic:
Souřadnice bodů \(A\), \(B\) jsme odvodili z trojúhelníku \(ABS\), jehož strana \(AB\) má délku \(4 \mbox{ cm}\) a úhel při vrcholu \(S\) má velikost \(72^\circ\). Obdobným způsobem jsme získali i souřadnice bodu \(D\). Zde jsme vycházeli z trojúhelníku \(DCS\). Souřadnice jsou zaokrouhleny na dvě desetinná místa.
Směrovým vektorem přímky \(DV\) je vektor \(\overrightarrow{DV}=(3,4;0;4)\).
Parametrické vyjádření přímky \(DV\) je:
\[p:\quad x=-3,4+3,4t;\quad y=0;\quad z=4t;\quad t\in\mathbb{R}\]
Najděme obecnou rovnici roviny \(\varrho\), která je kolmá na přímku \(DV\) a prochází bodem \(A\). Normálový vektor roviny \(\varrho\) odpovídá směrovému vektoru přímky \(DV\), tj. \(\overrightarrow{DV}=\overrightarrow{n_\varrho}=(3,4;0;4)\).
Do obecné rovnice \(3,4x+4z+d=0\) dosadíme souřadnice bodu \(A\) a získáme \(d=-9,35\).
Pro obecnou rovnici roviny platí:
\[\varrho:\quad 3,4x+4z-9,35=0\] Nyní určeme průnik \(P\) přímky \(DV\) a roviny \(\varrho\):
\[\leftrightarrow DV\cap\varrho:3,4.(-3,4)+3,4^2t+16t -9,35=0\] \[\leftrightarrow DV\cap\varrho:27,56t=20,91\quad \Rightarrow\quad t\doteq 0,76\] Bod \(P\) náleží přímce \(DV\), proto platí:
\[P=[-3,4+3,4t;0;4t]\] Dosaďme parametr \(t=0,76\) do souřadnic bodu \(P\):
\[P=[-3,4+3,4t;0;4t]\doteq [-0,82;0;3,04]\] Zbývá nám zjistit vzdálenost bodů \(A=[2,75;-2;0]\) a \(P=[-0,82;0;3,04]\):
\[|AP|=\sqrt{(-0,82-2,75)^2+(-2)^2+(3,04)^2}=\sqrt{(-3,57)^2+4+(3,04)^2}\doteq 5,1 \mbox{ cm}\]
Syntetické početní řešení
Vzdálenost bodu \(A\) od přímky \(DV\) odpovídá výšce \(AP\) v trojúhelníku \(DAV\). Abychom požadovanou délku úsečky získali, musíme zjistit velikost úhlu \(VDA\) a velikosti stran daného trojúhelníku.
Velikost úhlu můžeme získat například z trojúhelníku \(VDA\) pomocí kosinové věty. Pojďme tedy vypočítat velikost úsečky \(DS\), která je prvním krokem k získání potřebného úhlu.
Velikost úsečky \(DS\) dostaneme užitím goniometrické funkce sinus v trojúhelníku \(DSS_{CD}\):
\[|DS|=\frac{|DS_{CD}|}{\sin 36^\circ}=\frac{2}{\sin 36^\circ}\doteq 3,4\mbox{ cm}\] Pro délky hran \(AV\), \(DV\), jež jsou rameny v trohúhelníku \(VDA\), platí:
\[|AV|=|DV|=\sqrt{|SV|^2+|DS|^2}=\sqrt{4^2+3,4^2}\doteq 5,25\mbox{ cm}\] Dalším chybějícím údajem z trojúhelníku \(VDA\) je délka strany \(DA\). Získejme ji kosinovou větou v trojúhelníku \(DEA\):
Předpokládáme znalost velikosti úhlu \(DEA\), tj. \(|\angle DEA|=108^\circ\).
\[\begin{eqnarray*}|DA|^2&=&|DE|^2+|EA|^2-2|DE||EA|\cos(\angle DEA)\\
&=&4^2+4^2-2\cdot 4\cdot 4\cdot \cos 108^\circ\\
&=&32-32\cos 108^\circ
\end{eqnarray*}\] \[|DA|\doteq 6,47\mbox{ cm}\] Pro velikost úhlu \(VDA\) tedy platí:
\[\cos(\angle VDA)=\frac{|AV|^2-|DV|^2-|DA|^2}{-2|DV||DA|}=\frac{|DA|}{2|DV|}=\frac{6,47}{2\cdot 5,25}\doteq 0,62\Rightarrow |\angle VDA|\doteq 51^\circ 41^{'}\] Nyní jen použijeme goniometrickou funkci sinus na trojúhelník \(PDA\) a získáme \(|AP|\):
\[|AP|=|DA|\cdot\sin(\angle VDA)=6,47\cdot\sin(51^\circ 41^{'})\doteq 5,1\mbox{ cm}\]
Syntetické konstrukční řešení
Zápis konstrukce:
\(\mbox{1) pravidelný pětiúhelník } ABCDE; |AB|=4 \mbox{ cm}\)
\(\mbox{2) } S_{AB}; S_{AB}\mbox{ je střed strany }AB\)
\(\mbox{3) } S_{BC}; S_{BC}\mbox{ je střed strany }BC\)
\(\mbox{4) } S; \overline{DS_{AB}}\cap \overline{ES_{BC}} = \{S\}\)
\(\mbox{5) } t; t\perp \overline{DS_{AB}}\wedge S\in t\)
\(\mbox{6) } k; k(S,4\mbox{ cm})\)
\(\mbox{7) } V; V\in t\cap k\)
\(\mbox{8) } l_1; l_1(A,|DV|)\)
\(\mbox{9) } l_2; l_2(D,|DV|)\)
\(\mbox{10) } V^{'}; V^{'}\in l_1\cap l_2 \)
\(\mbox{11) } n; n\perp\overline{DV^{'}}\wedge A\in n \)
\(\mbox{12) } P; n\cap \overline{DV^{'}} = \{P\} \)
Provedením konstrukce jsme získali vzdálenost bodů \(A\), \(P\), čímž jsme sestrojili vzdálenost bodu \(A\) od přímky \(DV\).
Je dán kvádr \(ABCDEFGH\), \(|AB| = 2\mbox{ cm}\), \(|BC| = 4\mbox{ cm}\), \(|BF| = 5\mbox{ cm}\). Dále je dán bod \(M\) takový, že bod \(C\) je středem úsečky \(DM\). Určete vzdálenost bodu \(M\) od přímky \(BH\).
Znázornění situace
Analytické řešení
Zadanou krychli jsem vhodně umístili do soustavy souřadnic:
Směrovým vektorem přímky \(BH\) je vektor \(\overrightarrow{BH}=(-2;4;5)\).
Parametrické vyjádření přímky \(BH\) je:
\[\leftrightarrow BH:\quad x=-2t,\quad y=-4+4t,\quad z=5t,\quad t\in\mathbb{R}\] Normálový vektor roviny \(\varrho\) odpovídá vektoru \(\overrightarrow{BH}=(-2;4;5)\).
Obecná rovnice roviny \(\varrho\) kolmé na přímku \(BH\) a procházející bodem \(M\) je:
\[\varrho:\quad 2x-4y-5z-4=0\]
Nyní dosadíme parametrické vyjádření rovnice přímky \(BH\) do obecné rovnice roviny \(\varrho\):
\[2\cdot (-2t)-4\cdot (-4+4t)-5\cdot (5t)-4=0\] \[-4t+16-16t-25t-4=0\] \[45t=12\Rightarrow t=\frac{4}{15}\] Pro průsečík přímky \(BH\) s rovinou \(\varrho\) platí:
\[P=[-2t;-4+4t;5t]=\Biggl[-\frac{8}{15};-\frac{44}{15};\frac{4}{3}\Biggr]\] Velikost úsečky \(MP\) je rovna:
\[|MP|=\sqrt{\Biggl(-\frac{8}{15}-2\Biggr)^2+\Biggl(-\frac{44}{15}-0\Biggr)^2+\Biggl(\frac{4}{3}-0\Biggr)^2}\doteq 4,1\mbox{ cm}\]
Syntetické početní řešení
Pro snažší počítání doplníme shodný kvádr s kvádrem \(ABCDEFGH\) vedle již stávajícího kvádru tak, že bod \(M\) je součástí podstavy nového kvádru (viz obrázek).
K výpočtu využijeme trojúhelník \(HBM\), pro jehož délky stran platí:
\[|BH|=\sqrt{|CB|^2+|CH|^2}=\sqrt{4^2+(\sqrt{5^2+2^2})^2}=3\sqrt{5}\] \[|HM|=\sqrt{(2|HG|)^2+|CG|^2}=\sqrt{\bigl(2\cdot 2\bigr)^2+5^2}=\sqrt{41}\] \[|BM|=\sqrt{|AB|^2+|BC|^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}\] Patu kolmice z bodu \(M\) k přímce \(BH\) označíme \(P\).
Abychom mohli určit délku úsečky \(MP\) musíme vypočítat velikost úhlu \(HBM\) (označme jej dále \(\varphi\)).
Velikost úhlu \(\varphi\) získame pomocí kosinové věty:
\[\cos\varphi=\frac{|HM|^2-|BH|^2-|BM|^2}{-2|BH||BM|}=\frac{\bigl(\sqrt{41}\bigr)^2-\bigl(3\sqrt{5}\bigr)^2-\bigl(2\sqrt{5}\bigr)^2}{-2\cdot 3\sqrt{5}\cdot 2\sqrt{5}}=\frac{41-9\cdot 5-4\cdot 5}{-2\cdot 3\cdot 2\cdot 5}=\frac{2}{5}\Rightarrow\varphi\doteq 66^\circ 25^{'}\] Již známe velikost úhlu \(\varphi\), tak můžeme pomocí goniometrické funkce sinus v trojúhelníku \(PBM\) určit délku úsečky \(MP\):
\[\sin\varphi=\frac{|MP|}{|BM|}\Rightarrow|MP|=|BM|\cdot\sin\varphi=2\sqrt{5}\cdot\sin(66^\circ 25^{'})\doteq 4,1\mbox{ cm}\]
Syntetické konstrukční řešení
Zápis konstrukce:
Nejdříve sestrojíme strany trojúhelníku \(HBM\), abychom jej mohli následně sestrojit podle věty \(sss\). Výška sestrojeného trojúhelníku bude odpovídat hledané vzdálenosti.
Při konstrukci trojúhelníku \(HBM\) budeme již existující vrcholy označovat apostrofem.
\(\mbox{1) obdélník } DCGB; |DC|=2 \mbox{ cm a } |CG|=5\mbox{ cm} \)
\(\mbox{2) } M; C\mbox{ je středem } \overline{DM}\)
\(\mbox{3) } k; k(C,4\mbox{ cm})\)
\(\mbox{4) } B; \leftrightarrow{GC}\cap k = \{B\}\)
\(\mbox{5) } \overline{BM}\)
\(\mbox{6) } \leftrightarrow l; l\perp \overline{CH} \wedge C\in l\)
\(\mbox{7) } B^{'}; B^{'}\in l\cap k\)
\(\mbox{8) } \overline{B^{'}H}\)
\(\mbox{9) } n; n(H,|HM|)\)
\(\mbox{10) } m; m(B^{'},|BM|)\)
\(\mbox{11) } M^{'}; M^{'}\in n\cap m\)
\(\mbox{12) } \triangle HM^{'}B^{'}\)
\(\mbox{13) } \leftrightarrow o; o\perp \overline{B^{'}H} \wedge M^{'}\in o\)
\(\mbox{14) } P;\{P\}=o\cap\overline{B'H}\)
Provedením konstrukce jsme získali vzdálenost bodů \(M\), \(P\), čímž jsme sestrojili vzdálenost bodu \(M\) od přímky \(BH\).
