Přednáška AN2E (březen 2014):
(přednášky jsou číslovány průběžně spolu s přednáškami z AN1E)

Přednáška 15 (3.3.2014) : Připomenutí: primitivní funkce a Newtonův integrál. Krátká historie Riemannova integrálu. Pracujeme s omezenými funkcemi na omezeném intervalu [a,b]. Má R-integrál základní vlastnosti "obsahu podgrafu"?. Dělení intervalu [a,b]. Norma dělení. Základní odhad pro dolní a horní součty k f na [a,b]. Zjemnění dělení, společné zjemnění dvou dělení. Každý dolní součet je pod libovolným horním součtem, tj. s(f,D_1) \leq S(f,D_2) pro libovolná dvě dělení D_1, D_2 intervalu [a,b]. Horní a dolní R-intedrál, společná hodnota je R-integrálem f. R-integrál z f na [a,b] existuje, právě když pro každé \eps > 0 existuje dělení D intervalu [a,b] tak, že S(f,D)-s(f,d) < \eps. Odůvodnění.

Přednáška 16 (10.3.2014) :  (s dr. M. Šimůnkovou) Základní věta algebry a její užití na rozklad reálného polynomu na součin (reálných) polynomů stupně nejvýše druhého, rozklad racionální funkce na parciální zlomky  (jen případ vesměs reálných kořenu jmenovatele).

Přednáška 17 (17.3.2014) : Využití nutné a postačující podmínky pro existenci R-integrálu k důkazu existence pro monotónní a pro spojitou funkci. R-integrál jako vhodné zobrazení pro úlohu o ploše. Základní vlastnosti (aditivita vůči oboru, monotonie a "správná integrace" konstantních funkcí).

Přednáška 18 (24.3.2014) : Bodový limitní přechod, f_k  --> f. Bodový limitní přechod nezachová R-integrabilitu. Příklad s Dirichlerovou funkcí. "Choulostivá otázka" záměny limitních přechodů. Příklad: spojité funkce (dokonce stejně omezené) konvergují bodově (dokonce i monotónně) k nespojité funkci. Lze (a) zlepšovat integrál a (b) zlepšovat limitní přechod. Podstata rozdílu mezi bodovou a stejnoměrnou limitou funkcí na intervalu I. Stejnoměrná limita spojitých funkcí je spojitá. Důležitost uvedení oboru, kde je konvergence stejnoměrná. Klíč pochopení principu: Moore-Osgoodova věta. Přednášku nutno projít a ujasnit si všechny kroky (bez pochopení nepůjdeme dále). Zde je obsáhlejší text o Riemannově integrálu a zde text o stejnoměrné konvergenci.

Přednáška 19 (31.3.2014) : Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí {f_k} k f. Postačující podmínka, nutná a postačující podmínka. Bolzano-Cauchyova podmínka pro stejnoměrnou konvergenci posloupnosti funkcí. Ilustrační příklady. Stejnoměrná konvergence řady funkcí na M. Příklad. Weiersrassův M-test.

Předcházející přednášky: (říjen 2013, listopad 2013, prosinec2013, leden 2014, únor 2014)
Následující přednášky: (duben 2014, květen 2014)