Příklady k procvičení:
>
Je dána krychle \(ABCDEFGH\), \(|AB| = 4\mbox{ cm}\). Určete vzdálenost bodu \(S_{FH}\) od roviny \(ABC\).
Znázornění situace
Analytické řešení
Zadanou krychli jsme vhodně umístili do soustavy souřadnic:
Z obrázku můžeme nahlédnout, že vzdálenost bodu \(S_{FH}\) od roviny \(ABC\) je rovna výšce zadané krychle. My si však ukážeme, jak lze naši myšlenku podložit výpočtem.
Obecná rovnice roviny \(ABC\) (dále jen rovina \(\varrho\)) má tvar:
\[\varrho:\quad z=0\] Normálový vektor roviny odpovídá vektoru \(\overrightarrow{n_\varrho}=(0;0;1)\).
Využijeme nyní vztah pro výpočet vzdálenosti bodu od roviny:
\[d(S_{FH}\varrho)=\frac{|ax+by+cz+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\] \(\overrightarrow{n_\varrho}=(a;b;c)=(0;0;1)\) a \(S_{FH}=[x;y;z]=[2;2;4]\).
Dosazením do vztahu pro výpočet vzdálenosti bodu od roviny získáme:
\[d(S_{FH}\varrho)=\frac{|0\cdot 2+0\cdot 2+1\cdot 4+0|}{\sqrt{0+0+1}}=4\] Vzdálenost bodu \(S_{FH}\) od roviny \(\varrho\) je rovna \(4\mbox{ cm}\).
Syntetické početní řešení
Můžeme nahlédnout, že vzdálenost bodu \(S_{FH}\) od roviny \(ABC\) (označme ji \(\varrho\)) je rovna výšce krychle. Platí tedy:
\(|S_{FH}\varrho|=4\mbox{ cm}\)
Syntetické konstrukční řešení
Zápis konstrukce:
\(\mbox{1) čtverec } ABCD; |AB|=4 \mbox{ cm}\)
\(\mbox{2) } k; k\perp\overline{BD}\wedge D\in k\)
\(\mbox{3) } l; l\perp\overline{BD}\wedge B\in l\)
\(\mbox{4) } m; m(D,|AB|)\)
\(\mbox{5) } n; n(B,|AB|)\)
\(\mbox{6) } H; H\in k\cap m \)
\(\mbox{7) } F; F\in l\cap \wedge F\in\longmapsto BDH\)
\(\mbox{8) } S_{AC}; S_{AC}\mbox{ je středem }\overline{AC} \)
\(\mbox{9) } S_{HF}; S_{HF}\mbox{ je středem }\overline{HF} \)
Provedením konstrukce jsme získali vzdálenost bodu \(S_{FH}\) od roviny \(ABC\), která odpovídá délce úsečky \(S_{AC}S_{FH}\).
Je dána krychle \(ABCDEFGH\), \(|AB| = 4\mbox{ cm}\). Určete vzdálenost bodu \(F\) od roviny \(BGE\).
Znázornění situace
Analytické řešení
Zadanou krychli jsme vhodně umístili do soustavy souřadnic:
Pro určení vzdálenosti \(d\) bodu \(F\) od roviny \(BGE\) (dále ji značíme \(\varrho\)) využijeme vztah
\[d(F,\varrho)=\frac{|ax_F+by_F+cz_F+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\mbox{,}\] kde rovina \(\varrho\) má obecnou rovnici \(ax+by+cz+d=0\) a \(F=[x_F;y_F;z_F]\).
Potřebujeme tedy najít normálový vektor roviny.
Normálový vektor lze určit pomocí dvou směrových vektorů. Použijme vektory:
\[\overrightarrow{GE}=(-4;-4;0),\quad\overrightarrow{GB}=(0;-4;-4)\] Určíme normálový vektor roviny \(\varrho\) \[\begin{eqnarray*}
\overrightarrow{n_\varrho}&=&\overrightarrow{GE}\times\overrightarrow{GB}\\
&=&\bigl((-4)\cdot (-4)-0\cdot (-4);0\cdot 0-(-4)\cdot (-4);(-4)\cdot (-4)-(-4)\cdot 0\bigr)\\
&=&(16;-16;16)\sim(1;-1;1)
\end{eqnarray*}\] Vypočítáme hodnotu \(d\) v obecné rovnici roviny \(\varrho\) dosazením bodu \(B\) a vektoru \(\overrightarrow{n_\varrho}\):
\[\begin{eqnarray*}
1\cdot 4-1\cdot 0+1\cdot 0 + d&=&0\\
d&=&-4
\end{eqnarray*}\] Nyní můžeme dosadit do výše uvedeného vztahu pro výpočet vzdálenosti bodu od roviny:
\[d(F,\varrho)=\frac{|1\cdot 4-1\cdot 0+1\cdot 4-4|}{\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}}=\frac{4}{\sqrt{3}}=\doteq 2,3\mbox{ cm}\]
Syntetické početní řešení
K výpočtu vzdálenosti bodu \(F\) od roviny \(BGE\) využijeme pravoúhlý \(\triangle BFS_{FH}\) s pravým úhlem u vrcholu \(F\).
Pomocí goniometrické funkce tangens určíme velikost úhlu \(FS_{FH}B\), označme jej \(\beta\):
\[\tan\beta=\frac{|BF|}{|S_{FH}F|}=\frac{4}{2\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\Rightarrow\beta\doteq 54^\circ 44^{'}\] Úhel \(\beta\) je společný pro \(\triangle BFS_{FH}\) a \(\triangle PFS_{EF}\), kde \(P\) je patou kolmice z bodu \(F\) k přímce \(S_{FH}B\).
Z trojúhelníku \(PFS_{FH}\) užitím goniometrické funkce sinus získáme vzdálenost \(|FP|\):
\[\sin\beta=\frac{|FP|}{|S_{FH}F|}\Rightarrow |FP|=|S_{FH}F|\cdot\sin\beta=2\sqrt{2}\sin(54^\circ 44^{'})\doteq 2,3\mbox{ cm}\] Vzdálenost bodu \(F\) od roviny \(BGE\) je rovna velikosti úsečky \(FP\).
Syntetické konstrukční řešení
Zápis konstrukce:
\(\mbox{1) čtverec } ABCD; |AB|=4 \mbox{ cm}\)
\(\mbox{2) } \leftrightarrow o; o\perp BD \wedge D\in o\)
\(\mbox{3) } \leftrightarrow p; p\perp BD \wedge B\in p\)
\(\mbox{4) } k; k(D,|AB|)\)
\(\mbox{5) } l; l(B,|AB|)\)
\(\mbox{6) } H; H\in o\cap k \)
\(\mbox{7) } F; F\in p\cap l \wedge F\in \ \mapsto{BDH}\)
\(\mbox{8) } S_{FH}; S_{FH}\mbox{ je středem úsečky } HF\)
\(\mbox{9) } \leftrightarrow s; s\perp \overline{S_{FH}B} \wedge F\in s\)
\(\mbox{10) } P; s\cap \overline{S_{FH}B} = \{P\} \)
Provedením konstrukce jsme získali vzdálenost bodů \(F\) a \(P\), která odpovídá vzdálenosti bodu \(F\) od roviny \(BGE\).
Je dán pravidelný čtyřboký jehlan \(ABCDV\) s podstavou \(ABCD\) o středu \(S\), \(|AB| = 4\mbox{ cm}\), \(|SV| = 4\mbox{ cm}\). Dále je dán bod \(Q\), který je středem úsečky \(S_{BC}V\). Určete vzdálenost bodu \(Q\) od roviny \(BCS_{DV}\).
Znázornění situace
Analytické řešení
Zadaný jehlan jsme vhodně umístili do soustavy souřadnic:
Pro určení vzdalenosti bodu \(Q\) od roviny \(BCS_{DV}\) (dále ji značíme \(\varrho\)) využijeme vztah:
\[d(Q,\varrho)=\frac{|ax_Q+by_Q+cz_Q+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\] Rovina \(\varrho\) má obecnou rovnici \(ax+by+cz+d=0\) a \(Q=[x_Q;y_Q;z_Q]=[3;2;2]\).
Potřebujeme tedy určit normálový vektor roviny.
Normálový vektor lze vypočítat pomocí dvou směrových vektorů.Těmito vektory jsou například:
\[\overrightarrow{BS_{AV}}=(-3;1;2),\quad\overrightarrow{BC}=(0;4;0)\] Určíme normálový vektor roviny \(\varrho\) \[\begin{eqnarray*}
\overrightarrow{n_\varrho}&=&\overrightarrow{BS_{AV}}\times\overrightarrow{BC}\\
&=&(1\cdot 0-2\cdot 4;2\cdot 0-(-3)\cdot 0;(-3)\cdot 4-1\cdot 0) \\
&=&(-8;0;-12)\sim (2;0;3)
\end{eqnarray*}\] Vypočítáme hodnotu \(d\) v obecné rovnici roviny \(\varrho\) dosazením bodu \(B\) a vektoru \(\overrightarrow{n_\varrho}\):
\[\begin{eqnarray*}
2\cdot 4+0\cdot 0+3\cdot 0+d&=&0\\
d&=&-8\end{eqnarray*}\] Nyní můžeme dosadit do výše uvedeného vztahu pro výpočet vzdálenosti bodu od roviny:
\[d(Q,\varrho)=\frac{|2\cdot 3+0\cdot 2+3\cdot 2-8|}{\sqrt{2^2+0^2+3^2}}=\frac{4}{\sqrt{13}}\doteq 1,11\mbox{ cm}\]
Syntetické početní řešení
K výpočtu využijeme trojúhelníky \(S_{AD}SV\), \(S_{AD}S_{BC}X\), \(XS_{BC}V\) a \(PS_{BC}Q\), kde
\(X\) je středem \(S_{AV}S_{DV}\)
Abychom určili velikost úsečky \(XS_{BC}\), musíme vypočítat velikost úhlu \(\beta\) v trojúhelníku \(S_{AD}SV\):
\[\tan\beta=\frac{|SV|}{|S_{AD}S|}=\frac{4}{2}=2\Rightarrow \beta\doteq 63^\circ26^{'}\] Z \(\triangle S_{AD}SV\) vypočítáme pomocí Pýthagorovy věty délku úsečky \(S_{AD}V\):
\[|S_{AD}V|=\sqrt{|S_{AD}S|^{2}+|SV|^{2}}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}\] Délka \(|S_{AD}X|\) je polovinou \(|S_{AD}V|\), tedy \(|S_{AD}X|=\sqrt{5}\) a zároveň platí \(|S_{AD}X|=|QS_{BC}|\).
Velikost úsečky \(S_{BC}X\) vypočítáme pomocí kosinové věty v trojúhelníku \(S_{AD}S_{BC}X\):
\[|S_{BC}X|^2=|S_{AD}X|^2+|S_{AD}S_{BC}|^2-2|S_{AD}X|\cdot|S_{AD}S_{BC}|\cdot\cos\beta\] \[|S_{BC}X|^2=\sqrt{5}^2+4^2-2\cdot \sqrt{5}\cdot 4\cos(63^\circ26^{'})\doteq 13\] \[|S_{BC}X|=\sqrt{13}\] Nyní určíme velikost úhlu \(\varphi\) v trojúhelníku \(XS_{BC}V\) pomocí kosinové věty:
\[\cos\varphi=\frac{|XV|^2-|S_{BC}V|^2-|S_{BC}X|^2}{-2|S_{BC}V|\cdot|S_{BC}X|}\] \[\cos\varphi=\frac{\sqrt{5}^2-(2\sqrt{5})^2-\sqrt{13}^2}{-2\cdot 2\sqrt{5}\cdot \sqrt{13}}\Rightarrow\varphi\doteq 29^\circ 44^{'}\] Již zbývá jen dopočítat velikost úsečky \(PQ\) pomocí kosinové věty v trojúhelníku \(S_{BC}QP\), kde bod \(P\) je patou výšky v trojúhelníku \(XS_{BC}V\) vedené z bodu \(Q\):
\[\sin\varphi=\frac{|PQ|}{|QS_{BC}|}\Rightarrow |PQ|=|QS_{BC}|\sin\varphi =\sqrt{5}\sin(29^\circ 44^{'})\doteq 1,11\mbox{ cm}\]
Syntetické konstrukční řešení
Zápis konstrukce:
\(\mbox{1) čtverec } ABCD; |AB|=6 \mbox{ cm}\)
\(\mbox{2) } S_{AD}; S_{AD}\mbox{ je středem strany }AD\)
\(\mbox{3) } S_{BC}; S_{BC}\mbox{ je středem strany }BC\)
\(\mbox{4) } S; S\mbox{ je středem úsečky }S_{AD}S_{BC}\)
\(\mbox{5) } \leftrightarrow l; l\perp \overline{S_{AD}S_{BC}} \wedge S\in l\)
\(\mbox{6) } k; k(S,|SV|)\)
\(\mbox{7) } V; V\in l\cap k \)
\(\mbox{8) } X; X\mbox{ je středem úsečky }S_{AD}V\)
\(\mbox{9) } Q; Q\mbox{ je středem úsečky }S_{BC}V\)
\(\mbox{10) } \leftrightarrow m; m\perp \overline{XS_{BC}} \wedge Q\in m\)
\(\mbox{11) } P; m\cap \overline{XS_{BC}} = \{P\} \)
Provedením konstrukce jsme získali vzdálenost bodů \(Q\), \(P\), čímž jsme sestrojili vzdálenost bodu \(Q\) od roviny \(BCS_{DV}\) .
Je dán pravidelný šestiboký jehlan \(ABCDEFV\) s podstavou \(ABCDEF\) o středu \(S\), \(|AB| = 4\mbox{ cm}\), \(|SV| = 6\mbox{ cm}\). Určete vzdálenost bodu \(S\) od roviny boční stěny jehlanu.
Znázornění situace
Analytické řešení
Zadaný jehlan jsme vhodně umístili do soustavy souřadnic:
Pro určení vzdalenosti bodu \(S\) od boční stěny jehlanu (za boční stěnu zvolme rovinu \(CDV\) a označme ji \(\varrho\)) využijeme vztah:
\[d(S,\varrho)=\frac{|ax_S+by_S+cz_S+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\] Rovina \(\varrho\) má obecnou rovnici \(ax+by+cz+d=0\) a \(S=[x_S;y_S;z_S]=[0;0;0]\).
Potřebujeme tedy určit normálový vektor roviny.
Normálový vektor lze určit pomocí dvou směrových vektorů. Těmito vektory jsou například:
\[\overrightarrow{VC}=(2\sqrt{3};-2;-6)\quad\overrightarrow{VD}=(2\sqrt{3};2;-6)\] Určíme normálový vektor roviny \(\varrho\):
\[\begin{eqnarray*}\overrightarrow{n_\varrho}&=&\overrightarrow{VC}\times\overrightarrow{VD}\\
&=&((-2)\cdot (-6)-(-6)\cdot (2);(-6)\cdot 2\sqrt{3}-2\sqrt{3}\cdot (-6);2\sqrt{3}\cdot 2-(-2)\cdot2\sqrt{3})\\
&=&(24;0;8\sqrt{3})\sim(3;0;\sqrt{3})\end{eqnarray*}\] Vypočítáme hodnotu \(d\) v obecné rovnici roviny \(CDV\) dosazením souřadnic bodu \(V\) a vektoru \(\overrightarrow{n_\varrho}\):
\[\begin{eqnarray*}
3\cdot 0+0\cdot 0+\sqrt{3}\cdot 6+d&=&0\\
d&=&-6\sqrt{3}\end{eqnarray*}\] Nyní můžeme dosadit do výše uvedeného vztahu pro výpočet vzdálenosti bodu od roviny:
\[d(P,\varrho)=\frac{|3\cdot 0+0\cdot 0+\sqrt{3}\cdot 0-6\sqrt{3}|}{\sqrt{3^2+0^2+(\sqrt{3})^2}}=\frac{|-6\sqrt{3}|}{2\sqrt{3}}= 3\mbox{ cm.}\]
Syntetické početní řešení
K řešení využijeme trojúhelník \(SS_{CD}V\), v němž určíme velikost úhlu \(\varphi\) pomocí goniometrické funkce tangens:
\[\tan\varphi=\frac{|SV|}{|SS_{CD}|}=\frac{6}{2\sqrt{3}}\Rightarrow\varphi=60^\circ\] Úhel \(\varphi\) nám pomůže při počítaní velikosti úsečky \(SP\), jež je naší hledanou vzdáleností. Bod \(P\) je
patou výšky trojúhelníku \(SS_{CD}V\) vedené z vrcholu \(S\). Tuto vzdálenost vypočteme pomocí goniometrické funkce sinus:
\[\sin\varphi=\frac{|SP|}{|SS_{CD}|}\Rightarrow |SP|=|SS_{CD}|\cdot\sin\varphi=2\sqrt{3}\sin(60^\circ)=3\mbox{ cm.}\]
Syntetické konstrukční řešení
Zápis konstrukce:
\(\mbox{1) pravidelný šestiúhelník } ABCDEF; |AB|=4 \mbox{ cm}\)
\(\mbox{2) } S_{CD}; S_{CD}\mbox{ je středem úsečky } CD\)
\(\mbox{3) } \leftrightarrow m; m\perp \overline{SS_{CD}} \wedge S\in m\)
\(\mbox{4) } k; k(S,|SV|)\)
\(\mbox{5) } V; V\in m\cap k\)
\(\mbox{6) } \leftrightarrow l; l\perp \overline{VS_{CD}} \wedge S\in l\)
\(\mbox{7) } P; \overline{VS_{CD}}\cap l = \{P\} \)
Provedením konstrukce jsme získali vzdálenost bodů \(S\) a \(P\), čímž jsme sestrojili vzdálenost bodu \(S\) od roviny boční stěny jehlanu \(ABCDEFV\).
