David Stanovský    //   

ALGEBRA pro obecnou matematiku 2013/14

AKTUALITY

Oznámení:

  • Nový text na teorii grup ve vývoji.
  • V zadání domácích úloh byl překlep v datu odevzdání, stačí odevzdat v úterý 12.11. 12:00 jako obvykle.
  • Vzhledem k tomu, že v průběhu semestru odpadnou tři pondělky, bude se konat náhradní přednáška 13.1., tedy první pondělí zkouškového období, v obvyklém čase 12:20 na obvyklém místě K1.
  • Vítejte. Přečtěte si pečlivě tuto stránku a sledujte oznámení.

Výsledky domácích cvičení: Algebra I

30.9.Přednáška odpadá. Domácí četba a cvičení: Přirozená čísla, základní věta algebry, Eukleidův algoritmus, kongruence. skripta 3.1-3.3 domácí úlohy
7.10.Kongruence, Eulerova věta. skripta 3.3-3.4 domácí úlohy
14.10.Čínská věta o zbytcích. Historická motivace: řešení polynomiálních rovnic. skripta 3.5; 1, 10.4 domácí úlohy
21.10.Řešení polynomiálních rovic - dokončení. Obory integrity, podobory. skripta 10.3-10.5; 4.1, 4.2 domácí úlohy
28.10.Přednáška odpadá. Domácí četba: uspořádání a svazy, viz domácí cvičení z minulého týdne. skripta 2 domácí úlohy
4.11.Podílové těleso. Obory polynomů a mocninných řad. nový text 1, 2.1, 2.2 domácí úlohy
11.11.Kořeny polynomů, vícenásobné kořeny a derivace. nový text 2.3, 2.4, 2.5 domácí úlohy
18.11.Interpolace. Kvadratická rozšíření Z. Invertibilita. nový text 2.6 a 3; skripta 5.1, 5.2 domácí úlohy
25.11.NSD, ireducibilita. Gaussovské obory. skripta 5.3, 5.4, začátek 6 domácí úlohy
2.12.Charakterizace gaussovských oborů, eukleidovské obory. skripta 6, 7.1 domácí úlohy
9.12.Grupy - příklady, podgrupy, generátory. nový text 1, 2.1 domácí úlohy
16.12.Řád prvku, Lagrangeova věta. Permutační grupy. nový text 2.2, 2.3, 3.1 domácí úlohy
6.1.Působení grupy na množině, Burnsideova věta. nový text 3.2, 3.3 doporučené úlohy
13.1.Cyklické grupy a aplikace v kryptografii. nový text 4 (kromě RSA, ElGamal) již aktualizován doporučené úlohy

INFORMACE O KURZU

Obsah přednášky Algebra I (NMAG201):
Předmětem kurzu je úvod do dvou klasických témat: komutativní algebry (teorie dělitelnosti s důrazem na číselné obory a obory polynomů) a teorie grup (s důrazem na permutační a číselné grupy).

  • Úvod - motivace, kořeny polynomů, elementární teorie čísel
  • Dělitelnost v oborech integrity - obory polynomů, číselné obory, gaussovské a eukleidovské obory
  • Grupy - grupy permutací, cyklické grupy
Obsah přednášky Algebra II (NMAG202):
Kurz bude pokračovat úvodem do abstraktní algebry a završen teorií těles (s důrazem na číselná tělesa). Vrcholem bude důkaz Abel-Ruffiniho věty o neřešitelnosti polynomiálních rovnic stupně 5 a více v radikálech.
  • Základní algebraické konstrukce - podalgebry, direktní součiny, homomorfismy, izomorfismus, faktoralgebry
  • Tělesa - rozšíření konečného stupně, kořenová rozšíření
  • Úvod do Galoisovy teorie - (ne)řešitelnost polynomů v radikálech
Proseminář z algebry (NMAG261) bude obsahovat různá témata doplňující a rozšiřující probíranou látku - teorie i aplikace. Proseminář je zvlášť doporučen všem studentům, kteří se v dalším studiu setkají s algebrou (tj. zejména studenti struktur a informační bezpečnosti).

Základní literatura:

Další užitečné prameny:

  • existuje řada pěkných učebnic v angličtině, doporučuji například:
    • J. Rotman, A First Course in Abstract Algebra (2ks v knihovně)
    • L. Rowen, Algebra: Groups, Rings, and Fields (zdarma online)
    • víceméně jakákoliv kniha obsahující "abstract algebra" v názvu a "undergraduate level" v popisu bude pokrývat větší část látky přístupnou formou
  • texty ostatních kolegů z katedry - Robert Bashir, Jan Trlifaj, Aleš Drápal, Jan Žemlička
  • konzultovat lze též starší učebnice G. Birkhoff, S. Mac Lane, Prehľad modernej algebry, nebo Procházka a kol., Algebra
  • pěkná učebnice zaměřená na výpočetní aspekty algebry a teorie čísel: V. Schoup, A Computational Introduction to Number Theory and Algebra (zdarma online)
  • proč se to učí tak jak se to učí? (motivace, historie, souvislosti, ...)
    • Logicomix (2ks v knihovně)
    • P. Pudlák, Logical Foundations of Mathematics and Computational Complexity (1ks v knihovně)
    • jakékoliv materiály o historii algebry, třeba tady
  • podnětné články obsahuje wikipedia
  • za pozornost stojí studentský projekt Algebra v obrázcích
  • pokud se vám moje přednáška nelíbí, můžete zkusit štěstí s přednáškou z Harvardu

Konzultace: nejlépe hned po přednášce, nebo kdykoliv jindy po ohlášení emailem

STUDIJNÍ POVINNOSTI

Zápočet bude udělen zároveň s úspěšně složenou zkouškou.

Domácí úkoly budou zadávány každý týden, body se počítají ke zkoušce.

  • zveřejnění: nejpozději ve středu odpoledne na webu zde
  • termín odevzdání: do nejbližšího úterka 12:00
  • místo odevzdání: do schránky u vchodu na katedru algebry (preferovaná varianta), případně přednášejícímu osobně nebo elektronicky na email ve formátu PDF (pouze s potvrzením o přijetí)
  • úlohy podepisujte jménem nebo přezdívkou a označením cvičení (cvičící, hodina)
  • na první domácí úkol napište přezdívku, pod kterou budou zveřejňovány výsledky na webu
  • z každé série je možné získat max. 15 bodů (zadání bude obvykle rozsáhlejší, pokud nasbíráte více než 15 bodů, výsledek bude 15 bodů)
  • celkem 12 sérií, počítá se 10 nejlepších
  • žádné omluvy se nepřipouští (ani v případě nemoci) - proto se počítá jen 10 úkolů
  • Je možné konzultovat řešení se spolužáky, nicméně řešení musí sepsat každý sám a sepsané řešení není dovoleno ukazovat ostatním studentům. Opisování nebude tolerováno, podvod může mít vážné následky.

Zkouška z Algebry I:

Zkouška bude mít dvě části: písemnou a ústní. Ústní část nemusí absolvovat studenti, kteří souhlasí s hodnocením z písemné části. U obou částí se budou zkoušet příklady i teorie. Požadavkem jsou jak znalosti, tak porozumění tématu, hodnotí se také korektní matematický zápis. Domácí úlohy budou tvořit 15% bodů z testu. Termíny zkoušek a přihlašování je v SISu.

Podrobný rozpis probrané a tedy zkoušené látky najdete ve výše uvedené tabulce (zkouší se i látka z domácí četby). Probrali jsme víceméně první kapitolu skript o oborech integrity a úvod do teorie grup podle nového textu. Doporučuji se učit ze zápisků z přednášky i ze skript, styl výkladu se může mírně lišit.

Ukázkové početní příklady najdete v domácích a doplňujících cvičeních, viz tabulka. Doporučuji propočítat reprezentativní část příkladů ze sbírky, kapitoly I., II. a sekce III.1-III.5, s výjimkou příkladů na homomorfismy a izomorfismy. Pokud něčemu nerozumíte, nebojte se přijít zeptat.

Písemná část:

  • délka 150 minut
  • celkový počet bodů je 100, max. 15 lze získat za domácí úkoly, max. 85 za písemný test
  • k úspěšnému složení zkoušky je třeba aspoň 60 bodů
  • výsledné hodnocení v rozsahu výborně až dobře rozhodnu individuálně (mimo jiné v závislosti na obtížnosti testu), studenti, kteří nesouhlasí s tímto hodnocením, se mohou nechat ústně přezkoušet
  • krátké úlohy na znění definic a vět, znalost příkladů a jednoduché typové úlohy (cca 30 bodů)
  • delší úlohy, z toho alespoň jedna ověřující znalost teorie z přednášky (cca 55 bodů)
  • vzorové úlohy viz cvičení, domácí úlohy a sbírka, seznam teoretických otázek si snadno domyslíte pohledem do skript
  • vzorový test