Příklady k procvičení:
Je dána krychle \(ABCDEFGH\), kde \(|AB|=4 \mbox{ cm}\), a bod \(M\), který je průsečíkem úhlopříček stěny \(ABF\). Určete vzdálenost bodů \(C\), \(M\).
Znázornění situace
Analytické řešení
Zadanou krychli jsme vhodně umístili do soustavy souřadnic:
Víme, že vzdálenost dvou bodů lze vypočítat pomocí vztahu: \[|MC| = \sqrt{(x_{C}-x_{M})^2+(y_{C}-y_{M})^2+(z_{C}-z_{M})^2}\] Tedy pro \(M=[x_M;y_M;z_M]=[2;0;2]\) a \(C=[x_C;y_C;z_C]=[4;4;0]\) platí:
\[|MC| = \sqrt{(4-2)^2+(4-0)^2+(0-2)^2}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}\doteq 4,9\mbox{ cm}\].
Syntetické početní řešení
Ze zadání víme: \[|AB|=4 \mbox{ cm}\] Kolmý průmět bodu \(M\) do hrany \(AB\) označíme \(P\).
Pomocí Pýthagorovy věty v \(\triangle MPC\) lze určit délku úsečky \(MC\). Abychom mohli určit délku úsečky \(MC\), musíme nejdříve vypočítat délky úseček \(MP\), \(PC\):
\[|MP| = \frac{1}{2}|AE| = 2\] Délku úsečky \(PC\) zjistíme z \(\triangle PBC\) pomocí Pýthagorovy věty:
\[|PC| = \sqrt{|PB|^2+|BC|^2} = \sqrt{2^2+4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\] Nyní můžeme vypočítat délku úsečky \(MC\):
\[|MC| = \sqrt{|MP|^2+|PC|^2} = \sqrt{2^2+(2\sqrt{5})^2} = \sqrt{4+20} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}\doteq 4,9 \mbox{ cm}\]
Syntetické konstrukční řešení
Zápis konstrukce:
\(\mbox{1) čtverec } ABCD; |AB|=4 \mbox{ cm}\)
\(\mbox{2) } S_{AB}; S_{AB}\mbox{ je střed strany }AB\)
\(\mbox{3) } \leftrightarrow o; o\perp \overline{S_{AB}C}\wedge S_{AB}\in o\)
\(\mbox{4) } k; k(S_{AB},\frac{1}{2}|AB|)\)
\(\mbox{5) } M; M\in o\cap k \)
Provedením konstrukce jsme získali vzdálenost bodů \(C\), \(M\).
Je dán pravidelný čtyřboký jehlan \(ABCDV\) s podstavou \(ABCD\) o středu \(S\), \(|AB| = 4\mbox{ cm}\), \(|SV| = 4 \mbox{ cm}\). Dále jsou dány body \(K\), \(L\). Bod \(K\) náleží hraně \(DV\) a platí \(|KV|=\frac{1}{4}|DV|.\) Bod \(L\) je středem hrany \(BV\). Určete vzdálenost bodů \(K\), \(L\).
Znázornění situace
Analytické řešení
Zadaný jehlan jsme vhodně umístili do soustavy souřadnic:
Určeme souřadnice bodů \(K\) a \(L\):
Bod \(L\) je středem hrany \(BV\), jeho souřadnice jsou tedy \(L=[3;1;2]\).
K výpočtu souřadnic bodu \(K\) využijeme bod \(S_{DV}=[1;3;2]\), jenž je středem hrany \(DV\). Bod \(K\) je nyní středem úsečky \(S_{DV}V\), platí tedy \(K=[\frac{3}{2};\frac{5}{2};3]\).
Vzdálenost bodů \(K\), \(L\) vypočítáme pomocí vztahu pro vzdálenost dvou bodů:
\[|KL| = \sqrt{(x_L-x_K)^2+(y_L-y_K)^2+(z_L-z_K)^2}\] \[|KL| = \sqrt{\Bigl(3-\frac{3}{2}\Bigr)^2+\Bigl(1-\frac{5}{2}\Bigr)^2+\Bigl(2-3\Bigr)^2}=\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{9}{4}+1}=\frac{1}{2}\sqrt{22}\doteq 2,35\mbox{ cm}\].
Syntetické početní řešení
K řešení využijeme podobnost trojúhelníků \(DSV\) a \(S_{DV}S'V\) (bod \(S_{DV}\) je středem hrany \(DV\), bod \(S\) je středem úsečky \(DB\) a bod \(S'\) je středem úsečky \(S_{DV}L\)) dle věty \(uu\):
\[\frac{|DV|}{|DS|}=\frac{|S_{DV}V|}{|S_{DV}S^{'}|}=\frac{\frac{1}{2}|DV|}{|S_{DV}S'|}\] Odtud pro \(|S_{DV}S'|\) platí:
\[|S_{DV}S^{'}|=\frac{\frac{1}{2}|DV||DS|}{|DV|}=\frac{1}{2}|DS|=\sqrt{2}\] Pro úsečku \(S_{DV}L\) platí: \(|S_{DV}L|=2|S_{DV}S'|=|DS|=\frac{1}{2}|AB|\sqrt{2}=2\sqrt{2}\).
Ze zadání víme, že: \(|S_{DV}K|=|KV|=\frac{1}{4}|DV|\) K určení délky \(|S_{DV}K|\) tedy využijeme trojúhelník \(DSV\): \[|S_{DV}K|=\frac{1}{4}\sqrt{\Bigl(2\sqrt{2}\Bigr)^2+4^2}=\frac{1}{4}\sqrt{24} = \frac{\sqrt{6}}{2}\] Abychom mohli určit délku úsečky \(KL\) pomocí kosinové věty, potřebujeme zjistit velikost úhlu \(\varphi=|\angle SDV|=|\angle S'S_{DV}V|\) v trojúhelníku \(DSV\): \[\tan\varphi=\frac{|VS|}{|DS|}=\frac{4}{2\sqrt{2}}=\sqrt{2}\Rightarrow\varphi\doteq 54^\circ 44'\] Nyní již pomocí kosinové věty v \(\triangle S_{DV}LK\) určíme délku \(KL\): \[|KL|^2=|S_{DV}K|^2+|S_{DV}L|^2-2|S_{DV}K||S_{DV}L|\cos\varphi\] \[|KL|^2=\Bigl(\frac{\sqrt{6}}{2}\Bigr)^2+\Bigl(2\sqrt{2}\Bigr)^2-2\frac{\sqrt{6}}{2}2\sqrt{2}\cos(54^\circ 44')\] \[|KL|\doteq 2,35 \mbox{ cm}\]
Ze zadání víme, že: \(|S_{DV}K|=|KV|=\frac{1}{4}|DV|\) K určení délky \(|S_{DV}K|\) tedy využijeme trojúhelník \(DSV\): \[|S_{DV}K|=\frac{1}{4}\sqrt{\Bigl(2\sqrt{2}\Bigr)^2+4^2}=\frac{1}{4}\sqrt{24} = \frac{\sqrt{6}}{2}\] Abychom mohli určit délku úsečky \(KL\) pomocí kosinové věty, potřebujeme zjistit velikost úhlu \(\varphi=|\angle SDV|=|\angle S'S_{DV}V|\) v trojúhelníku \(DSV\): \[\tan\varphi=\frac{|VS|}{|DS|}=\frac{4}{2\sqrt{2}}=\sqrt{2}\Rightarrow\varphi\doteq 54^\circ 44'\] Nyní již pomocí kosinové věty v \(\triangle S_{DV}LK\) určíme délku \(KL\): \[|KL|^2=|S_{DV}K|^2+|S_{DV}L|^2-2|S_{DV}K||S_{DV}L|\cos\varphi\] \[|KL|^2=\Bigl(\frac{\sqrt{6}}{2}\Bigr)^2+\Bigl(2\sqrt{2}\Bigr)^2-2\frac{\sqrt{6}}{2}2\sqrt{2}\cos(54^\circ 44')\] \[|KL|\doteq 2,35 \mbox{ cm}\]
Syntetické konstrukční řešení
Zápis konstrukce:
\(\mbox{1) čtverec } ABCD; |AB|=4 \mbox{ cm}\)
\(\mbox{2) } S;\overline{BD}\cap \overline{AC}=\{S\}\)
\(\mbox{3) } l; l(S,4\mbox{ cm})\)
\(\mbox{4) } V; V\in l\cap\leftrightarrow AC \)
\(\mbox{5) } \triangle DBV\)
\(\mbox{6) } K; |KV|=\frac{1}{4}|DV|\wedge K\in DV\)
\(\mbox{7) } L; |LV|=|BL|\wedge L\in BV\)
Provedením konstrukce jsme získali vzdálenost bodů \(K\) a \(L\), tj. \(|KL|\).
Je dán pravidelný čtyřboký jehlan \(ABCDV\) s podstavou \(ABCD\) o středu \(S\), \(|AB| = 4\mbox{ cm}\), \(|SV| = 6\mbox{ cm}\). Určete vzdálenost bodů \(S_{AV}\), \(C\).
Znázornění situace
Analytické řešení
Zadaný jehlan jsme vhodně umístili do soustavy souřadnic:
Vzdálenost bodů \(S_{AV}\) a \(C\) vypočítáme pomocí vztahu:
\[|S_{AV}C|=\sqrt{(x_C-x_{S_{AV}})^2+(y_C-y_{S_{AV}})^2+(z_C-z_{S_{AV}})^2},\] kde \(S_{AV}=[x_{S_{AV}};y_{S_{AV}};z_{S_{AV}}]\) a \(C=[x_C;y_C;z_C]\).
Nyní za jednotlivé souřadnice bodů \(S_{AV}\) a \(C\) dosadíme hodnoty dle vhodného umístění do kartézské soustavy souřadnic: \[|S_{AV}C|=\sqrt{(4-1)^2+(4-1)^2+(0-3)^2}=\sqrt{3^2+3^2+(-3)^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}\doteq 5,2\mbox{ cm}\]
Nyní za jednotlivé souřadnice bodů \(S_{AV}\) a \(C\) dosadíme hodnoty dle vhodného umístění do kartézské soustavy souřadnic: \[|S_{AV}C|=\sqrt{(4-1)^2+(4-1)^2+(0-3)^2}=\sqrt{3^2+3^2+(-3)^2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}\doteq 5,2\mbox{ cm}\]
Syntetické početní řešení
K určení velikosti úsečky \(S_{AV}C\) využijeme kosinovou větu v \(\triangle ACS_{AV}\):
\[|S_{AV}C|^2=|S_{AV}A|^2+|AC|^2-2|S_{AV}A||AC|\cos\varphi\] Chybí nám tedy zjistit velikosti úseček \(S_{AV}A\), \(AC\) a jejich odchylku \(\varphi\):
Pro \(|S_{AV}A|\) podle Pýthagorovy věty v \(\triangle ASV\) platí:
\[|S_{AV}A|=\frac{1}{2}|AV|=\frac{1}{2}\sqrt{|SV|^2+\biggl(\frac{1}{2}|AC|\biggr)^2}\] Víme, že \(|SV|=6\mbox{ cm}\) a \(|AC|=|AB|\sqrt{2}=4\sqrt{2} \mbox{ cm}\), proto:
\[|S_{AV}A|=\frac{1}{2}\sqrt{6^2+\biggl(\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{2}\biggr)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{6^2+4\cdot 2}=\sqrt{11}\] Nyní zbývá určit velikost úhlu \(\varphi\). Jeho velikost zjistíme pomocí funkce \(\tan\) v \(\triangle ASV\):
\[\tan\varphi=\frac{|SV|}{\frac{1}{2}|AC|}=\frac{6}{2\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\Rightarrow\varphi\doteq 64^\circ 46^{'}\] Dosaďme do kosinové věty:
\[|S_{AV}C|^2=\bigl(\sqrt{11}\bigr)^2+\bigl(4\sqrt{2}\bigr)^2-2\sqrt{11}\cdot 4\sqrt{2}\cos(64^\circ 46^{'})\] \[|S_{AV}C|\doteq 5,2\mbox{ cm}\]
Syntetické konstrukční řešení
Zápis konstrukce:
\(\mbox{1) čtverec } ABCD; |AB|=4 \mbox{ cm}\)
\(\mbox{2) } S; \overline{AC}\cap \overline{BD} =\{S\}\)
\(\mbox{3) } l; l(S, 6\mbox{ cm})\)
\(\mbox{4) } V; V\in l\cap \leftrightarrow BD \)
\(\mbox{5) } \triangle ACV\)
\(\mbox{6) } S_{AV}; S_{AV} \mbox{ je středem } \overline{AV}\)
Provedením konstrukce jsme získali vzdálenost bodů \(S_{AV}\) a \(C\).
Je dána krychle \(ABCDEFGH\), \(|AB| = 4\mbox{ cm}\). Určete vzdálenost bodu \(S_{FH}\) od roviny \(ABC\).
Znázornění situace
Analytické řešení
Zadanou krychli jsme vhodně umístili do soustavy souřadnic:
Z obrázku můžeme nahlédnout, že vzdálenost bodu \(S_{FH}\) od roviny \(ABC\) je rovna výšce zadané krychle. My si však ukážeme, jak lze naši myšlenku podložit výpočtem.
Obecná rovnice roviny \(ABC\) (dále jen rovina \(\varrho\)) má tvar:
\[\varrho:\quad z=0\] Normálový vektor roviny odpovídá vektoru \(\overrightarrow{n_\varrho}=(0;0;1)\).
Využijeme nyní vztah pro výpočet vzdálenosti bodu od roviny:
\[d(S_{FH}\varrho)=\frac{|ax+by+cz+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\] \(\overrightarrow{n_\varrho}=(a;b;c)=(0;0;1)\) a \(S_{FH}=[x;y;z]=[2;2;4]\).
Dosazením do vztahu pro výpočet vzdálenosti bodu od roviny získáme:
\[d(S_{FH}\varrho)=\frac{|0\cdot 2+0\cdot 2+1\cdot 4+0|}{\sqrt{0+0+1}}=4\] Vzdálenost bodu \(S_{FH}\) od roviny \(\varrho\) je rovna \(4\mbox{ cm}\).
Syntetické početní řešení
Můžeme nahlédnout, že vzdálenost bodu \(S_{FH}\) od roviny \(ABC\) (označme ji \(\varrho\)) je rovna výšce krychle. Platí tedy:
\(|S_{FH}\varrho|=4\mbox{ cm}\)
Syntetické konstrukční řešení
Zápis konstrukce:
\(\mbox{1) čtverec } ABCD; |AB|=4 \mbox{ cm}\)
\(\mbox{2) } k; k\perp\overline{BD}\wedge D\in k\)
\(\mbox{3) } l; l\perp\overline{BD}\wedge B\in l\)
\(\mbox{4) } m; m(D,|AB|)\)
\(\mbox{5) } n; n(B,|AB|)\)
\(\mbox{6) } H; H\in k\cap m \)
\(\mbox{7) } F; F\in l\cap \wedge F\in\longmapsto BDH\)
\(\mbox{8) } S_{AC}; S_{AC}\mbox{ je středem }\overline{AC} \)
\(\mbox{9) } S_{HF}; S_{HF}\mbox{ je středem }\overline{HF} \)
Provedením konstrukce jsme získali vzdálenost bodu \(S_{FH}\) od roviny \(ABC\), která odpovídá délce úsečky \(S_{AC}S_{FH}\).
Je dána krychle \(ABCDEFGH\), \(|AB| = 4\mbox{ cm}\). Určete vzdálenost bodu \(F\) od roviny \(BGE\).
Znázornění situace
Analytické řešení
Zadanou krychli jsme vhodně umístili do soustavy souřadnic:
Pro určení vzdálenosti \(d\) bodu \(F\) od roviny \(BGE\) (dále ji značíme \(\varrho\)) využijeme vztah
\[d(F,\varrho)=\frac{|ax_F+by_F+cz_F+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\mbox{,}\] kde rovina \(\varrho\) má obecnou rovnici \(ax+by+cz+d=0\) a \(F=[x_F;y_F;z_F]\).
Potřebujeme tedy najít normálový vektor roviny.
Normálový vektor lze určit pomocí dvou směrových vektorů. Použijme vektory:
\[\overrightarrow{GE}=(-4;-4;0),\quad\overrightarrow{GB}=(0;-4;-4)\] Určíme normálový vektor roviny \(\varrho\) \[\begin{eqnarray*}
\overrightarrow{n_\varrho}&=&\overrightarrow{GE}\times\overrightarrow{GB}\\
&=&\bigl((-4)\cdot (-4)-0\cdot (-4);0\cdot 0-(-4)\cdot (-4);(-4)\cdot (-4)-(-4)\cdot 0\bigr)\\
&=&(16;-16;16)\sim(1;-1;1)
\end{eqnarray*}\] Vypočítáme hodnotu \(d\) v obecné rovnici roviny \(\varrho\) dosazením bodu \(B\) a vektoru \(\overrightarrow{n_\varrho}\):
\[\begin{eqnarray*}
1\cdot 4-1\cdot 0+1\cdot 0 + d&=&0\\
d&=&-4
\end{eqnarray*}\] Nyní můžeme dosadit do výše uvedeného vztahu pro výpočet vzdálenosti bodu od roviny:
\[d(F,\varrho)=\frac{|1\cdot 4-1\cdot 0+1\cdot 4-4|}{\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}}=\frac{4}{\sqrt{3}}=\doteq 2,3\mbox{ cm}\]
Syntetické početní řešení
K výpočtu vzdálenosti bodu \(F\) od roviny \(BGE\) využijeme pravoúhlý \(\triangle BFS_{FH}\) s pravým úhlem u vrcholu \(F\).
Pomocí goniometrické funkce tangens určíme velikost úhlu \(FS_{FH}B\), označme jej \(\beta\):
\[\tan\beta=\frac{|BF|}{|S_{FH}F|}=\frac{4}{2\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\Rightarrow\beta\doteq 54^\circ 44^{'}\] Úhel \(\beta\) je společný pro \(\triangle BFS_{FH}\) a \(\triangle PFS_{EF}\), kde \(P\) je patou kolmice z bodu \(F\) k přímce \(S_{FH}B\).
Z trojúhelníku \(PFS_{FH}\) užitím goniometrické funkce sinus získáme vzdálenost \(|FP|\):
\[\sin\beta=\frac{|FP|}{|S_{FH}F|}\Rightarrow |FP|=|S_{FH}F|\cdot\sin\beta=2\sqrt{2}\sin(54^\circ 44^{'})\doteq 2,3\mbox{ cm}\] Vzdálenost bodu \(F\) od roviny \(BGE\) je rovna velikosti úsečky \(FP\).
Syntetické konstrukční řešení
Zápis konstrukce:
\(\mbox{1) čtverec } ABCD; |AB|=4 \mbox{ cm}\)
\(\mbox{2) } \leftrightarrow o; o\perp BD \wedge D\in o\)
\(\mbox{3) } \leftrightarrow p; p\perp BD \wedge B\in p\)
\(\mbox{4) } k; k(D,|AB|)\)
\(\mbox{5) } l; l(B,|AB|)\)
\(\mbox{6) } H; H\in o\cap k \)
\(\mbox{7) } F; F\in p\cap l \wedge F\in \ \mapsto{BDH}\)
\(\mbox{8) } S_{FH}; S_{FH}\mbox{ je středem úsečky } HF\)
\(\mbox{9) } \leftrightarrow s; s\perp \overline{S_{FH}B} \wedge F\in s\)
\(\mbox{10) } P; s\cap \overline{S_{FH}B} = \{P\} \)
Provedením konstrukce jsme získali vzdálenost bodů \(F\) a \(P\), která odpovídá vzdálenosti bodu \(F\) od roviny \(BGE\).
Je dán pravidelný čtyřboký jehlan \(ABCDV\) s podstavou \(ABCD\) o středu \(S\), \(|AB| = 4\mbox{ cm}\), \(|SV| = 4\mbox{ cm}\). Dále je dán bod \(Q\), který je středem úsečky \(S_{BC}V\). Určete vzdálenost bodu \(Q\) od roviny \(BCS_{DV}\).
Znázornění situace
Analytické řešení
Zadaný jehlan jsme vhodně umístili do soustavy souřadnic:
Pro určení vzdalenosti bodu \(Q\) od roviny \(BCS_{DV}\) (dále ji značíme \(\varrho\)) využijeme vztah:
\[d(Q,\varrho)=\frac{|ax_Q+by_Q+cz_Q+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\] Rovina \(\varrho\) má obecnou rovnici \(ax+by+cz+d=0\) a \(Q=[x_Q;y_Q;z_Q]=[3;2;2]\).
Potřebujeme tedy určit normálový vektor roviny.
Normálový vektor lze vypočítat pomocí dvou směrových vektorů.Těmito vektory jsou například:
\[\overrightarrow{BS_{AV}}=(-3;1;2),\quad\overrightarrow{BC}=(0;4;0)\] Určíme normálový vektor roviny \(\varrho\) \[\begin{eqnarray*}
\overrightarrow{n_\varrho}&=&\overrightarrow{BS_{AV}}\times\overrightarrow{BC}\\
&=&(1\cdot 0-2\cdot 4;2\cdot 0-(-3)\cdot 0;(-3)\cdot 4-1\cdot 0) \\
&=&(-8;0;-12)\sim (2;0;3)
\end{eqnarray*}\] Vypočítáme hodnotu \(d\) v obecné rovnici roviny \(\varrho\) dosazením bodu \(B\) a vektoru \(\overrightarrow{n_\varrho}\):
\[\begin{eqnarray*}
2\cdot 4+0\cdot 0+3\cdot 0+d&=&0\\
d&=&-8\end{eqnarray*}\] Nyní můžeme dosadit do výše uvedeného vztahu pro výpočet vzdálenosti bodu od roviny:
\[d(Q,\varrho)=\frac{|2\cdot 3+0\cdot 2+3\cdot 2-8|}{\sqrt{2^2+0^2+3^2}}=\frac{4}{\sqrt{13}}\doteq 1,11\mbox{ cm}\]
Syntetické početní řešení
K výpočtu využijeme trojúhelníky \(S_{AD}SV\), \(S_{AD}S_{BC}X\), \(XS_{BC}V\) a \(PS_{BC}Q\), kde
\(X\) je středem \(S_{AV}S_{DV}\)
Abychom určili velikost úsečky \(XS_{BC}\), musíme vypočítat velikost úhlu \(\beta\) v trojúhelníku \(S_{AD}SV\):
\[\tan\beta=\frac{|SV|}{|S_{AD}S|}=\frac{4}{2}=2\Rightarrow \beta\doteq 63^\circ26^{'}\] Z \(\triangle S_{AD}SV\) vypočítáme pomocí Pýthagorovy věty délku úsečky \(S_{AD}V\):
\[|S_{AD}V|=\sqrt{|S_{AD}S|^{2}+|SV|^{2}}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}\] Délka \(|S_{AD}X|\) je polovinou \(|S_{AD}V|\), tedy \(|S_{AD}X|=\sqrt{5}\) a zároveň platí \(|S_{AD}X|=|QS_{BC}|\).
Velikost úsečky \(S_{BC}X\) vypočítáme pomocí kosinové věty v trojúhelníku \(S_{AD}S_{BC}X\):
\[|S_{BC}X|^2=|S_{AD}X|^2+|S_{AD}S_{BC}|^2-2|S_{AD}X|\cdot|S_{AD}S_{BC}|\cdot\cos\beta\] \[|S_{BC}X|^2=\sqrt{5}^2+4^2-2\cdot \sqrt{5}\cdot 4\cos(63^\circ26^{'})\doteq 13\] \[|S_{BC}X|=\sqrt{13}\] Nyní určíme velikost úhlu \(\varphi\) v trojúhelníku \(XS_{BC}V\) pomocí kosinové věty:
\[\cos\varphi=\frac{|XV|^2-|S_{BC}V|^2-|S_{BC}X|^2}{-2|S_{BC}V|\cdot|S_{BC}X|}\] \[\cos\varphi=\frac{\sqrt{5}^2-(2\sqrt{5})^2-\sqrt{13}^2}{-2\cdot 2\sqrt{5}\cdot \sqrt{13}}\Rightarrow\varphi\doteq 29^\circ 44^{'}\] Již zbývá jen dopočítat velikost úsečky \(PQ\) pomocí kosinové věty v trojúhelníku \(S_{BC}QP\), kde bod \(P\) je patou výšky v trojúhelníku \(XS_{BC}V\) vedené z bodu \(Q\):
\[\sin\varphi=\frac{|PQ|}{|QS_{BC}|}\Rightarrow |PQ|=|QS_{BC}|\sin\varphi =\sqrt{5}\sin(29^\circ 44^{'})\doteq 1,11\mbox{ cm}\]
Syntetické konstrukční řešení
Zápis konstrukce:
\(\mbox{1) čtverec } ABCD; |AB|=6 \mbox{ cm}\)
\(\mbox{2) } S_{AD}; S_{AD}\mbox{ je středem strany }AD\)
\(\mbox{3) } S_{BC}; S_{BC}\mbox{ je středem strany }BC\)
\(\mbox{4) } S; S\mbox{ je středem úsečky }S_{AD}S_{BC}\)
\(\mbox{5) } \leftrightarrow l; l\perp \overline{S_{AD}S_{BC}} \wedge S\in l\)
\(\mbox{6) } k; k(S,|SV|)\)
\(\mbox{7) } V; V\in l\cap k \)
\(\mbox{8) } X; X\mbox{ je středem úsečky }S_{AD}V\)
\(\mbox{9) } Q; Q\mbox{ je středem úsečky }S_{BC}V\)
\(\mbox{10) } \leftrightarrow m; m\perp \overline{XS_{BC}} \wedge Q\in m\)
\(\mbox{11) } P; m\cap \overline{XS_{BC}} = \{P\} \)
Provedením konstrukce jsme získali vzdálenost bodů \(Q\), \(P\), čímž jsme sestrojili vzdálenost bodu \(Q\) od roviny \(BCS_{DV}\) .
Je dán pravidelný šestiboký jehlan \(ABCDEFV\) s podstavou \(ABCDEF\) o středu \(S\), \(|AB| = 4\mbox{ cm}\), \(|SV| = 6\mbox{ cm}\). Určete vzdálenost bodu \(S\) od roviny boční stěny jehlanu.
Znázornění situace
Analytické řešení
Zadaný jehlan jsme vhodně umístili do soustavy souřadnic:
Pro určení vzdalenosti bodu \(S\) od boční stěny jehlanu (za boční stěnu zvolme rovinu \(CDV\) a označme ji \(\varrho\)) využijeme vztah:
\[d(S,\varrho)=\frac{|ax_S+by_S+cz_S+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\] Rovina \(\varrho\) má obecnou rovnici \(ax+by+cz+d=0\) a \(S=[x_S;y_S;z_S]=[0;0;0]\).
Potřebujeme tedy určit normálový vektor roviny.
Normálový vektor lze určit pomocí dvou směrových vektorů. Těmito vektory jsou například:
\[\overrightarrow{VC}=(2\sqrt{3};-2;-6)\quad\overrightarrow{VD}=(2\sqrt{3};2;-6)\] Určíme normálový vektor roviny \(\varrho\):
\[\begin{eqnarray*}\overrightarrow{n_\varrho}&=&\overrightarrow{VC}\times\overrightarrow{VD}\\
&=&((-2)\cdot (-6)-(-6)\cdot (2);(-6)\cdot 2\sqrt{3}-2\sqrt{3}\cdot (-6);2\sqrt{3}\cdot 2-(-2)\cdot2\sqrt{3})\\
&=&(24;0;8\sqrt{3})\sim(3;0;\sqrt{3})\end{eqnarray*}\] Vypočítáme hodnotu \(d\) v obecné rovnici roviny \(CDV\) dosazením souřadnic bodu \(V\) a vektoru \(\overrightarrow{n_\varrho}\):
\[\begin{eqnarray*}
3\cdot 0+0\cdot 0+\sqrt{3}\cdot 6+d&=&0\\
d&=&-6\sqrt{3}\end{eqnarray*}\] Nyní můžeme dosadit do výše uvedeného vztahu pro výpočet vzdálenosti bodu od roviny:
\[d(P,\varrho)=\frac{|3\cdot 0+0\cdot 0+\sqrt{3}\cdot 0-6\sqrt{3}|}{\sqrt{3^2+0^2+(\sqrt{3})^2}}=\frac{|-6\sqrt{3}|}{2\sqrt{3}}= 3\mbox{ cm.}\]
Syntetické početní řešení
K řešení využijeme trojúhelník \(SS_{CD}V\), v němž určíme velikost úhlu \(\varphi\) pomocí goniometrické funkce tangens:
\[\tan\varphi=\frac{|SV|}{|SS_{CD}|}=\frac{6}{2\sqrt{3}}\Rightarrow\varphi=60^\circ\] Úhel \(\varphi\) nám pomůže při počítaní velikosti úsečky \(SP\), jež je naší hledanou vzdáleností. Bod \(P\) je
patou výšky trojúhelníku \(SS_{CD}V\) vedené z vrcholu \(S\). Tuto vzdálenost vypočteme pomocí goniometrické funkce sinus:
\[\sin\varphi=\frac{|SP|}{|SS_{CD}|}\Rightarrow |SP|=|SS_{CD}|\cdot\sin\varphi=2\sqrt{3}\sin(60^\circ)=3\mbox{ cm.}\]
Syntetické konstrukční řešení
Zápis konstrukce:
\(\mbox{1) pravidelný šestiúhelník } ABCDEF; |AB|=4 \mbox{ cm}\)
\(\mbox{2) } S_{CD}; S_{CD}\mbox{ je středem úsečky } CD\)
\(\mbox{3) } \leftrightarrow m; m\perp \overline{SS_{CD}} \wedge S\in m\)
\(\mbox{4) } k; k(S,|SV|)\)
\(\mbox{5) } V; V\in m\cap k\)
\(\mbox{6) } \leftrightarrow l; l\perp \overline{VS_{CD}} \wedge S\in l\)
\(\mbox{7) } P; \overline{VS_{CD}}\cap l = \{P\} \)
Provedením konstrukce jsme získali vzdálenost bodů \(S\) a \(P\), čímž jsme sestrojili vzdálenost bodu \(S\) od roviny boční stěny jehlanu \(ABCDEFV\).
Je dána krychle \(ABCDEFGH\), \(|AB| = 4\mbox{ cm}\). Určete vzdálenost přímky \(S_{DH}F\) od roviny \(AS_{BF}D\).
Znázornění situace
Analytické řešení
Zadanou krychli jsem vhodně umístili do soustavy souřadnic:
K řešení využijeme rovnoběžník \(DS_{BF}FS_{DH}\), jehož výška odpovídá vzdálenosti přímky \(S_{DH}F\) od roviny \(AS_{BF}D\). Patu výšky z bodu \(S_{BF}\) označíme \(P\).
Obsah rovnoběžníku vypočítáme pomocí vektorového součinu vektorů \(\overrightarrow{S_{BF}D}=(-4;4;-2)\) a \(\overrightarrow{S_{BF}F}=(0;0;2)\):
\[\begin{eqnarray*}S &=& |\overrightarrow{S_{BF}D}\times\overrightarrow{S_{BF}F}|\\
&=&\bigl|(4\cdot 2-(-2)\cdot 0;(-2)\cdot 0-(-4)\cdot 2;(-4)\cdot 0-4\cdot 2)\bigr|\\
&=&|(8;8;0)|\\
&=&8\sqrt{2}\end{eqnarray*}\] Výšku rovnoběžníku získame vydělením obsahu délkou jeho základny:
\[|PS_{BF}|=\frac{S}{|S_{BF}D|}=\frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{(-4)^2+4^2+(-2)^2}}=\frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{16+16+4}}=\frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{36}}=\frac{8\sqrt{2}}{6}=\frac{4\sqrt{2}}{3}\doteq 1,89\mbox{ cm.}\]
Syntetické početní řešení
V řešení budeme pracovat s trojúhelníkem \(S_{DH}S_{BF}F\). Abychom mohli určit velikost úsečky \(PS_{BF}\) (bod \(P\) je patou výšky vedené z bodu \(S_{BF}\) trojúhelníku \(S_{DH}S_{BF}F\)), musíme znát velikost úhlu \(S_{DH}FS_{BF}\) (označíme jej \(\varphi\)). K výpočtu využijeme goniometrickou funkci tangens v trojúhelníku \(S_{DH}S_{BF}F\):
\[\tan\varphi=\frac{|S_{DH}S_{BF}|}{|S_{BF}F|}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}\Rightarrow\varphi\doteq 70^\circ 32^{'}\] Nyní pomocí funkce sinus získáme velikost úsečky \(PS_{BF}\):
\[\sin\varphi=\frac{|PS_{BF}|}{|S_{BF}F|}\Rightarrow |PS_{BF}|=|S_{BF}F|\cdot\sin\varphi=2\sin(70^\circ 32^{'})\doteq 1,89\mbox{ cm.}\]
Syntetické konstrukční řešení
Zápis konstrukce:
\(\mbox{1) čtverec } ABCD; |AB|=4 \mbox{ cm}\)
\(\mbox{2) } \leftrightarrow o; o\perp \overline{DB} \wedge D\in o\)
\(\mbox{3) } \leftrightarrow p; p\perp \overline{DB} \wedge B\in p\)
\(\mbox{4) } k; k(D,|AB|)\)
\(\mbox{5) } l; l(B,|AB|)\)
\(\mbox{6) } H; H\in o\cap k \)
\(\mbox{7) } F; F\in p\cap l \wedge F\in\longmapsto BDH\)
\(\mbox{8) } S_{DH}; S_{DH}\mbox{ je středem úsečky } DH\)
\(\mbox{9) } S_{BF}; S_{BF}\mbox{ je středem úsečky } BF\)
\(\mbox{10) } \leftrightarrow m; m\perp \overline{S_{DH}F} \wedge S_{BF}\in m\)
\(\mbox{11) } P; m\cap\overline{S_{DH}F} = \{P\} \)
Provedením konstrukce jsme získali vzdálenost bodů \(P\) a \(S_{BF}\), čímž jsme sestrojili vzdálenost přímky \(S_{DH}F\) od roviny \(AS_{BF}D\).
Je dán pravidelný čtyřboký jehlan \(ABCDV\) s podstavou \(ABCD\) o středu \(S\), \(|AB| = 4\mbox{ cm}\), \(|SV| = 4\mbox{ cm}\). Určete vzdálenost přímky \(S_{DV}S_{AB}\) od roviny \(BCV\).
Znázornění situace
Analytické řešení
Zadaný jehlan jsme vhodně umístili do soustavy souřadnic:
Přímka \(S_{DV}S_{AB}\) je rovnoběžná s rovinou \(BCV\). Vezměme tedy libovolný bod přímy \(S_{DV}S_{AB}\), například bod \(S_{DV}\), a určeme jeho vzdálenost od roviny \(BCV\) (označme ji \(\varrho\)).
Vzdálenost bodu od roviny můžeme určit pomocí vztahu:
\[d(S_{DV},\varrho)=\frac{|ax_{S_{DV}}+by_{S_{DV}}+cz_{S_{DV}}+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\] Rovina \(\varrho\) má obecnou rovnici \(ax+by+cz+d=0\) a \(S_{DV}=[x_{S_{DV}};y_{S_{DV}};z_{S_{DV}}]=[1;3;2]\).
Potřebujeme tedy určit normálový vektor roviny.
Normálový vektor lze určit pomocí dvou směrových vektorů této roviny, například:
\[\overrightarrow{CV}=(-2;-2;4),\quad\overrightarrow{CB}=(0;-4;0)\] Určeme normálový vektor roviny \(\varrho\):
\[\begin{eqnarray*}\overrightarrow{n_\varrho}&=&\overrightarrow{CV}\times\overrightarrow{CB}\\
&=&((-2)\cdot 0-4\cdot (-4);4\cdot 0-(-2)\cdot 0;(-2)\cdot (-4)-(-2)\cdot 0)\\
&=&(16;0;8)\sim(2;0;1)\end{eqnarray*}\] Do rovnice \(2x+0y+z+d\) dosadíme libovolný z bodů \(B, C, V\) a dopočítáme \(d=-8\).
Rovnice roviny má tedy tvar:
\[2x+z-8=0\] Nyní můžeme dosadit do výše uvedeného vztahu pro výpočet vzdalenosti bodu od roviny:
\[d(S_{DV},\varrho)=\frac{|2\cdot 1+0\cdot 3+1\cdot 2-8|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{|-4|}{\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}\doteq 1,79\mbox{ cm.}\]
Syntetické početní řešení
Přímka \(S_{DV}S_{AB}\) je rovnoběžná s přímkou \(S_{CV}B\) (jde o protější strany rovnoběžníka).
Přímka \(S_{DV}S_{AB}\) je tedy rovnoběžná s rovinou \(BCV\) a její vzdálenost od této roviny vypočítáme jako
vzdálenost libovolného bodu přímky \(S_{DV}S_{AB}\) od roviny \(BCV\).
Uvažujme bod \(P\) přímky \(S_{DV}S_{AB}\), který je jejím průsečíkem s rovinou \(S_{AD}S_{BC}V\).
Hledanou vzdáleností je potom délka úsečky \(PX\), kde \(X\) je patou kolmice vedené z bodu \(P\) na úsečku \(S_{BC}V\). Úsečka \(SY\) je kolmým průmětem úsečky \(S_{AB}S_{DV}\) do roviny \(S_{AD}S_{BC}V\).
Trojúhelníky \(SVS_{AD}\) a \(PXY\) jsou podobné podle věty \(uu\), neboť \(SY\) a \(XY\) jsou střední příčky trojúhelníku \(S_{AD}S_{BC}V\), a tedy \(|\angle XYP|=|\angle YSS_{AD}|=|\angle VS_{BC}S_{AD}|=|VS_{AD}S|\) a
\(|\angle XPY|=90^\circ\).
Dále potřebujeme délku úsečky \(S_{AD}V\). Zjistíme ji například z trojúhelníku \(S_{AD}SV\):
\[|S_{AD}V|=\sqrt{|S_{AD}S|^2+|SV|^2}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\] Nyní můžeme využít výše uvedené podobnosti trojúhelníků \(SVS_{AD}\) a \(PXY\):
\[\frac{|PX|}{|XY|}=\frac{|SV|}{|VS_{AD}|}\] \[|PX|=\frac{|SV|}{|VS_{AD}|}|XY|\] \[|PX|=\frac{4}{2\sqrt{5}}\cdot 2\] \[|PX|=\frac{4}{\sqrt{5}}\doteq 1,79\mbox{ cm}\]
Syntetické konstrukční řešení
Zápis konstrukce:
\(\mbox{1) } \mbox{čtverec } ABCD; |AB|=4 \mbox{ cm}\)
\(\mbox{2) } S; S\mbox{ je středem }\overline{AC}\)
\(\mbox{3) } l; l\perp AB \wedge S\in l \)
\(\mbox{4) } m; m(S,4\mbox{ cm})\)
\(\mbox{5) } V; V\in l\cap m\)
\(\mbox{6) } S_{AD}; S_{AD}\mbox{ je středem úsečky} \overline{AD}\)
\(\mbox{7) } S_{BC}; S_{BC}\mbox{ je středem úsečky} \overline{BC}\)
\(\mbox{8) } S_{DV}; S_{DV}\mbox{ je středem úsečky} \overline{S_{AD}V}\)
\(\mbox{9) } S_{CV}; S_{CV}\mbox{ je středem úsečky} \overline{S_{BC}V}\)
\(\mbox{10) } k; k\perp\overline{S_{DV}S}\wedge S_{CV}\in k\)
\(\mbox{11) } P; \overline{S_{DV}S}\cap k = \{P\} \)
Provedením konstrukce jsme získali vzdálenost bodů \(S_{CV}\), \(P\), čímž jsme sestrojili vzdálenost přímky \(S_{DV}S_{AB}\) od roviny \(BCV\).
Je dána krychle \(ABCDEFGH\), \(|AB| = 4\mbox{ cm}\). Určete vzdálenost rovin \(EBC\) a \(S_{EF}S_{BF}S_{CG}\).
Znázornění situace
Analytické řešení
Zadanou krychli jsme vhodně umístili do soustavy souřadnic:
Vzdálenost rovin \(EBC\) , \(S_{EF}S_{BF}S_{CG}\) je rovna vzdálenosti libovolného bodu roviny \(S_{EF}S_{BF}S_{CG}\) od roviny \(EBC\):
\[d(S_{EF},\leftrightarrow EBC)=\frac{|ax_{S_{EF}}+by_{S_{EF}}+cz_{S_{EF}}+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\] Rovina \(EBC\) má obecnou rovnici \(ax+by+cz+d=0\) a \(S_{EF}=[x_{S_{EF}};y_{S_{EF}};z_{S_{EF}}]=[2;0;4]\) je námi zvolený libovolný bod roviny \(S_{EF}S_{BF}S_{CG}\).
Potřebujeme tedy určit normálový vektor roviny \(EBC\).
Normálový vektor lze určit pomocí dvou směrových vektorů této roviny, například:
\[\overrightarrow{BE}=(-4;0;4),\quad\overrightarrow{BC}=(0;4;0)\] Určeme normálový vektor roviny \(EBC\) \[\begin{eqnarray*}\overrightarrow{n_{EBC}}&=&\overrightarrow{BE}\times\overrightarrow{BC}\\
&=&(0\cdot 0-4\cdot 4;4\cdot 0-(-4)\cdot 0;(-4)\cdot 4-0\cdot 0)\\
&=&(-16;0;-16)\sim(1;0;1)\end{eqnarray*}\] Dosazením souřadnic bodu \(B\) do rovnice \(x+y+d=0\) vypočítáme \(d=-4\).
Nyní můžeme dosadit do výše uvedeného vztahu pro výpočet vzdálenosti bodu od roviny:
\[d(S_{EF},\leftrightarrow EBC)=\frac{|1\cdot 2+0\cdot 0+1\cdot 4-4|}{\sqrt{1^2+0^2+1^2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\doteq 1,41\mbox{ cm}\]
Syntetické početní řešení
K řešení využijeme trojúhelník \(EPS_{EF}\), kde bod \(P\) je patou výšky lichoběžníku \(EBS_{BF}S_{EF}\). V tomto trojúhelníku známe délku strany \(ES_{EF}\) (\(|ES_{EF}|=2\mbox{ cm}\)) a velikost úhlu \(S_{EF}EP\).
Velikost úhlu \(S_{EF}EP\) je rovna polovině velikosti úhlu \(FEA\), tj. \(|\angle S_{EF}EP|=45^\circ\).
Použijeme tedy goniometrickou funkci sinus:
\[\sin(\angle S_{EF}EP)=\frac{|PS_{EF}|}{|ES_{EF}|}\Rightarrow |PS_{EF}|=|ES_{EF}|\cdot\sin(\angle S_{EF}EP) = 2\sin45^\circ=\sqrt{2}\doteq 1,41\mbox{ cm}\]
Syntetické konstrukční řešení
Zápis konstrukce:
\(\mbox{1) čtverec } ABFE; |AB|=4 \mbox{ cm}\)
\(\mbox{2) } S_{EF}; S_{EF}\in EF \wedge |ES_{EF}|=|S_{EF}F|\)
\(\mbox{3) } S_{BF}; S_{BF}\in BF \wedge |BS_{BF}|=|S_{BF}F|\)
\(\mbox{4) } \leftrightarrow k; k\perp \overline{EB} \wedge S_{EF}\in k\)
\(\mbox{5) } P; \overline{EB}\cap k = \{P\} \)
Provedením konstrukce jsme získali vzdálenost bodů \(P\) a \(S_{EF}\), čímž jsme sestrojili vzdálenost rovin \(EBC\) a \(S_{EF}S_{BF}S_{CG}\).
Je dána krychle \(ABCDEFGH\), \(|AB| = 6\mbox{ cm}\). Určete vzdálenost bodu \(A\) od přímky \(BH\).
Znázornění situace
Analytické řešení
Zadanou krychli jsme vhodně umístili do soustavy souřadnic:
Směrovým vektorem přímky \(BH\) (označme ji \(p\)) je vektor \(\overrightarrow{BH}=(-6;6;6)\sim (-1;1;1)\).
Parametrické vyjádření přímky \(p\) je:
\[p:\quad x=6-t;\quad y=t;\quad z=t;\quad t\in\mathbb{R}\] Najděme obecnou rovnici roviny \(\varrho\), která je kolmá na přímku \(p\) a prochází bodem \(A\).
Normálový vektor roviny \(\varrho\) odpovídá směrovému vektoru přímky \(p\), tj. \(\overrightarrow{n_\varrho}=(-1;1;1)\sim (1;-1;-1)\).
Pro obecnou rovnici roviny \(\varrho\) platí:
\[\varrho:\quad x-y-z=0\] Nyní určeme průnik \(P\) přímky \(p\) a roviny \(\varrho\):
\[p\cap\varrho:6-t-t-t=0\] \[p\cap\varrho:3t=6\quad \Rightarrow\quad t=2\] Bod \(P\) náleží přímce \(p\), proto platí:
\[P=[6-t;t;t]\] Dosaďme parametr \(t=2\) do souřadnic bodu \(P\):
\[P=[6-t;t;t]=[4;2;2]\] Zbývá nám zjistit vzdálenost bodů \(A=[0;0;0]\) a \(P=[4;2;2]\):
\[|AP|=\sqrt{(4-0)^2+(2-0)^2+(2-0)^2}=\sqrt{16+4+4}=\sqrt{24}\doteq 4,9 \mbox{ cm}\]
Syntetické početní řešení
Pro výpočet vzdálenosti \(|AP|\), kde bod \(P\) je patou kolmice vedené z bodu \(A\) k přímce \(BH\), využijeme \(\triangle ABP\).
Úhel \(ABH\) označíme \(\beta\). Nejlepším nástrojem pro získání délky úsečky \(AP\) je goniometrická funkce sinus:
\[\sin\beta=\frac{|AP|}{|AB|}\Rightarrow |AP|=|AB|\cdot\sin\beta\] Abychom tuto funkci mohli použít, musíme vypočítat velikost úhlu \(\beta\). Tu zjistíme pomocí goniometrické funkce tangens v pravoúhlém trojúhelníku \(ABH\).
Úhel \(ABH\) označíme \(\beta\).
Pro úhel \(\beta\) tedy platí:
\[\tan\beta=\frac{|AH|}{|AB|}=\frac{6\sqrt{2}}{6}=\sqrt{2}\Rightarrow\beta\doteq 54^\circ 44^{'}\] Dosaďme velikost úhlu \(\beta\) do vztahu pro výpočet \(|AP|\):
\[|A,BH|=|AP|=|AB|\cdot\sin\beta=6\sin(54^\circ 44^{'})\doteq 4,9 \mbox{ cm}\]
Syntetické konstrukční řešení
Zápis konstrukce:
\(\mbox{1) čtverec }ABCD; |AB|=6 \mbox{ cm}\)
\(\mbox{2) } k; k\perp AB\wedge D\in k\)
\(\mbox{3) } l; l(A,|AC|)\)
\(\mbox{4) } H; H\in l\cap k \)
\(\mbox{5) } m; m\perp BH \wedge A\in m\)
\(\mbox{6) } P;P\in m\cap BH\)
Provedením konstrukce jsme získali \(|AP|=|A,BH|\).
Je dána krychle \(ABCDEFGH\), \(|AB| = 6\mbox{ cm}\). Určete vzdálenost bodu \(E\) od přímky \(AS_{FH}\).
Znázornění situace
Analytické řešení
Zadanou krychli jsem vhodně umístili do soustavy souřadnic:
K řešení využijeme doplnění na rovnoběžník \(ES_{FH}AN\) (viz obrázek), jehož výška je rovna hledané vzdálenosti bodu \(E\) od přímky \(AS_{FH}\).
Výšku rovnoběžníku \(ES_{FH}AN\) odvodíme z jeho obsahu. Obsah rovnoběžníku získáme vektorovým součinem vektorů \(\overrightarrow{ES_{FH}}=(3;3;0)\), \(\overrightarrow{AS_{FH}}=(3;3;6)\).
\[\begin{eqnarray*}S&=&|\overrightarrow{ES_{FH}}\times\overrightarrow{AS_{FH}}|\\
&=&\bigl|(3\cdot 6-0\cdot 3;0\cdot 3-3\cdot 6;3\cdot 3-3\cdot 3)\bigr|\\
&=&|(18;-18;0)|\\
&=&18\sqrt{2}\end{eqnarray*}\] Nyní již můžeme vypočítat hledanou výšku rovnoběžníku \(ES_{EG}AN\):
\[|EP|=\frac{S}{|AS_{FH}|}=\frac{18\sqrt{2}}{\sqrt{3^2+3^2+6^2}}=\frac{18\sqrt{2}}{\sqrt{54}}=\frac{18\sqrt{2}}{3\sqrt{6}}=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\doteq 3,46\mbox{ cm}\]
\[|EP|=\frac{S}{|AS_{FH}|}=\frac{18\sqrt{2}}{\sqrt{3^2+3^2+6^2}}=\frac{18\sqrt{2}}{\sqrt{54}}=\frac{18\sqrt{2}}{3\sqrt{6}}=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\doteq 3,46\mbox{ cm}\]
Syntetické početní řešení
Během řešení se budeme pohybovat v trojúheníku \(AS_{FH}E\). Abychom mohli vypočítat vzdálenost \(|EP|\) (vzdálenost bodu \(E\) od přímky \(AS_{FH}\),
bod \(P\) je patou výšky vedené z bodu \(E\) v trojúhelníku \(AS_{FH}E\)) musíme určit velikost úhu \(EAS_{FH}\).
Velikost úhlu \(EAS_{FH}\) zjistíme pomocí goniometrické funkce tangens:
\[\tan(\angle EAS_{FH})=\frac{|ES_{FH}|}{|AE|}=\frac{3\sqrt{2}}{6}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow |\angle EAS_{FH}|\doteq 35^\circ 16^{'}\] Nyní využijeme goniometrickou funkci sinus, abychom získali velikost úsečky \(EP\):
\[\sin(\angle EAS_{FH}) = \frac{|EP|}{|AE|}\Rightarrow |EP|=|AE|\cdot\sin(\angle EAS_{FH})=6\sin(35^\circ 16^{'})\doteq 3,46\mbox{ cm}\]
Syntetické konstrukční řešení
Zápis konstrukce:
\(\mbox{1) čtverec } ABCD; |AB|=4 \mbox{ cm}\)
\(\mbox{2) } \leftrightarrow o; o\perp \overline{AC} \wedge C\in o\)
\(\mbox{3) } \leftrightarrow p; p\perp \overline{AC} \wedge A\in p\)
\(\mbox{4) } k; k(C,|AB|)\)
\(\mbox{5) } l; l(A,|AB|)\)
\(\mbox{6) } E; E\in p\cap l \)
\(\mbox{7) } G; G\in k\cap o \wedge G\in\longmapsto ACE\)
\(\mbox{8) } S_{FH};S_{FH}\in EG\wedge |ES_{FH}|=|S_{FH}G|\)
\(\mbox{9) } \leftrightarrow m; m\perp \overline{AS_{FH}} \wedge E\in m\)
\(\mbox{10) } P; m\cap \overline{AS_{FH}} = \{P\} \)
Provedením konstrukce jsme získali vzdálenost bodů \(E\) a \(P\), čímž jsme sestrojili vzdálenost bodu \(E\) od přímky \(AS_{FH}\) Je dán pravidelný pětiboký jehlan \(ABCDEV\) s podstavou \(ABCDE\) o středu \(S\), \(|AB| = 4\mbox{ cm}\), \(|SV| = 4\mbox{ cm}\). Určete vzdálenost bodu \(A\) od přímky \(DV\).
Znázornění situace
Analytické řešení
Zadaný pětiboký jehlan jsme vhodně umístili do soustavy souřadnic:
Souřadnice bodů \(A\), \(B\) jsme odvodili z trojúhelníku \(ABS\), jehož strana \(AB\) má délku \(4 \mbox{ cm}\) a úhel při vrcholu \(S\) má velikost \(72^\circ\). Obdobným způsobem jsme získali i souřadnice bodu \(D\). Zde jsme vycházeli z trojúhelníku \(DCS\). Souřadnice jsou zaokrouhleny na dvě desetinná místa.
Směrovým vektorem přímky \(DV\) je vektor \(\overrightarrow{DV}=(3,4;0;4)\).
Parametrické vyjádření přímky \(DV\) je:
\[p:\quad x=-3,4+3,4t;\quad y=0;\quad z=4t;\quad t\in\mathbb{R}\]
Najděme obecnou rovnici roviny \(\varrho\), která je kolmá na přímku \(DV\) a prochází bodem \(A\). Normálový vektor roviny \(\varrho\) odpovídá směrovému vektoru přímky \(DV\), tj. \(\overrightarrow{DV}=\overrightarrow{n_\varrho}=(3,4;0;4)\).
Do obecné rovnice \(3,4x+4z+d=0\) dosadíme souřadnice bodu \(A\) a získáme \(d=-9,35\).
Pro obecnou rovnici roviny platí:
\[\varrho:\quad 3,4x+4z-9,35=0\] Nyní určeme průnik \(P\) přímky \(DV\) a roviny \(\varrho\):
\[\leftrightarrow DV\cap\varrho:3,4.(-3,4)+3,4^2t+16t -9,35=0\] \[\leftrightarrow DV\cap\varrho:27,56t=20,91\quad \Rightarrow\quad t\doteq 0,76\] Bod \(P\) náleží přímce \(DV\), proto platí:
\[P=[-3,4+3,4t;0;4t]\] Dosaďme parametr \(t=0,76\) do souřadnic bodu \(P\):
\[P=[-3,4+3,4t;0;4t]\doteq [-0,82;0;3,04]\] Zbývá nám zjistit vzdálenost bodů \(A=[2,75;-2;0]\) a \(P=[-0,82;0;3,04]\):
\[|AP|=\sqrt{(-0,82-2,75)^2+(-2)^2+(3,04)^2}=\sqrt{(-3,57)^2+4+(3,04)^2}\doteq 5,1 \mbox{ cm}\]
Syntetické početní řešení
Vzdálenost bodu \(A\) od přímky \(DV\) odpovídá výšce \(AP\) v trojúhelníku \(DAV\). Abychom požadovanou délku úsečky získali, musíme zjistit velikost úhlu \(VDA\) a velikosti stran daného trojúhelníku.
Velikost úhlu můžeme získat například z trojúhelníku \(VDA\) pomocí kosinové věty. Pojďme tedy vypočítat velikost úsečky \(DS\), která je prvním krokem k získání potřebného úhlu.
Velikost úsečky \(DS\) dostaneme užitím goniometrické funkce sinus v trojúhelníku \(DSS_{CD}\):
\[|DS|=\frac{|DS_{CD}|}{\sin 36^\circ}=\frac{2}{\sin 36^\circ}\doteq 3,4\mbox{ cm}\] Pro délky hran \(AV\), \(DV\), jež jsou rameny v trohúhelníku \(VDA\), platí:
\[|AV|=|DV|=\sqrt{|SV|^2+|DS|^2}=\sqrt{4^2+3,4^2}\doteq 5,25\mbox{ cm}\] Dalším chybějícím údajem z trojúhelníku \(VDA\) je délka strany \(DA\). Získejme ji kosinovou větou v trojúhelníku \(DEA\):
Předpokládáme znalost velikosti úhlu \(DEA\), tj. \(|\angle DEA|=108^\circ\).
\[\begin{eqnarray*}|DA|^2&=&|DE|^2+|EA|^2-2|DE||EA|\cos(\angle DEA)\\
&=&4^2+4^2-2\cdot 4\cdot 4\cdot \cos 108^\circ\\
&=&32-32\cos 108^\circ
\end{eqnarray*}\] \[|DA|\doteq 6,47\mbox{ cm}\] Pro velikost úhlu \(VDA\) tedy platí:
\[\cos(\angle VDA)=\frac{|AV|^2-|DV|^2-|DA|^2}{-2|DV||DA|}=\frac{|DA|}{2|DV|}=\frac{6,47}{2\cdot 5,25}\doteq 0,62\Rightarrow |\angle VDA|\doteq 51^\circ 41^{'}\] Nyní jen použijeme goniometrickou funkci sinus na trojúhelník \(PDA\) a získáme \(|AP|\):
\[|AP|=|DA|\cdot\sin(\angle VDA)=6,47\cdot\sin(51^\circ 41^{'})\doteq 5,1\mbox{ cm}\]
Syntetické konstrukční řešení
Zápis konstrukce:
\(\mbox{1) pravidelný pětiúhelník } ABCDE; |AB|=4 \mbox{ cm}\)
\(\mbox{2) } S_{AB}; S_{AB}\mbox{ je střed strany }AB\)
\(\mbox{3) } S_{BC}; S_{BC}\mbox{ je střed strany }BC\)
\(\mbox{4) } S; \overline{DS_{AB}}\cap \overline{ES_{BC}} = \{S\}\)
\(\mbox{5) } t; t\perp \overline{DS_{AB}}\wedge S\in t\)
\(\mbox{6) } k; k(S,4\mbox{ cm})\)
\(\mbox{7) } V; V\in t\cap k\)
\(\mbox{8) } l_1; l_1(A,|DV|)\)
\(\mbox{9) } l_2; l_2(D,|DV|)\)
\(\mbox{10) } V^{'}; V^{'}\in l_1\cap l_2 \)
\(\mbox{11) } n; n\perp\overline{DV^{'}}\wedge A\in n \)
\(\mbox{12) } P; n\cap \overline{DV^{'}} = \{P\} \)
Provedením konstrukce jsme získali vzdálenost bodů \(A\), \(P\), čímž jsme sestrojili vzdálenost bodu \(A\) od přímky \(DV\).
Je dán kvádr \(ABCDEFGH\), \(|AB| = 2\mbox{ cm}\), \(|BC| = 4\mbox{ cm}\), \(|BF| = 5\mbox{ cm}\). Dále je dán bod \(M\) takový, že bod \(C\) je středem úsečky \(DM\). Určete vzdálenost bodu \(M\) od přímky \(BH\).
Znázornění situace
Analytické řešení
Zadanou krychli jsem vhodně umístili do soustavy souřadnic:
Směrovým vektorem přímky \(BH\) je vektor \(\overrightarrow{BH}=(-2;4;5)\).
Parametrické vyjádření přímky \(BH\) je:
\[\leftrightarrow BH:\quad x=-2t,\quad y=-4+4t,\quad z=5t,\quad t\in\mathbb{R}\] Normálový vektor roviny \(\varrho\) odpovídá vektoru \(\overrightarrow{BH}=(-2;4;5)\).
Obecná rovnice roviny \(\varrho\) kolmé na přímku \(BH\) a procházející bodem \(M\) je:
\[\varrho:\quad 2x-4y-5z-4=0\]
Nyní dosadíme parametrické vyjádření rovnice přímky \(BH\) do obecné rovnice roviny \(\varrho\):
\[2\cdot (-2t)-4\cdot (-4+4t)-5\cdot (5t)-4=0\] \[-4t+16-16t-25t-4=0\] \[45t=12\Rightarrow t=\frac{4}{15}\] Pro průsečík přímky \(BH\) s rovinou \(\varrho\) platí:
\[P=[-2t;-4+4t;5t]=\Biggl[-\frac{8}{15};-\frac{44}{15};\frac{4}{3}\Biggr]\] Velikost úsečky \(MP\) je rovna:
\[|MP|=\sqrt{\Biggl(-\frac{8}{15}-2\Biggr)^2+\Biggl(-\frac{44}{15}-0\Biggr)^2+\Biggl(\frac{4}{3}-0\Biggr)^2}\doteq 4,1\mbox{ cm}\]
Syntetické početní řešení
Pro snažší počítání doplníme shodný kvádr s kvádrem \(ABCDEFGH\) vedle již stávajícího kvádru tak, že bod \(M\) je součástí podstavy nového kvádru (viz obrázek).
K výpočtu využijeme trojúhelník \(HBM\), pro jehož délky stran platí:
\[|BH|=\sqrt{|CB|^2+|CH|^2}=\sqrt{4^2+(\sqrt{5^2+2^2})^2}=3\sqrt{5}\] \[|HM|=\sqrt{(2|HG|)^2+|CG|^2}=\sqrt{\bigl(2\cdot 2\bigr)^2+5^2}=\sqrt{41}\] \[|BM|=\sqrt{|AB|^2+|BC|^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}\] Patu kolmice z bodu \(M\) k přímce \(BH\) označíme \(P\).
Abychom mohli určit délku úsečky \(MP\) musíme vypočítat velikost úhlu \(HBM\) (označme jej dále \(\varphi\)).
Velikost úhlu \(\varphi\) získame pomocí kosinové věty:
\[\cos\varphi=\frac{|HM|^2-|BH|^2-|BM|^2}{-2|BH||BM|}=\frac{\bigl(\sqrt{41}\bigr)^2-\bigl(3\sqrt{5}\bigr)^2-\bigl(2\sqrt{5}\bigr)^2}{-2\cdot 3\sqrt{5}\cdot 2\sqrt{5}}=\frac{41-9\cdot 5-4\cdot 5}{-2\cdot 3\cdot 2\cdot 5}=\frac{2}{5}\Rightarrow\varphi\doteq 66^\circ 25^{'}\] Již známe velikost úhlu \(\varphi\), tak můžeme pomocí goniometrické funkce sinus v trojúhelníku \(PBM\) určit délku úsečky \(MP\):
\[\sin\varphi=\frac{|MP|}{|BM|}\Rightarrow|MP|=|BM|\cdot\sin\varphi=2\sqrt{5}\cdot\sin(66^\circ 25^{'})\doteq 4,1\mbox{ cm}\]
Syntetické konstrukční řešení
Zápis konstrukce:
Nejdříve sestrojíme strany trojúhelníku \(HBM\), abychom jej mohli následně sestrojit podle věty \(sss\). Výška sestrojeného trojúhelníku bude odpovídat hledané vzdálenosti.
Při konstrukci trojúhelníku \(HBM\) budeme již existující vrcholy označovat apostrofem.
\(\mbox{1) obdélník } DCGB; |DC|=2 \mbox{ cm a } |CG|=5\mbox{ cm} \)
\(\mbox{2) } M; C\mbox{ je středem } \overline{DM}\)
\(\mbox{3) } k; k(C,4\mbox{ cm})\)
\(\mbox{4) } B; \leftrightarrow{GC}\cap k = \{B\}\)
\(\mbox{5) } \overline{BM}\)
\(\mbox{6) } \leftrightarrow l; l\perp \overline{CH} \wedge C\in l\)
\(\mbox{7) } B^{'}; B^{'}\in l\cap k\)
\(\mbox{8) } \overline{B^{'}H}\)
\(\mbox{9) } n; n(H,|HM|)\)
\(\mbox{10) } m; m(B^{'},|BM|)\)
\(\mbox{11) } M^{'}; M^{'}\in n\cap m\)
\(\mbox{12) } \triangle HM^{'}B^{'}\)
\(\mbox{13) } \leftrightarrow o; o\perp \overline{B^{'}H} \wedge M^{'}\in o\)
\(\mbox{14) } P;\{P\}=o\cap\overline{B'H}\)
Provedením konstrukce jsme získali vzdálenost bodů \(M\), \(P\), čímž jsme sestrojili vzdálenost bodu \(M\) od přímky \(BH\).
Je dána krychle \(ABCDEFGH\), \(|AB| = 4\mbox{ cm}\). Určete vzdálenost přímky \(EG\) od přímky \(S_{AB}S_{BC}\).
Znázornění situace
Analytické řešení
Zadanou krychli jsem vhodně umístili do soustavy souřadnic:
K řešení využijeme doplnění na rovnoběžník \(ES_{AB}NG\) (viz obrázek), jehož výška (\(PS_{AB}\)) je rovna hledané vzdálenosti
přímek \(EG\), \(S_{AB}S_{BC}\).
Výšku rovnoběžníku \(ES_{AB}NG\) odvodíme z jeho obsahu. Obsah rovnoběžník získáme vektorovým součinem vektorů \(\overrightarrow{EG}=(4;4;0)\), \(ES_{AB}=(2;0;-4)\).
\[\begin{eqnarray*}S&=&|\overrightarrow{EG}\times\overrightarrow{ES_{AB}}|\\
&=&\bigl|(4\cdot (-4)-0\cdot 0;0\cdot 2-4\cdot (-4);4\cdot 0-4\cdot 2)\bigr|\\
&=&|(-16;16;-8)|\\
&=&24\end{eqnarray*}\] Nyní již můžeme vypočítat hledanou výšku rovnoběžníku \(ES_{AB}NG\):
\[|PS_{AB}|=\frac{S}{|EG|}=\frac{24}{\sqrt{4^2+4^2+0^2}}=\frac{24}{\sqrt{32}}=\frac{24}{4\sqrt{2}}=\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}\doteq 4,24\mbox{ cm}\]
\[|PS_{AB}|=\frac{S}{|EG|}=\frac{24}{\sqrt{4^2+4^2+0^2}}=\frac{24}{\sqrt{32}}=\frac{24}{4\sqrt{2}}=\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}\doteq 4,24\mbox{ cm}\]
Syntetické početní řešení
Můžeme nahlédnout, že průsečík \(X\) přímky \(S_{AB}S_{BC}\) s úsečkou \(BD\) je středem úsečky \(S_{AC}B\). Vzdálenost bodů \(S_{FH}X\) lze tedy vypočítat pomocí Pýthagorovy věty v trojúhelníku \(S_{FH}S_{AC}X\).
\[|S_{FH}X|=\sqrt{|S_{AC}X|^2+|S_{AC}S_{FH}|^2}\] \[|S_{FH}X|=\sqrt{\Biggl(\frac{1}{4}|AC|\Biggr)^2+|S_{AC}S_{FH}|^2}=\sqrt{\Bigl(\sqrt{2}\Bigr)^2+4^2}=\sqrt{2+16}=\sqrt{18}\doteq 4,24\mbox{ cm}\]
Syntetické konstrukční řešení
Zápis konstrukce:
\(\mbox{1) čtverec } ABCD; |AB|=4 \mbox{ cm}\)
\(\mbox{2) } \leftrightarrow n; n\perp \overline{DB} \wedge B\in n\)
\(\mbox{3) } \leftrightarrow m; m\perp \overline{DB} \wedge D\in m\)
\(\mbox{4) } k; k(D,|AB|)\)
\(\mbox{5) } l; l(B,|AB|)\)
\(\mbox{6) } H; H\in k\cap m \)
\(\mbox{7) } F; F\in l\cap n \wedge F\in\longmapsto BDH\)
\(\mbox{8) } S_{FH}; S_{FH}\in FH, |FS_{FH}|=|S_{FH}H|\)
\(\mbox{9) } S_{BD}; S_{BD}\in BD\wedge |BS_{BD}|=|S_{BD}D|\)
\(\mbox{10) } X; X\in \overline{S_{BD}B}\wedge |S_{BD}X|=|XB|\)
Provedením konstrukce jsme získali vzdálenost bodů \(X\) a \(S_{FH}\), čímž jsme sestrojili vzdálenost přímek \(EG\), \(S_{AB}S_{BC}\).
Je dána krychle \(ABCDEFGH\), \(|AB| = 4\mbox{ cm}\). Určete vzdálenost přímky \(EG\) od přímky \(DF\).
Znázornění situace
Analytické řešení
Zadanou krychli jsme vhodně umístili do soustavy souřadnic:
Parametrické vyjádření přímky \(EG\):
\[\leftrightarrow EG:\quad x=4t,\quad y=4t,\quad z=4,\quad t\in\mathbb{R}\] Parametrické vyjádření přímky \(DF\):
\[\leftrightarrow DF:\quad x=4s,\quad y=4-4s,\quad z=4s,\quad s\in\mathbb{R}\] Bod \(P\) náleží přímce \(DF\). Jeho souřadnice jsou tedy:
\[P=[4s;4-4s;4s]\] K řešení využijeme kolmost vektorů - \(\overrightarrow{EG}\perp\overrightarrow{S_{FH}P}\) a \(\overrightarrow{DF}\perp\overrightarrow{S_{FH}P}\):
\[\overrightarrow{EG}\cdot\overrightarrow{S_{FH}P}=0\wedge\overrightarrow{DF}\cdot\overrightarrow{S_{FH}P}=0\] Pro vektory \(\overrightarrow{EG}\), \(\overrightarrow{S_{FH}P}\) a \(\overrightarrow{DF}\) platí:
\[\overrightarrow{EG}=(4;4;0)\quad\overrightarrow{DF}=(4;-4;4)\quad\overrightarrow{S_{FH}P}=(4s-2;4-4s-2;4s-4)\] Nyní vypočítejme parametr \(s\in\mathbb{R}\) pomocí soustavy rovnic:
\[\overrightarrow{EG}\cdot\overrightarrow{S_{FH}P}=0\] \[\underline{\overrightarrow{DF}\cdot\overrightarrow{S_{FH}P}=0}\] \[(4;4;0)\cdot(4s-2;4-4s-2;4s-4)=0\] \[\underline{(4;-4;4)\cdot(4s-2;4-4s-2;4s-4)=0}\] \[16s-8+16-16s-8=0\] \[\underline{16s-8-16+16s+8+16s-16=0}\] \[0s=0 \Rightarrow s\in\mathbb{R}\] \[48s=32 \Rightarrow s=\frac{2}{3}\] Bod \(P=[\frac{8}{3};\frac{4}{3};\frac{8}{3}]\), velikost vektoru \(\overrightarrow{S_{FH}P}\) je tedy rovna:
\[|\overrightarrow{S_{FH}P}|=\Biggl|\biggl(\frac{2}{3};-\frac{2}{3};-\frac{4}{3}\biggr)\Biggr|=\sqrt{\frac{4}{9}+\frac{4}{9}+\frac{16}{9}}=\sqrt{\frac{24}{9}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}\doteq 1,63\mbox{ cm}\]
Syntetické početní řešení
Během řešení se budeme pohybovat v trojúhelníku \(DFS_{FH}\). Nejprve vypočteme velikost úhlu \(S_{FH}FD\) (označíme \(\varphi\)),
jenž využijeme během výpočtu délky úsečky \(S_{FH}P\) v trojúhelníku \(S_{FH}PF\).
Velikost úhlu \(\varphi\) určíme pomocí kosinové věty:
\[\cos\varphi=\frac{|DS_{FH}|^2-|S_{FH}F|^2-|DF|^2}{-2|DF||S_{FH}F|}\] Platí:
\[|DS_{FH}|=\sqrt{|DH|^2+\biggl(\frac{1}{2}|AB|\sqrt{2}\biggr)^2}=\sqrt{4^2+(2\sqrt{2})^2}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}\] \[|S_{FH}F|=\frac{1}{2}|AB|\sqrt{2}=\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{2}=2\sqrt{2}\] \[|DF|=\sqrt{|DB|^2+|BF|^2}=\sqrt{\bigl(|AB|\sqrt{2}\bigr)^2+|AB|^2}=\sqrt{(4\sqrt{2})^2+4^2}=\sqrt{3\cdot 16}=4\sqrt{3}\] Dosaďme do kosinové věty:
\[\cos\varphi=\frac{\bigl(2\sqrt{6}\bigr)^2-\bigl(2\sqrt{2}\bigr)^2-\bigl(4\sqrt{3}\bigr)^2}{-2\cdot 4\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{2}}=\frac{-32}{-16\sqrt{6}}=\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}\Rightarrow \varphi\doteq 35^\circ 15^{'}\] Užitím goniometrické funkce sinus v trojúhelníku \(S_{FH}PF\) získáme \(|S_{FH}P|\):
\[\sin\varphi=\frac{|S_{FH}P|}{|S_{FH}F|}\Rightarrow |S_{FH}P|=|S_{FH}F|\cdot\sin\varphi =2\sqrt{2}\cdot\sin(35^\circ 15^{'})\doteq 1,63\mbox{ cm}\]
Syntetické konstrukční řešení
Zápis konstrukce:
\(\mbox{1) čtverec } ABCD; |AB|=4 \mbox{ cm}\)
\(\mbox{2) } \leftrightarrow o; o\perp \overline{DB} \wedge B\in o\)
\(\mbox{3) } \leftrightarrow p; p\perp \overline{DB} \wedge D\in p\)
\(\mbox{4) } k; k(B,|AB|)\)
\(\mbox{5) } l; l(D,|AB|)\)
\(\mbox{6) } F; F\in k\cap o \)
\(\mbox{7) } H; H\in l\cap p \wedge H\in \longmapsto BDF\)
\(\mbox{8) } S_{FH};S_{FH}\in FH\wedge |FS_{FH}|=|S_{FH}H|\)
\(\mbox{9) } \leftrightarrow m; m\perp \overline{DF} \wedge S_{FH}\in m\)
\(\mbox{10) } P; m\cap \overline{DF} = \{P\} \)
Provedením konstrukce jsme získali vzdálenost bodů \(P\) a \(S_{FH}\), čímž jsme sestrojili vzdálenost přímek \(EG\) a \(DF\).
Je dán pravidelný čtyřstěn \(ABCD\), \(|AB|=4\mbox{ cm}\). Určete vzdálenost hran \(AB\) a \(DC\).
Znázornění situace
Analytické řešení
Zadaný čtyřstěn jsme vhodně umístili do soustavy souřadnic:
X -ovou souřadnici bodu \(C\) jsme získali výpočtem výšky v rovnostranném trojúhelníku \(ABC\).
Souřadnice bodu \(D\) jsme odvodili na základě souřadnic těžiště \(T\) trojúhelníku \(ABC\) a na základě pravoúhlého trojúhelníku \(TCD\).
Určeme parametrická vyjádření přímek \(AB\) a \(CD\):
\[\leftrightarrow AB:\quad x=0,\quad y=4t,\quad z=0,\quad t\in\mathbb{R}\] \[\leftrightarrow CD:\quad x=2\sqrt{3}+\biggl(\frac{2}{3}\sqrt{3}-2\sqrt{3}\biggr)s,\quad y=2,\quad z=4\sqrt{\frac{2}{3}}s,\quad s\in\mathbb{R}\] Směrovým vektorem přímky \(AB\) je vektor \(\overrightarrow{AB}=(0;4;0)\) a směrovým vektorem přímky \(CD\) je vektor \(\overrightarrow{CD}=\Bigl(\frac{2}{3}\sqrt{3}-2\sqrt{3};0;4\sqrt{\frac{2}{3}}\Bigr)\).
K výpočtu vzdálenosti obou přímek využijeme kolmost vektorů \(\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{S_{AB}P}\) a \(\overrightarrow{CD}\perp\overrightarrow{S_{AB}P}\)
(\(S_{AB}P\) je kolmá příčka přímek \(AB\), \(CD\) a \(P\in CD\)):
\[\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{S_{AB}P}=0\wedge\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{S_{AB}P}=0\] \[P=\Biggl[2\sqrt{3}+(\frac{2}{3}\sqrt{3}-2\sqrt{3})s;2;4\sqrt{\frac{2}{3}}s\Biggr]\wedge\overrightarrow{S_{AB}P}=\Biggl(2\sqrt{3}+\Biggl(\frac{2}{3}\sqrt{3}-2\sqrt{3}\Biggr)s;0;4\Biggr)\] Můžeme nahlédnout, že řešením rovnice \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{S_{AB}P}=0\) je \(s\in\mathbb{R}\). Zkusme vypočítat druhou rovnici:
\[\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{S_{AB}P}=0\] \[\biggl(\frac{2}{3}\sqrt{3}-2\sqrt{3};0;4\sqrt{\frac{2}{3}}\Biggr)\cdot\Biggl(2\sqrt{3}+(\frac{2}{3}\sqrt{3}-2\sqrt{3})s;0;4\sqrt{\frac{2}{3}}\Biggr)=0\] \[4-4\cdot 3+\Biggl(\frac{2}{3}\sqrt{3}-2\sqrt{3}\Biggr)^2s+16\cdot \frac{2}{3}s=0\] \[\Biggl(\frac{4}{3}+12-2\cdot \frac{2}{3}\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}\Biggr)s+\frac{32}{3}s=8\] \[4s+36s-24s+32s=24\] \[48s=24\] \[s=\frac{1}{2}\] Parametr \(s=\frac{1}{2}\) dosadíme do vektoru \(\overrightarrow{S_{AB}P}\):
\[\overrightarrow{S_{AB}P}=\Biggl(2\sqrt{3}+\Bigl(\frac{2}{3}\sqrt{3}-2\sqrt{3}\Bigr)\frac{1}{2};0;2\sqrt{\frac{2}{3}}\Biggr)\] \[|\overrightarrow{S_{AB}P}|=\sqrt{\Biggl(2\sqrt{3}\frac{1}{3}\sqrt{3}-\sqrt{3}\Biggr)^2+\Biggl(2\sqrt{\frac{2}{3}}\Biggr)^2}\] \[|\overrightarrow{S_{AB}P}|=\sqrt{\Biggl(\frac{4}{3}\sqrt{3}\Biggr)^2+\frac{8}{3}}=\sqrt{\frac{16}{9}\cdot 3+\frac{8}{3}}=\sqrt{\frac{24}{3}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\doteq 2,83\mbox{ cm}\]
Syntetické početní řešení
Řezem čtyřstěnu rovinou kolmou k hraně \(AB\) a procházející hranou \(CD\) je rovnoramenný trojúhelník \(S_{AB}CD\) s rameny \(S_{AB}D\), \(S_{AB}C\).
Délky ramen \(S_{AB}C\), \(S_{AB}D\) jsou rovny výšce v rovnostranném trojúhelníku \(ACB\), tj. \(|S_{AB}C|=\frac{|AC|}{2}\sqrt{3}=2\sqrt{3}\).
Vzdálenost hran \(AB\) a \(CD\) je rovna výšce v trojúhelníku \(S_{AB}CD\) k základně \(CD\).
Výšku \(S_{AB}P\) v rovnoramenném trojúhelníku \(S_{AB}CD\) určíme z pravoúhlého trojúhelníku \(S_{AB}CP\):
\[|S_{AB}P|=\sqrt{|S_{AB}C|^2-|CP|^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2-2^2}=\sqrt{12-4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\doteq 2,83\mbox{ cm}\]
Syntetické konstrukční řešení
Zápis konstrukce:
\(\mbox{1) } \mbox{rovnostranný trojúhelník } ABC; |AB|=4 \mbox{ cm}\)
\(\mbox{2) } S_{AB}; S_{AB}\mbox{ je střed strany }AB\)
\(\mbox{3) } \triangle S_{AB}DC; |CD|=4\mbox{ cm, }|S_{AB}D|=|S_{AB}C| \)
\(\mbox{4 } m; m\perp\overline{CD}\wedge S_{AB}\in m \)
\(\mbox{5) } P; m\cap \overline{CD} = \{P\} \)
Provedením konstrukce jsme získali vzdálenost bodů \(S_{AB}\), \(P\), čímž jsme sestrojili vzdálenost přímek \(AB\) a \(DC\).
