David Stanovský
//
|
|
ALGEBRA pro obecnou matematiku 2013/14
|
AKTUALITY
Oznámení:
- Nový text na teorii grup ve vývoji.
- V zadání domácích úloh byl překlep v datu odevzdání, stačí odevzdat v úterý 12.11. 12:00 jako obvykle.
- Vzhledem k tomu, že v průběhu semestru odpadnou tři pondělky, bude se konat náhradní přednáška 13.1., tedy první pondělí zkouškového období,
v obvyklém čase 12:20 na obvyklém místě K1.
- Vítejte. Přečtěte si pečlivě tuto stránku a sledujte oznámení.
Výsledky domácích cvičení:
Algebra I
30.9. | Přednáška odpadá. Domácí četba a cvičení: Přirozená čísla, základní věta algebry, Eukleidův algoritmus, kongruence. |
skripta 3.1-3.3 |
domácí úlohy |
7.10. | Kongruence, Eulerova věta. |
skripta 3.3-3.4 |
domácí úlohy |
14.10. | Čínská věta o zbytcích. Historická motivace: řešení polynomiálních rovnic. |
skripta 3.5; 1, 10.4 |
domácí úlohy |
21.10. | Řešení polynomiálních rovic - dokončení. Obory integrity, podobory. |
skripta 10.3-10.5; 4.1, 4.2 |
domácí úlohy |
28.10. | Přednáška odpadá. Domácí četba: uspořádání a svazy, viz domácí cvičení z minulého týdne. |
skripta 2 |
domácí úlohy |
4.11. | Podílové těleso. Obory polynomů a mocninných řad. |
nový text 1, 2.1, 2.2 |
domácí úlohy |
11.11. | Kořeny polynomů, vícenásobné kořeny a derivace. |
nový text 2.3, 2.4, 2.5 |
domácí úlohy |
18.11. | Interpolace. Kvadratická rozšíření Z. Invertibilita. |
nový text 2.6 a 3; skripta 5.1, 5.2 |
domácí úlohy |
25.11. | NSD, ireducibilita. Gaussovské obory. |
skripta 5.3, 5.4, začátek 6 |
domácí úlohy |
2.12. | Charakterizace gaussovských oborů, eukleidovské obory. |
skripta 6, 7.1 |
domácí úlohy |
9.12. | Grupy - příklady, podgrupy, generátory. |
nový text 1, 2.1 |
domácí úlohy |
16.12. | Řád prvku, Lagrangeova věta. Permutační grupy. |
nový text 2.2, 2.3, 3.1 |
domácí úlohy |
6.1. | Působení grupy na množině, Burnsideova věta. |
nový text 3.2, 3.3 |
doporučené úlohy |
13.1. | Cyklické grupy a aplikace v kryptografii. |
nový text 4 (kromě RSA, ElGamal) již aktualizován |
doporučené úlohy |
INFORMACE O KURZU
Obsah přednášky Algebra I (NMAG201):
Předmětem kurzu je úvod do dvou klasických témat: komutativní algebry (teorie dělitelnosti s důrazem na číselné obory a obory polynomů) a teorie grup (s důrazem na permutační a číselné grupy).
- Úvod - motivace, kořeny polynomů, elementární teorie čísel
- Dělitelnost v oborech integrity - obory polynomů, číselné obory, gaussovské a eukleidovské obory
- Grupy - grupy permutací, cyklické grupy
Obsah přednášky Algebra II (NMAG202):
Kurz bude pokračovat úvodem do abstraktní algebry a završen teorií těles (s důrazem na číselná tělesa). Vrcholem bude důkaz Abel-Ruffiniho věty o neřešitelnosti polynomiálních rovnic stupně 5 a více v radikálech.
- Základní algebraické konstrukce - podalgebry, direktní součiny, homomorfismy, izomorfismus, faktoralgebry
- Tělesa - rozšíření konečného stupně, kořenová rozšíření
- Úvod do Galoisovy teorie - (ne)řešitelnost polynomů v radikálech
Proseminář z algebry (NMAG261) bude obsahovat různá témata doplňující a rozšiřující probíranou látku - teorie i aplikace. Proseminář je zvlášť doporučen všem studentům, kteří
se v dalším studiu setkají s algebrou (tj. zejména studenti struktur a informační bezpečnosti).
Základní literatura:
- skripta Základy algebry [errata], která vyšla v Matfyzpressu - zimní semestr bude založen na kapitolách I,III, letní na kapitolách II,V,VI
- Sbírka úloh (v dlouholeté přípravě)
- průběžně zveřejňované texty, které skripta doplňují (a více odpovídají řazení témat na přednášce):
Další užitečné prameny:
- existuje řada pěkných učebnic v angličtině, doporučuji například:
- J. Rotman, A First Course in Abstract Algebra (2ks v knihovně)
- L. Rowen, Algebra: Groups, Rings, and Fields (zdarma online)
- víceméně jakákoliv kniha obsahující "abstract algebra" v názvu a "undergraduate level" v popisu bude pokrývat větší část látky přístupnou formou
- texty ostatních kolegů z katedry -
Robert Bashir,
Jan Trlifaj,
Aleš Drápal,
Jan Žemlička
- konzultovat lze též starší učebnice G. Birkhoff, S. Mac Lane, Prehľad modernej algebry, nebo Procházka a kol., Algebra
- pěkná učebnice zaměřená na výpočetní aspekty algebry a teorie čísel: V. Schoup, A Computational Introduction to Number Theory and Algebra (zdarma online)
- proč se to učí tak jak se to učí? (motivace, historie, souvislosti, ...)
- Logicomix (2ks v knihovně)
- P. Pudlák, Logical Foundations of Mathematics and Computational Complexity (1ks v knihovně)
- jakékoliv materiály o historii algebry, třeba tady
- podnětné články obsahuje wikipedia
- za pozornost stojí studentský projekt Algebra v obrázcích
- pokud se vám moje přednáška nelíbí, můžete zkusit štěstí s přednáškou z Harvardu
Konzultace: nejlépe hned po přednášce, nebo kdykoliv jindy po ohlášení emailem
STUDIJNÍ POVINNOSTI
Zápočet bude udělen zároveň s úspěšně složenou zkouškou.
Domácí úkoly budou zadávány každý týden, body se počítají ke zkoušce.
- zveřejnění: nejpozději ve středu odpoledne na webu zde
- termín odevzdání: do nejbližšího úterka 12:00
- místo odevzdání: do schránky u vchodu na katedru algebry (preferovaná varianta), případně přednášejícímu osobně nebo elektronicky na email ve formátu PDF (pouze s potvrzením o přijetí)
- úlohy podepisujte jménem nebo přezdívkou a označením cvičení (cvičící, hodina)
- na první domácí úkol napište přezdívku, pod kterou budou zveřejňovány výsledky na webu
- z každé série je možné získat max. 15 bodů (zadání bude obvykle rozsáhlejší, pokud nasbíráte více než 15 bodů, výsledek bude 15 bodů)
- celkem 12 sérií, počítá se 10 nejlepších
- žádné omluvy se nepřipouští (ani v případě nemoci) - proto se počítá jen 10 úkolů
- Je možné konzultovat řešení se spolužáky, nicméně řešení musí sepsat každý sám a sepsané řešení není dovoleno ukazovat ostatním studentům.
Opisování nebude tolerováno, podvod může mít vážné následky.
Zkouška z Algebry I:
Zkouška bude mít dvě části: písemnou a ústní. Ústní část nemusí absolvovat studenti, kteří souhlasí s hodnocením z písemné části.
U obou částí se budou zkoušet příklady i teorie. Požadavkem jsou jak znalosti, tak porozumění tématu, hodnotí se také korektní matematický zápis.
Domácí úlohy budou tvořit 15% bodů z testu.
Termíny zkoušek a přihlašování je v SISu.
Podrobný rozpis probrané a tedy zkoušené látky najdete ve výše uvedené tabulce (zkouší se i látka z domácí četby).
Probrali jsme víceméně první kapitolu skript o oborech integrity a úvod do teorie grup podle nového textu.
Doporučuji se učit ze zápisků z přednášky i ze skript, styl výkladu se může mírně lišit.
Ukázkové početní příklady najdete v domácích a doplňujících cvičeních, viz tabulka.
Doporučuji propočítat reprezentativní část příkladů ze sbírky, kapitoly
I., II. a sekce III.1-III.5, s výjimkou příkladů na homomorfismy a izomorfismy. Pokud něčemu nerozumíte, nebojte se přijít zeptat.
Písemná část:
- délka 150 minut
- celkový počet bodů je 100, max. 15 lze získat za domácí úkoly, max. 85 za písemný test
- k úspěšnému složení zkoušky je třeba aspoň 60 bodů
- výsledné hodnocení v rozsahu výborně až dobře rozhodnu individuálně (mimo jiné v závislosti na obtížnosti testu), studenti, kteří nesouhlasí s tímto hodnocením, se mohou nechat ústně přezkoušet
- krátké úlohy na znění definic a vět, znalost příkladů a jednoduché typové úlohy (cca 30 bodů)
- delší úlohy, z toho alespoň jedna ověřující znalost teorie z přednášky (cca 55 bodů)
- vzorové úlohy viz cvičení, domácí úlohy a sbírka, seznam teoretických otázek si snadno domyslíte pohledem do skript
- vzorový test
|