Výuka na dálku

Plno výsledků lze zkontrolovat i online:
https://www.wolframalpha.com/
https://www.symbolab.com/

14. týden (od 18.5.) - Lineární ODR s konstantními koeficienty

2. Téma: Lineární ODR s konstantními koeficienty - variace konstant

Minule jsme řešili diferenciální
y⁽ⁿ⁾(x)+a_n-1y^(n-1)(x)+...+a₁y'(x)+a₀y(x)=f(x),
kde funkce f byla konkrétního (přátelského) tvaru.
Dnešní téma: jak řešit rovnice, kde f tohoto tvaru není.

Odpovědí je variace konstant pro vyšší řád rovnice. Algoritmus je podobný 1. řádu a je popsán ve cvičení:
27. Vyšší řád s konstantními koeficienty - variace konstant
27.řešení

Krok 1 - Homogenní rovnice

Prvním krokem je vyřešení homogenní rovnice - s nulovou pravou stranou. Postup je stejný jako minule, použije se věta. Výsledkem je řešení y_H, které obsahuje nějaké ty exp, siny nebo kosiny. A hlavně několik konstant. Píšeme:
y_H(x)=c₁y₁(x)+c₂y₂(x)+...+c_ny_n(x).
Příklad: Sledujte postup v
Úloze 2 na str. 9, Text J. Fišera

Krok 2 - Variace konstant

Vezmeme řešení z minulého kroku a všechny konstanty přepíšeme na funkce:
y_p(x)=c₁(x)y₁(x)+c₂(x)y₂(x)+...+c_n(x)y_n(x).
Rádi bychom, aby při vhodně zvolených c(x) byla tato funkce řešením původní rovnice. Chceme ji tedy dosadit. Než se tak stane, musíme ji n-krát zderivovat. Po každém zderivování navíc položíme část rovnice s c' rovnou nule. Přesněji:
Po 1. zderivování dostaneme
y_p'=(c₁y₁'+c₂y₂'+...+ c_ny_n')+(c₁'y₁+c₂'y₂+...+ c_n'y_n)
a položíme
(c₁'y₁+c₂'y₂+...+ c_n'y_n)=0.
Po 2. zderivování dostaneme
y_p''=(c₁y₁''+c₂y₂''+...+ c_ny_n'')+(c₁'y₁'+c₂'y₂'+...+ c_n'y_n')
a položíme
(c₁'y₁'+c₂'y₂'+...+ c_n'y_n')=0.
Po n-tém zderivování dostaneme
y_p⁽ⁿ⁾=(c₁y₁⁽ⁿ⁾+c₂y₂⁽ⁿ⁾+...+ c_ny_n⁽ⁿ⁾)+(c₁'y₁^(n-1)+c₂'y₂^(n-1)+...+ c_n'y_n^(n-1))
a dosadíme do původní nehomogenní rovnice. Dostaneme
(c₁'y₁^(n-1)+c₂'y₂^(n-1)+...+ c_n'y_n^(n-1))=f.

Krok 3 - Soustava rovnic

Z červených řádků vytvoříme soustavu rovnic s neznámými (funkcemi) c'(x). Vyjádříme c'.
V soustavě budou krom neznámých další funkce (závislé na x) - chováme se k tomu jako k soustavě rovnic s parametrem x.
Existují věty, které zaručují existenci řešení, takže stačí jen vyřešit. Docela dobrý nápad je použít Cramerovo pravidlo.

Krok 4 - Integrace

Z předchozího kroku jsme vyjádřili c'(x), je tedy ještě potřeba najít původní c(x). Tedy integrujeme.

Krok 5 - Celkové řešení

Máme-li spočtené konstanty c(x), můžeme dosadit do funkce y_P. Tím získáme partikulární řešení (které řeší pravou stranu).
Celkové řešení pak je
y=y_H+y_P.
Nezapomene na podmínky na x.
Jsou-li nějaké počáteční podmínky, teď je aplikujeme.

Zdroje:
Variace konstant pro 2. řád doc. Kremla - používá se tam Cramerovo pravidlo.
Isibalo: Variace konstant pro 2. řád
Isibalo: Vyšší řád
Sbírka T. Bárty a D. Pražáka - první sekce (bez soustav)
P. Schreiberová, P. Volný - str. 31
J. Fišer - str. 7

Pěknou zábavu s příklady
27. Vyšší řád s konstantními koeficienty - variace konstant
27.řešení

1. Téma: Lineární ODR s konstantními koeficienty se speciální pravou stranou

Obyčejné diferenciální rovnice mohou mít i vyšší řád. Nebo-li, v rovnici se vyskytují vyšší derivace funkce y(x). Nás budou zajímat lineární ODR s konstantními koeficienty a speciální pravou stranou. To jsou rovnice tvaru:
y⁽ⁿ⁾(x)+a_n-1y^(n-1)(x)+...+a₁y'(x)+a₀y(x)=f(x),
kde a₀,...,a_n-1 jsou konstanty a funkce f je speciálního tvaru, ke kterému se ještě dostaneme.

Kratší verze

Rovnice se řeší dvoukrokově. Nejprve položíme funkci f rovnou 0. Tím dostaneme homogenní diferenciální rovnici. Vytvoříme k ní charakteristický polynom, spočteme jeho kořeny. Podle kořenů sestavíme řešení. Hledejte ve cvičení Větičku o Tvaru fundamentálního řešení.
Pak zkontrolujeme tvar pravé strany a z něj zkusíme uhodnout, jaký tvar bude mít řešení nehomogenní rovnice. Odhad dosadíme do rovnice a dopočteme koeficienty. Následujte Větičku o Speciální pravé straně.
Obě řešení (homogenní a nehomogenní rovnice) sečteme. Jsou-li počáteční podmínky, dosadíme do nich a upočteme konstanty.

Pěknou zábavu s příklady
26. Vyšší řád s konstantními koeficienty a speciální PS
26.řešení

Delší verze

Budeme potřebovat znění vět, které jsou přepsané v úvodu cvičení:
26. Vyšší řád s konstantními koeficienty a speciální PS
26.řešení
Pak už stačí následovat algoritmus.

Krok 1 - Homogenní rovnice - charakteristický polynom

Začínáme s homogenní rovnicí - funkci f z pravé strany nahradíme nulou.
y⁽ⁿ⁾(x)+a_n-1y^(n-1)(x)+...+a₁y'(x)+a₀y(x)=0.

K této rovnici vytvoříme charakteristický polynom χ(λ)
χ(λ)= λ⁽ⁿ⁾+a_n-1λ^(n-1)+...+a₁λ+a₀.
(k-tou derivaci y nahradíme lambdou na k-tou, funkci y nahradíme jedničkou.)

Polynomu najdeme kořeny (a to i komplexní), tedy řešíme rovnici
λ⁽ⁿ⁾+a_n-1λ^(n-1)+...+a₁λ+a₀=0
Tento krok končíme se sadou kořenů různé násobnosti a to jak reálných, tak komplexních.

Krok 2 - Homogenní rovnice - sestavení řešení

Kořeny nyní vygenerují systém řešení. Vlastně aplikujeme Větu o tvaru fundamentálního systému. Konkrétně to vypadá takto:

Reálné kořeny:
Je-li λ reálný kořen, řešení je tvaru e^λx.
Je-li λ reálný kořen násobnosti 2, řešení je tvaru e^λx a xe^λx.
Je-li λ reálný kořen násobnosti 3, řešení je tvaru e^λx, xe^λx, x²e^λx.
Atd.

Komplexní kořeny:
Komplexní kořeny chodí po komplexně sdružených dvojicích. Je-li tedy λ=α+βi kořenem, bude kořenem i číslo λ=α-βi.
Tato dvojice kořenů pak generuje dvojici řešení e^αxcos(β x) a e^αxsin(β x).
I komplexní kořeny mohou mít vyšší násobnost. Pak postupujeme analogicky reálným kořenům.
Pro násobnost dva se v řešení objevují dvojice
e^αxcos(β x), e^αxsin(β x), xe^αxcos(β x) a xe^αxsin(β x).
Pro násobnost tři se v řešení objevují dvojice
e^αxcos(β x), e^αxsin(β x), xe^αxcos(β x), xe^αxsin(β x), x²e^αxcos(β x) a x²e^αxsin(β x).
Atd.

Nyní bychom měli mít systém různých řešení. Byla-li původní rovnice n-tého řádu, měli bychom mít n řešení.
Celkové řešení homogenní rovnice pak získáme jako jejich lineární kombinaci.

Příklad:
y'''+3y''-4y=0
má charakteristický polynom
λ³+3λ²-4
a kořeny jsou: -2 je dvojnásobný kořen, 1 je jednonásobný.
Kořeny pak dají řešení e^x, e^-2x, xe^-2x.
Celkové řešení bude tvaru
y_H= c₁ e^x+ c₂ e^-2x+ c₃ xe^-2x.

Příklad:
y⁽⁴⁾+8y''+16y=0
má charakteristický polynom
λ⁴+8λ²+16
a kořeny tvoří komplexně sdruženou dvojici: 0+2i, 0-2i. Oba kořeny jsou dvojnásobné.
Kořeny pak dají řešení e^0xcos(2x)=cos (2x), e^0xsin(2x)=sin(2x), xe^0xcos(2x)=xcos (2x), xe^0xsin(2x)=xsin(2x),
Celkové řešení bude tvaru
y_H= c₁ cos (2x)+ c₂ sin(2x)+ c₃ xcos (2x)+ c₄ xsin(2x).

Krok 3 - Speciální pravá strana - kontrola tvaru

Je čas na pravou stranu. Řešení homogenní rovnice si schováme na potom a budeme hledat řešení původní rovnice
y⁽ⁿ⁾(x)+a_n-1y^(n-1)(x)+...+a₁y'(x)+a₀y(x)=f(x),
kde f je tvaru
f(x)=e^{μ x}(P(x)cos(ν x)+Q(x)sin(ν x)),
kde μ,ν∈R a P,Q jsou polynomy.
(Když f není tohoto tvaru, tak se na to musí variací konstant pro vyšší řád, což si ukážeme až příště).

V tomto kroce zkontrolujeme f, že je opravdu správného tvaru, a určíme μ, ν, P(x) a Q(x).

Příklady:
f(x)=3x²-2x+1
lze napsat jako
3x²-2x+1= e^{0 x}( (3x²-2x+1)cos(0 x)+1sin(0x)).
Pak μ=0, ν=0, P(x)=3x²-2x+1, Q(x)=1.
(Pozn.: Q(x) může být i něco jiného, třeba 0 nebo 2x, a pořád to bude dávat smysl, ale není třeba si to komplikovat.)

Další příklady už jen krátce:
12xe^-x= e^-1x( (12xcos(0 x)+1sin(0x)).
e^4xsin(2x)= e^4x( 0cos(2x)+1sin(2x)).
cos(3x)-xsin(3x)= e^{0 x}( 1cos(3x)+(-x)sin(3x)).

Příklady funkcí, které tak zapsat nelze:
cos(3x)-2sin(2x)
e^2x+x²
e^2x2+sin(2x)cos(2x)
První dva případy lze vyřešit postupem, který si ukážeme na konci, třetí případ je třeba udělat technikou, která bude až příště.

Krok 4 - Odhad tvaru řešení s neurčitými koeficienty

Máme zkontrolováno, že f je správného tvaru, a máme určené μ, ν, P(x) a Q(x). Nyní uděláme odhad, jak by mohlo vypadat řešení. Konkrétně, jestliže
f(x)=e^{μ x}(P(x)cos(ν x)+Q(x)sin(ν x)),
budeme hledat řešení ve tvaru
y_P(x)=x^me^{μ x}(R(x)cos(ν x)+S(x)sin(ν x)).
R(x) a S(x) jsou polynomy, jejichž konkrétní podobu ještě musíme určit. Jistě ale víme, že jejich stupeň je nejvýše roven max{st P; st Q}.
Číslo m určíme takto:
Zkontrolujeme, zda číslo μ+νi je kořenem charakteristického polynomu z Kroku 1. Číslo m je pak rovno jeho násobnosti. Pakliže kořenem není, m=0 a místo x^m píšeme prostě jedničku.

Příklad:
y'''+3y''-4y=e^-5x((12xcos(0 x)+1sin(0x)).
Nejprve homogenní rovnice:
y'''+3y''-4y=0
má charakteristický polynom
λ³+3λ²-4
a kořeny jsou: -2 je dvojnásobný kořen, 1 je jednonásobný.
Teď pravá strana:
Polynomy 12x a 1 jsou stupňů 1 a 0, vyšší číslo je jednička. Polynomy R a S tedy budou stupně jedna.
Číslo μ+νi=-5+0i=-5 není kořenem charakteristického polynomu, tedy m=0.
Řešení tedy bude tvaru:
y_P= x⁰e^-5x((Ax+B)cos(0 x)+(Cx+D)sin(0x))= e^-5x((Ax+B).

Velmi podobný příklad:
y'''+3y''-4y=e^-2x((12xcos(0 x)+1sin(0x)).
Nejprve homogenní rovnice:
y'''+3y''-4y=0
má charakteristický polynom
λ³+3λ²-4
a kořeny jsou: -2 je dvojnásobný kořen, 1 je jednonásobný.
Teď pravá strana:
Polynomy 12x a 1 jsou stupňů 1 a 0, vyšší číslo je jednička. Polynomy R a S tedy budou stupně jedna.
Číslo μ+νi=-2+0i=-2 je dvojnásobným kořenem charakteristického polynomu, tedy m=2.
Řešení tedy bude tvaru:
y_P= x²e^-5x((Ax+B)cos(0 x)+(Cx+D)sin(0x))= e^-5x((Ax³+Bx²).

Příklad:
y⁽⁴⁾+8y''+16y= e^0x(((3x²-1)cos(2x)+0sin(2x)).
y⁽⁴⁾+8y''+16y=0
má charakteristický polynom
λ⁴+8λ²+16
a kořeny tvoří komplexně sdruženou dvojici: 0+2i, 0-2i. Oba kořeny jsou dvojnásobné.
Pravá strana:
(3x²-1) a 0 jsou stupnů 2 a 0, vyšší je dvojka, polynomy R a S budou tedy stupně 2.
Číslo μ+νi=0+2i=2i je dvojnásobným kořenem charakteristického polynomu, tedy m=2.
Řešení budeme hledat ve tvaru:
y_P= x²e^0x((Ax²+Bx+C)cos(2 x)+(Dx²+Ex+F)sin(2x))= (Ax⁴+Bx³+Cx²)cos(2 x)+(Dx⁴+Ex²+Fx²)sin(2x).

Příklad:
y⁽⁴⁾+8y''+16y= e^0x((0cos(4x)+3sin(4x)).
y⁽⁴⁾+8y''+16y=0
má charakteristický polynom
λ⁴+8λ²+16
a kořeny tvoří komplexně sdruženou dvojici: 0+2i, 0-2i. Oba kořeny jsou dvojnásobné.
Pravá strana:
0 a 3 jsou stupnů 0 a 0, polynomy R a S budou tedy stupně 0.
Číslo μ+νi=0+4i=4i není kořenem charakteristického polynomu, tedy m=0.
Řešení budeme hledat ve tvaru:
y_P= x⁰e^0x((A)cos(4 x)+(B)sin(4x))= Acos(4 x)+Bsin(4x).

Poznámky:

1. Vyskytuje-li se v odhadovaném řešení sin, musí tam být i cos a naopak. A to i tehdy, pokud ve funkci f je jen jeden z nich.
2. Testujeme pouze násobnost komplexního čísla μ+νi. Sdružené číslo μ-νi do řešení nijak nezasahuje, tedy ho ignorujeme.
3. Konstanta je taky polynom - totiž polynom stupně 0.

Krok 5 - Dosazení do rovnice a výpočet koeficientů

Z předchozího kroku máme odhad řešení y_P, ve kterém se vyskytují nějaké neurčité koeficienty. Jelikož y_P má být řešení, musí splňovat původní rovnici (tu s pravou stranou f(x)). Tedy dosadíme. Z rovnice pak určíme jednotlivé koeficienty. (Je to podobné jako u parciálních zlomků.)
Příklady výpočtů najdete ve cvičení nebo v odkazovaných materiálech.

Krok 6 - Doladění celkového řešení

Už máme řešení pravé strany y_P a řešení homogenní rovnice y_H (z Kroku 2). Celkové řešení získáme jako jejich součet:
y=y_H+y_P.

Krok 7 - Případné podmínky

Obsahuje-li příklad počáteční podmínky
y(x₀)=y₀ a y'(x₀)=y₁,
tak teď přichází chvíle je aplikovat. Dosadíme je do celkového řešení a dopočteme konstanty c₁, c₂, c₃ atd.

Poznámky

Co s funkcemi, které v našem konkrétním speciálním tvaru nejsou? Jestliže se funkce f(x) dá zapsat jako součet f(x)=g(x)+h(x), kde g a h už ten správný tvar mají, lze příklad roztrhnout. Konkrétně:
Vyřešíme homogenní rovnici a získáme řešení y_H.
Vyřešíme rovnici s pravou stranou g a získáme řešení y_P1.
Vyřešíme rovnici s pravou stranou h a získáme řešení y_P2.
Výsledkem pak bude funkce y=y_H+ y_P1 + y_P2.
(Až na tuto funkci pak aplikujeme počáteční podmínky.)

Pěknou zábavu s příklady
26. Vyšší řád s konstantními koeficienty a speciální PS
26.řešení

Materiály:
Isibalo: 2. řád, homogenní rovnice
Isibalo: 2. řád, speciální pravá strana I
Isibalo: 2. řád, speciální pravá strana II
Isibalo: vyšší řád, homogenní rovnice
Isibalo: vyšší řád, speciální pravá strana
Isibalo: dodatky ke komplexním kořenům

Khan: 2. řád, homogenní rovnice, úvod a vlastnosti - české titulky
Khan: 2. řád, homogenní rovnice, odhad řešení - české titulky
Khan: 2. řád, hommogenní rovnice, odhad řešení, pokračování s počátečními podmínkami - české titulky
Khan: 2. řád, homogenní rovnice, shrnutí postupu - anglické titulky
Khan: 2. řád, homogenní rovnice, komplexní kořeny - české titulky, zmiňuje se tam komplexní exponenciála
Khan: 2. řád, homogenní rovnice, komplexní kořeny, pokračování - anglické titulky
Khan: 2. řád, homogenní rovnice, komplexní kořeny, shrnutí - anglické titulky
Khan: 2. řád, homogenní rovnice, dvojnásobné kořeny - anglické titulky
Khan: 2. řád, homogenní rovnice, dvojnásobné kořeny, shrnutí a počáteční podmínky - anglické titulky
Khan: 2. řád, speciální pravá strana, úvod (e^x - anglické titulky
Khan: 2. řád, speciální pravá strana, pokračování (sin a cos) - anglické titulky
Khan: 2. řád, speciální pravá strana, pokračování (polynomy) - anglické titulky
Khan: 2. řád, speciální pravá strana, sčítání pravé strany - anglické titulky

Řešené příklady, od str. 11
Z. Šibrava, Řešené příklady na 2. řád, od str. 5
P. Zemánek, P. Hasil, Řešené příklady, od str. 124
Diplomka E. Zemanové, od str. 11

13. týden (od 11.5.) - separované proměnné + lepení, lineární ODR

2. Téma: Lineární ODR

Lineární diferenciální rovnicí 1. řádu budeme rozumět rovnici
y'+p(x)y=q(x).
Budeme navíc předpokládat, že p a q jsou spojité na nějakém intervalu (a,b).

K řešení této rovnice máme algoritmus. Je popsaný v příkladech
25. Lineární ODR
25.řešení
nebo v
textu doc. Kremla
Video:
Isibalo: Variace konstant

Delší verze

Krok 1 - rovnice

Nejprve prozkouomáme rovnici, určíme funkce p(x) a q(x) a interval(y) (a,b), na němž jsou spojité. Pokud by rovnice nebyla přímo v daném tvaru, tak ji převedeme.

Příklad:
y'+y=e^x
Máme p(x)=1, q(x)=e^x. Obě jsou spojité na R, na R tedy budeme rovnici řešit.

Krok 2 - Řešení homogenní rovnice

Místo funkce q(x) napíšeme 0, dostaneme
y'+p(x)y=0.
Této rovnici se říká homogenní a je v separovaném tvaru. Tedy ji můžeme vyřešit známými technikami. Vyjde y=e^P(x)+c, c je z R, kde P(x) je primitivní funkce k p(x).

Příklad:
Píšeme
y'+y=0.
Postupně upravujeme
∫ 1/y dy = ∫ -1 dx.
y=ce^-x, c,x∈R.

Krok 3 - Variace konstant

Použijeme trik: z konstanty c uděláme funkci c(x) a zkusíme, jestli by při vhodně zvolené funkci c(x) nemohlo řešení původní rovnice vypadat jako
y_P=c(x)e^P(x).
Tuto funkci tedy dosadíme do původní rovnice y'+p(x)y=q(x) a dopočteme c(x).
Při výpočtech se musí členy s c(x) požrat tak, aby tam zůstaly jen členy s c'(x). Pokud se tak nestalo, je ve výpočtech chyba.

Příklad:
Nalezli jsme řešení homogenní rovnice
y=ce^-x Napíšeme tedy
y_P=c(x)e^-x.
Abychom mohli dosadit do původní rovnice, potřebujeme ještě y'. Tedy
y'_P=c'(x)e^-x-c(x)e^-x.
Dosadíme do rovnice y'+y=e^x a dostaneme:
c'(x)e^-x-c(x)e^-x+c(x)e^-x=e^x.
Po úpravách
c'(x)=e^2x
c(x)=1/2 e^2x+K.

Krok 5 - Sestavení řešení

Spočtenou c(x) dosadíme zpět do řešení y_P=c(x)e^P(x) a jsme hotovi.

Příklad:
Dosadíme spočtené c(x) a máme
y_P= (1/2 e^2x+K) e^-x.

Krok 6 - Podmínky a doladění

Jsou-li nějaké podmínky, dosadíme je.

Řešení, které tímto postupem vyjde, je pro dané podmínky jednoznačné a na intervalu (a,b) maximální (tedy žádné lepení).
Ovšem za předpokladu, že jsme na začátku rovnici nijak neupravovali. Pokud jsme upravovali, může dojít na lepení. U tohoto typu lepení je nezbytné ověřit nejen limitu funkce y, ale i derivaci y' v problematických bodech.

Pěknou zábavu s příklady:
25. Lineární ODR
25.řešení

1. Téma: ODR se separovanými proměnnými + lepení

Pokračování ODR se separovanými proměnnými. Postupujeme jako minulý týden, jen dnes přidáme ještě jeden krok - slepení různých řešení.
Obvykle postup probíhá následovně - vycházíme z postupu z minula.

Krok 1 - Určení intervalů, stacionární řešení

Mějme rovnici se separovanými proměnnými
y'=g(y)h(x).
Prve určíme otevřené intervaly, na nichž je definovaná funkce h. Pojmenujeme je I. Naším cílem bude najít řešení, které je definované pokud možno na celém I.
Najdeme nulové body funkce g - máme stacionární řešení.
Najdeme otevřené intervaly J, kde je funkce g definovaná a nenulová.

Krok 2 - Integrace a ladění intervalů

Zintegrujeme obě strany rovnice (jako posledně), abychom dostali
G(y)=H(x)+C.
Zafixujeme intervaly I, J, a konstantu C. Omezíme x tak, aby
x∈ I: H(x)+C ∈ G(J).
Toto uděláme pro všechny možné konstanty a všechny možné kombinace intervalů I a J.

Krok 3 - Lepení

Předchozí krok nám dal různá řešení definovaná na různých intervalech. Taktéž máme ještě stacionární řešení. Nyní se podíváme zpět na původní rovnici - pro jaká x (resp. jaké otevřené intervaly pro x) hledáme řešení?
V případě, že nějaké řešení není definované na maximálním možném intervalu, uvažujeme, jestli jej nejde slepit s jiným řešením (stacionárním nebo jiným).
Lepení tedy nastává pouze v případě, že je potřeba rozšířit na další x. A v případě, že hodnoty (pro y) se potkávají s jiným řešením. Nejlépe na příkladě:
Příklad
Model v Geogebře

Toť vše, pěknou zábavu s příklady:
24. ODR se separovanými proměnnými + lepení
24.řešení

Poznámky

1. Ne každý příklad se lepí. Např. příklad (1d) ze cvičení slepit nelze, protože vzniklá řešení nikdy nebudou nula, takže nemohou navázat na stacionární (nulové) řešení. Krom toho už jsou definovaná na celém R, takže je nelze prodloužit (není kam prodlužovat).
2. Pro různé konstanty mohou vznikat různá řešení a různá lepení nebo naopak bez lepení. Prozkoumejte příklady (1f) nebo (1g).
3. Může se stát, že původní rovnice není ve tvaru separované proměnné a je potřeba ji nejprve upravit. Např. rovnice (x-1)y'+y²=0 se musí nejprve převést na y'=-y²/(x-1).
   Tím vznikl problém - zatímco původní rovnici budeme hledat řešení pro všechna x∈R, po úpravě už x≠1. V takovém případě řešíme upravenou rovnici a na závěr se pokusíme slepit řešení v x=1.
   Varování: tady už nelze použít Lemma o lepení! Je potřeba ručně vyšetřit, zda slepená funkce má derivaci a vyhovuje diferenciální rovnici či nikoli.

Materiály k tématu:
Sbírka T. Bárty a D. Pražáka
Starší cvičení O. Bouchaly
Skripta na stránkách prof. Picka str. 731

12. týden (od 4.5.) - Konvergence Newtonova integrálu, ODR

2. Téma: Obyčejné diferenciální rovnice (ODR) - se separovanými proměnnými

Vítejte ve světě obyčejných diferenciálních rovnic (aneb ODR). Zhruba řečeno jde o rovnice, kde je v roli neznáme funkce y (resp. y(x)) a vyskytuje se tam alespoň jedna její derivace. Zatím nás budou zajímat ODR 1. řádu - rovnice s první derivací y' (2. řádu jsou pak rovnice s druhou derivací y'' atd.). Přesná definice bude samozřejmě na přednášce.
Například
y'=y
je takovou diferenciální rovnicí. Naším cílem je najít takovou funkci y, která je definovaná na (co největším) otevřeném intervalu I, má tam vlastní derivaci a navíc tam splňuje tuto rovnici. Naší rovnici zjevně řeší funkce y(x)=ke^x, kde k je nějaká reálná konstanta a x je z R (tedy I tady bude rovno R). Řešení tedy může být víc.
Rovnici lze obohatit o tzv. počáteční podmínky y(x₀)=y₀, kde x₀, y₀ jsou reálná čísla. Příklad:
y'=y, y(0)=2.
Řešením by pak byla funkce y(x)=2e^x, x ∈ R.

Začneme s diferenciálními rovnicemi se separovanými proměnnými (nebo rovnicemi, které se na ně dají převést).

Krok 0 - ODR se separovanými proměnnými, definice

Budeme pracovat s rovnicemi tvaru
y'=g(y)h(x),
kde g, h jsou funkce spojité na svých definičních oborech.
Například: y'= xy, y'=x⁵ sin y, y'= 5y, y'=e^x.
Případně s rovnicemi, které se na ně dají převést (algebraickou úpravou). Např. xy'=y. Na řešení existuje algoritmus, kterého se budeme držet:
ODR se separovanými proměnnými - algoritmus
Jde o 3. stránku ze skript doc. Spurného .

Tady končí dnešní kratší verze, přeji pěknou zábavu s příklady:
23. ODR se separovanými proměnnými
23. řešení

Delší verze

Krok 1 - Kontrola ODR a určení intervalů

Zkontrolujeme, že rovnice je se separovanými proměnnými, případně ji na ni převedeme. Najdeme otevřené intervaly, na kterých je definovaná funkce h(x). (Uděláme podmínky pro x a dbáme na to, abychom měli otevřený interval.) Vyšlý interval pojmenujeme I (když jich je víc tak I₁, I₂...). Interval I zafixujeme a pracujeme jen na něm.
Příklad:
y'=y/(x-1)
je se separovanými proměnnými a máme g(y)=y, h(x)=1/(x-1). Maximální intervaly jsou I₁=(-∞,1), I₂=(1,∞).
Zafixujeme např. interval I₂=(1,∞).

Krok 2 - Stacionární řešení

Najdeme nulové body funkce g(y). Tato konstatní řešení jsou pak řešeními celé rovnice (na intervalech I).
Příklad:
Jelikož pro g(y)=y je nulové řešení g(0)=0, bude y≡0 stacionárním řešením naší rovnice na intervalech (-∞,1) a (1,∞).

Krok 3 - Intervaly J

Najdeme maximální otevřené intervaly, kde je funkce g nenulová. (Podmínky na y s tím, že y nesmí být 0). Interval(y) pojmenujeme J. Zafixujeme také interval J.
Příklad:
Naše g(y)=y je definovaná a nenulová na otevřených intervalech J₁=(-∞,0), J₂=(0,∞).
Zafixujeme např. interval J₁=(-∞,0).

Krok 4 - Integrace

Na zafixovaných intervalech budeme integrovat. Daná rovnice se dá upravit, pak dostaneme
y'(x)/g(y(x)) = h(x).
Když obě strany zintegrujeme, dostaneme
G(y(x))=H(x)+c,
kde G je primitivní funkce k 1/g (integrujeme podle y), H je PF k h (integrujeme podle x) a c je konstanta.
Příklad:
Integrujeme funkce 1/y a 1/(x-1) a dostáváme
ln|y|=ln|x-1|+c.

Krok 5 - Invers

Nyní stačí nalézt inverzní funkci ke G a máme
y(x)=G^-1(H(x)+c).
Je ovšem třeba doladit intervaly. Tedy: Máme zafixované I (interval pro x) a J (interval pro y). Zafixujme ještě konstantu c.
Zmiňovanému řešení pak nalezneme maximální otevřené intervaly z množiny
{x∈I: H(x)+c∈ G(J)}.

Příklad:
Máme ln|y|=ln|x-1|+c
a máme zafixované intervaly J₁=(-∞,0) I₂=(1,∞). Zafixujme ještě konstantu c.
Pak G(J₁)=ln|(-∞,0)|=(-∞,∞).
Pro interval I₂=(1,∞) pak potřebujeme, aby
H(x)+c∈(-∞,∞).
To je splněno triviálně, tedy x∈(1;∞).
Inverzní funkcí pro tato x (a y) je -e^y, pak dostaneme
y=-e^c|x-1|.

Krok 6 - Závěr

Operaci s inverzní funkcí provedeme pro další kombinace intervalů a takto vzniklá řešení slepíme (to až příště).

Materiály

Výklad i pár příkladů:
Skripta ze stránek prof. Picka- str. 731
Skripta doc. Kremla
P. Zemánek, P. Hasil
Sbírka T. Bárty
Z. Železný - jednodušší příklady bez většího zdůvodňování

Video na Isibalo
Khan: separované proměnné - anglicky
Khan: Další rovnice - anglicky
Khan: cvičení - poznej separovatelnou rovnici - anglicky
Khan: Další příklad - anglicky

Pěknou zábavu s příklady:
23. ODR se separovanými proměnnými
23. řešení

1. Téma: Absolutní konvergence Newtonova integrálu potřetí

Konvergence potřetí. Kritéria stejná, příklady nové. Tentokrát ze zkouškových písemek:
22. Konvergence Newtonova integrálu III
22. řešení

Nějaká ta videa k tématu:
Srovnávací kritérium - anglicky
Limitní srovnávací kritérium - anglicky

11. týden (od 27.4.) - Konvergence Newtonova integrálu

2. Téma: Absolutní konvergence Newtonova integrálu podruhé

Pokračujeme s Newtonovým integrálem, nic nového, jen další příklady:
21. Konvergence Newtonova integrálu II
21. řešení
Grafy geogebry z minula - škála


Tedy jen rychlé shrnutí kroků:

1. Potenciální problémy jsou na krajích intervalů (a,b). Roztrhneme tedy integrál na dva a řešíme každý problematický bod (buď a nebo b) zvlášť.
2. Nejprve se ptáme, zda je funkce f spojitá až do kraje. Nebo zda ji lze spojitě dodefinovat. Pokud ano, integrál na omezeném intervalu konverguje.
3. Lze funkci omezit shora konvergentní funkcí? Srovnávací kritérium. (Případně zdola divergentní funkcí.)
4. Lze funkci limitně v problematickém bodě s něčím srovnat? Limitní srovnávací kritérium. Vycházíme ze známých limit nebo třeba z L'Hospitala a Taylora.
5. Dáme všechno do kupy.

1. Téma: Absolutní konvergence Newtonova integrálu

Řešíme novou úlohu: máme nějaký pěkný určitý (Newtonův) integrál, který ale neumíme upočítat (žádnou naší technikou neumíme najít primitivní funkci). Přesto bychom rádi věděli, zda konverguje (tedy zda vyjde reálné číslo). Je to vlastně podobná otázka jako u konvergence řad, které obvykle také neumíme sečíst, ale máme techniky, které určí, zda řada konverguje či diverguje. Postup bude nakonec řadám podobný. Aby to bylo jednodušší, bude nás zajímat jen absolutní konvergence integrálu.
Tedy, kdy konverguje integrál ∫_a^b|f(x)| dx ?

Krok 1 - Základní integrály

Vyjdeme ze škály integrálů. Konvergence integrálů v následující tabulce se bere jako fakt (nemusí se dokazovat). Tabulku si prohlédněte a schovejte, budeme ji hodně potřebovat. Věnujte pozornost nejen tomu, pro jaké parametry integrály konvergují, ale i na jakém intervalu.
Tabulka Absolutní konvergence Newtonova integrálu

(Kdyby to někoho zajímalo, tak máme i jejich odvození . Siny a kosiny v tabulce se ovšem odvozují z Abel-Dirichletova kritéria, které dělat nebudeme.)

Krok 2 - Základní nástroje

Máme tři základní nástroje, všechna jsou v dnešním zadání.
20. Konvergence Newtonova integrálu
20. řešení

Tedy:

1. Jestliže [a,b] je omezený a uzavřený interval a funkce f je spojitá na [a,b] (tedy až do krajů), pak ∫_a^b|f(x)| dx konverguje.
   Vychází to z toho, že taková funkce musí být na daném intervalu omezená, interval sám je také omezený, tedy plocha pod grafem se vejde do nějakého obdélníku - integrál konverguje.
2. Srovnávací kritérium říká, že jestliže se nám podaří omezit funkci f funkcí g, jejíž integrál konverguje, bude konvergovat i ∫_a^b|f(x)| dx. Funkce f musí být spojitá.
3. Limitní srovnávací kritérium počítá limitu funkcí f/g a z konvergence integrálu g pak vyvozuje konvergenci ∫_a^b|f(x)| dx. Funkce f a g musí být spojité a g navíc musí být kladná. (Je to jako u řad.)

Krok 3 - Postup

Začneme tím, že rozsekneme interval (a,b) na dva podintervaly a budeme řešit konvergenci na každém zvlášť.
Například pro integrál
∫₀^∞ 1/(1+x²) dx
rozdělíme (0,∞) na podintervaly (0,1] a [1,∞). (Můžeme ho rozkrájet i jinak, třeba na (0,42] a [42,∞), není to podstatné.)
Dál budeme řešit konvergenci dvou integrálů: ∫₀¹ 1/(1+x²) dx a ∫₁^∞ 1/(1+x²) dx. Když budou oba konvergovat, tak konverguje i integrál původní. Když bude některý (nebo oba) divergovat, diverguje i integrál původní.

Krok 4 - Výběr kritéria

Pracujeme tedy na každém podintervalu zvlášť. Řešme tedy integrál ∫_a^c|f(x)| dx. Tento integrál má jeden problematický bod, bod a.

Nejprve se ptáme, zda je funkce f (resp. |f|, ale ono stačí vyšetřit f) spojitá až do krajů, tedy zda je f spojitá na [a,c]. Pokud ano, použijeme větičku a vyjde nám konvergence.
Pokud není spojitá až do krajů, nedá se v krajích spojitě dodefinovat? Pokud ano, opět vyjde konvergence.

Pokud spojitost selže, zvažujeme srovnávací nebo limitní srovnávací kritérium.
Srovnávací kritérium se dá někdy použít pro
|sin x|<1, |cos x|<1, |arctan x|<π/2, |x^α|<1, pro x<1 a α>0...
a pro známé nerovnosti, např.
|sin x|<x, |ln x|<x-1, pro x>1,...
Je důležité kontrolovat, kde dané nerovnosti platí, zda je to na celém intervalu integrace.
Též je důležité, abychom funkci omezili něčím, co konverguje. Jinak kritérium neplatí.

Limitní srovnávací kritérium používáme na problematické body, kde můžeme s výhodou použít nějakou známou limitu a tím to převedeme na tabulkový případ (jako u řad). Kdyžtak máme pomocnou tabulku:
Tabulka pro limitní srovnávací kritérium Newtonova integrálu

Krok 5 - Závěr

Jestliže integrál konverguje na obou podintervalech, konverguje i původní zadání. Jinak diverguje.

Krok 6 - Poznámky

1. Někdy je potřeba integrál nejdřív upravit, typicky substitucí (nezapomeňte změnit meze) a až potom použít kritéria. Týká se to např. příkladu 1c) ve cvičení.
2. Někdy je funkce třeba rozepsat, např. u příkladu 1f), kde musíme rozepsat 1-x³=(1-x)(1+x+x²).
3. Jsme opatrní na parametry. Např. funkce |ln x| je na intervalu [1,2] spojitá až do kraje, kdežto funkce |ln x|^α je pro záporná α nespojitá v 1.
4. Krájení na dva podintervaly se dá někdy vynechat. Jestliže je například funkce f spojitá na intervalu [1,∞) (tedy až do jednoho kraje), můžeme rovnou vyzkoušet nějaké ze srovnávacích kritérií u nekonečna. Pořád je ale potřeba dávat pozor na podmínky vět.
5. Nevíme-li, s čím srovnávat pro limitní srovnávací kritérium, můžeme zkusit funkci rovést do Taylora (pozor, nefunguje v nekonečnu).
   Druhá možnost je zkusit srovnávat s x^β, kde β ještě neznáme. L'Hospitalíme tak dlouho, dokud pro nějaké β nevypadne nenulová vlastní limita.
6. Něco málo odkazů:
   Diplomová práce T. Lercha - řešené příklady konvergence
   Inteligentní kalkulus

Pěknou zábavu s příklady:
20. Konvergence Newtonova integrálu
20. řešení

10. týden (od 20.4.) - Aplikace určitého integrálu

2. Téma: Odpočíváme a těšíme se na další téma

1. Téma: Aplikace určitého integrálu

Geometrický význam určitého integrálu je (zhruba řečeno) plocha pod křivkou. Z toho se pak dají odvodit další aplikace. Oblíbené jsou zejména plocha různých obrazců, objem a povrch rotačního tělesa, délka křivky. Dál máme integrální kritérium konvergence číselných řad.
Fyzika pak má těžiště tělesa a hmotnost křivky. Obecná aplikace je pak kdekoli, kde je třeba něco sečíst - celkovou populaci při dané porodnosti, celkovou splacenou částku při spojitém úročení, množství vyzářené radioaktivity...

Krátká verze

U matematických a fyzikálních aplikací se použije vzoreček, sestaví určitý integrál a spočítá. U dalších věd je někdy potřeba nejdřív sestavit funkci, to už pak je příklad od příkladu. A spočítat integrál. Pěknou zábavu s příklady:
19. Aplikace určitého integrálu.
19. řešení.

Delší verze

Krok 1 - Obsah rovinného obrazce

Neboli: Určete obsah plochy ohraničené nějakými křivkami.
Učební text:
Obsah obrazce doc. Kremla

Co všechno se dá počítat:

1. Určitý integrál počítá obsah plochy mezi grafem funkce a osou x, to celé ohraničené mezi body a a b.
2. Je-li funkce pod osou x, vyjde záporné číslo, takže pro získání obsahu je potřeba otočit znaménko.
3. Stejně se pak dá spočítat i obsah plochy mezi dvěma křivkami, mezi body a a b. Stačí od sebe integrály odečíst. Hezký rozbor má Khan na videu:
   Khan: plocha mezi křivkami - anglicky
4. Poslední možností je pak obsah obrazce ohraničený křivkami ze všech stran. V takovém případě
   1. Načrtneme grafy a vyšrafujeme obrazec (obvykle se míní omezená množina ohraničená danými křivkami).
   2. Najdeme význačné body - typicky místa průsečíku křivek.
   3. Je-li to nutno, rozdělíme obrazec na části. Sestavíme integrály.
   4. Spočteme.
   Máme i videa:
   Isibalo: plocha mezi křivkami
   Khan: plocha mezi křivkami - anglicky
   
5. Drobnost na konec: co dělat, když máme spočítat plochu mezi křivkou a osou y (místo osy x)?
   Khan: plocha mezi grafem a osou y - anglicky

Krok 2 - Objem a obsah rotačního tělesa

Chceme-li spočítat objem nebo obsah pláště tělesa, které vzniklo rotací křivky kolem osy, stačí použít vzoreček. Jen je potřeba zkontrolovat, kolem které osy a co přesně rotujeme.
Objem rotačního tělesa doc. Kremla
Obsah pláště rotačního tělesa doc. Kremla

Máme i videa, je tam i náznak odvození:
Isibalo: Objem rotačního tělesa
Khan: Objem tělesa - s českými titulky
Khan: Pokračování - anglicky
Khan: Rotace kolem osy y - české titulky

Krok 3 - Délka křivky

Rádi bychom spočítali délku křivky. V první fázi bereme jako křivku prostě graf funkce f mezi body a a b. Opět na to máme vzoreček, stačí dosadit.
Učební text:
Délka křivky doc. Kremla
Videa:
Khan: Náznak odvození vzorečku - anglicky
Khan: Výpočet délky křivky - anglicky

V další fázi se podíváme na pojem křivky. Definice je ve skriptech na stránkách prof. Picka na str. 472.
Křivkou rozumíme zobrazení z R¹ do Rⁿ, které navíc splňuje nějaké podmínky. Dál budeme pro jednoduchost pokračovat s křivkami, které jdou z R do R².
Taková křivka se někdy zapisuje jako x=φ(t), y=ψ(t), t∈[a,b].
Jak celá věc funguje ilustruje následující applet:
Geogebra applet na křivky
Vlevo je předpis křivky, je přednastaven na x=cos t, y=sin t. Vedle předpisu je interval pro parametr t, přednastavený na [0,2π]. Když pak začnete hýbat s černým puntíkem nebo zaškrtnete políčko Animate, začne se vykreslovat křivka. Neboli, jednotlivá t z daného intervalu se dosadí do předpisu, tím vyjde bod o souřadnicích (cos t, sin t), který se vykreslí do systému souřadnic. Dosadí se další t, vykreslí se další bod atd. (Oproti grafu „normální“ funkce se nijak nezakresluje hodnota dosazovaného t.)
Tímhle způsobem se dá zakreslit leccos, vyzkoušejte třeba x=16sin^3(t), y=13cos(t)−5cos(2t)−2cos(3t)−cos(4t), t∈[0,2π]. A trošku si odzoomujte.

I pro délku takové křivky také máme vzoreček.
Délka křivky doc. Kremla
A videa:
Khan: Náznak odvození délky křivky - anglicky
Khan: Výpočet délky čtvrtkružnice - anglicky

Krok 4 - Integrální kritérium konvergence řad

Kritérium převádí otázku konvergence řady na otázku konvergence integrálu - prozkoumejte větu.
Mějme tedy řadu ∑ a_n, o níž chceme vědět, jestli konverguje.

1. Zvolme funkci f(x) tak, aby f(n)=a_n, stačí od jistého n₀. (Je to jako u Heineho, vyměníme n za x).
2. Je funkce nezáporná, nerostoucí a spojitá na [n₀,∞)? Můžeme použít Větu a vyjde, že
   řada ∑ a_n konverguje právě tehdy, když konverguje integrál ∫_n0^∞f(x).
3. Spočítáme integrál a uděláme závěr.

Máme na to i video:
Isibalo: Integrální kritérium

Krok 5 - Další aplikace (bonusová a tedy nepovinná část)

Fyzika s integrály počítá hodně, takže jen namátkou.
Pro počítání těžiště, hmotnosti nebo momentu setrvačnosti máme vzorečky.
Fyzikální aplikace doc. Kremla - těžiště a moment setrvačnosti, hmotnost a těžiště křivky.
Nebo pro kinematiku. Jestliže změna dráhy je vlastně rychlost (a změna je vlastně derivace), tak integrál rychlosti musí být dráha.
Khan: Dráha a rychlost - české titulky
Khan: Dráha a rychlost, pokračování - anglicky

Jestliže víme, jak moc něco roste (nebo klesá), můžeme se ptát, kolik dané věci budeme mít celkem. Například, víme-li, jak moc roste populace v nějaké oblasti, díky integrálu můžeme zjistit, kolik lidí tam bude žít celkem za pár let:
Khan: Růst populace - anglicky

Nebo můžeme počítat kumulativní ozáření. Mějme vzorek fosforu ³²P, který vyzařuje 300mREM/den. Poločas rozpadu fosforu je 14.3 dne. Jak dlouho smí se vzorkem pracovat laborant/ka, jestliže maximální povolené ozáření je 5000 mREM/rok?
Může pomoct informace, že poločas rozpadu odpovídá exponenciále ae^-kt, kde a a k jsou konstanty, které je třeba dopočítat, t značí čas.
Příklad i s řešením je v prezentaci: Joseph M. Mahaffy - Example 9, anglicky

Pěknou zábavu s příklady:
19. Aplikace určitého integrálu.
19. řešení.

9. týden (od 13.4.) - Určitý integrál - Newtonův

2. Téma: Určitý integrál - pokračování

Tentokrát je to prosté - pokračujeme s příklady na určitý integrál, s důrazem na Větu o substituci pro Určitý integrál (ale nejen na ni).
Tak jen pár poznámek:

1. Jestliže prohodíme meze, integrálu se změní znaménko. Konkrétně
   ∫_a^b f(x) dx= -∫_b^a f(x) dx
   (Může se pak stát, že je v dolní mezi číslo větší než v horní. Je to trochu neintuitivní, ale na samotnou integraci to nemá vliv.)
2. Věta o substituci se dá formulovat více způsoby. Porovnejte Větu a její poznámky ve
   sbírce Ilji Černého, str. 186-187.
   S tím souvisí:
   Věta samotná je formulovaná s absolutní hodnotou |ω'(t)| a počítá s intervaly (α,β) a (a,b).
   Oproti tomu vzoreček (15**) už je bez absolutní hodnoty a používá interval (α,β) a čísla ω(α+), ω(β-).
   Situace souvisí s tím, zda má funkce ω kladnou nebo zápornou derivaci (a je rostoucí nebo klesající). Nulovou derivaci mít, podle podmínek věty, nemůže.
   Vyzkoušejte na nějakém jednoduchém příkladě
   ∫₀^π/2 2 sin(π-2x) dx,
   kde vyzkoušíte substituci y= π-2x.
3. Jestliže a<b<c a navíc má funkce f Newtonův integrál na celém (a,c), tak platí, že ∫_a^c f(x) dx= ∫_a^b f(x) dx+ ∫_b^c f(x) dx.
   Neboli, intervaly je možno rozkrájet a integrály pak sečíst.
4. Speciálně pro goniometrické substituce:
   1. Zjistíme, zda má funkce určitý integrál na integrovaném intervalu (c,d). Např.: Je spojitá až do krajů intervalu [a,b]? Nebo je spojitá a omezená na (c,d)?
   2. Vybereme substituci. Pečlivě zvolíme intervaly (α,β), které k substituci patří. Potřebovali bychom, aby substituce fungovala na celém intervalu (c,d). V případě, že to není možné, je třeba interval (c,d) rozkouskovat, integrovat na každém zvlášť a výsledná čísla sečíst.
      Problémy představuje jak definiční obor substituce (typicky tangens a kotangens), tak i nenulová derivace.
   3. Zintegrujeme pro každou substituci zvlášť a sečteme.

Pěknou zábavu s příklady:
18. Určitý integrál II.
18. řešení.

1. Téma: Určitý integrál - úvod

Na přednášce už byl Riemannův integrál z funkce f na intervalu [a,b]. Je to číslo, které lze geometricky interpretovat jako obsah plochy mezi grafem funkce f a osou x. S tím, že oblasti nad osou se přičítají, oblasti pod osou se odčítají.
Protože s Riemannovým integrálem se příklady počítají obtížně, koukneme rovnou na integrál Newtonův (na přednášce bude brzy). I Newtonův integrál je číslo, které odpovídá ploše pod grafem. Určuje se pomocí Primitivní funkce, do které dosazujeme meze (čísla a a b). Některé funkce (na daném intervalu) mají jen integrál Newtonův, některé jen Riemannův, některé mají oba - v tom případě se oba rovnají.

Krátká verze

Používáme vzoreček
∫_a^b f(x) dx= lim_x→a+ F(x) - lim_x→b- F(x),
kde F je primitivní funkcí k f.
Tedy funkci prve zintegrujeme, pak dosadíme meze, jsme hotovi.

U per partes se nic nemění, pouze kdykoli zmizí integřítko, dopisujeme meze.
∫_a^b gF = [GF]_a^b - ∫_a^b Gf.

U substituce je potřeba změnit meze podle Věty o substituci pro určitý integrál. Zjednodušený zápis (který je potřeba doladit o podmínky):
∫_α^β f(φ(t)) φ'(t) dt = ∫_φ(α+)^φ(β-)   f(x) dx .
Koukněte na pár příkladů
Substituce doc. Kremla

A to je vlastně vše, pěknou zábavu s příklady.
17. Určitý integrál.
17. řešení.

Delší verze

Krok 1 - Úvod do Newtonova integrálu

Máme-li za úkol spočítat určitý (Newtonův) integrál z funkce f přes interval (a,b), prve najdeme primitivní funkci F k f. Následně dosadíme čísla a a b (tzv. dolní a horní mez). Odpovídá tomu vzoreček
∫_a^b f(x) dx= F(b)-F(a).

Kdyžtak nahlédněte text:
Úvod do Newtonova integrálu doc. Kremla
Nebo videa s českými titulky:
Khan: Výpočet určitého integrálu (kratší verze)
Khan: Výpočet určitého integrálu (delší verze i s náčrtkem)

Krok 2 - Problematické meze

Co když potřebujeme integrovat přes neomezený interval, třeba (1,∞)? Nebo co když funkce F není v bodě a nebo b definovaná?
Tyto problémy by mohlo vyřešit použití limit, proto se Newtonův integrál obvykle rovnou definuje pomocí předpisu
∫_a^b f(x) dx= lim_x→a+ F(x) - lim_x→b- F(x).
Všimněme si, že limita ve spodní mezi je zprava, v horní zleva.

Pár příkladů lze najít u
F. Mráze, hezký je hned ten první.

Krok 3 - Per partes

Per partes funguje stejně jako u neurčitého integrálu, jen se všude, kde zmizí integřítko, dopíší meze. Konkrétně funguje vzoreček (má nějaké podmínky):
∫_a^b gF = [GF]_a^b - ∫_a^b Gf.

Text:
Per partes doc. Kremla
Video anglicky:
Khan: Per partes - s anglickým značením
Video česky:
Isibalo: Per partes
Je čas vyzkoušet první cvičení:
17. Určitý integrál.
17. řešení.

Krok 4 - Substituce

I pro určitý integrál máme větu o substituci, tentokrát jen jednu. Prohlédněte si zejména podmínky:
Skripta ze stránek prof. Picka str. 459, Věta 9.3.11
Zjednodušený zápis (který je potřeba doladit o podmínky) říká, že je potřeba změnit meze:
∫_α^β f(φ(t)) φ'(t) dt = ∫_φ(α+)^φ(β-)   f(x) dx .

Nejlépe koukněte na pár příkladů. Mějte na paměti, že při tomto postupu už se do integrálu za substituci nevrací původní funkce s x.
Substituce doc. Kremla
Video anglicky
Khan: Substituce - s anglickým značením
Video česky
Isibalo: Substituce

Druhý postup: Integrál lze pomocí substituce vyřešit i následovně. Přepíšeme integrál bez mezí, jako neurčitý. Vyřešíme za pomoci 1. nebo 2. věty o substituci. Za substituci vrátíme zpátky (vyjde zase funkce s x). V té chvíli dosadíme původní meze.
Při tomto postupu se nemusí přepočítávat meze, zato může dojít na lepení. Jest tedy doporučeno si první metodu se změnou mezí přeci jen vyzkoušet.

Krok 5 - Problémy a poznámky

1. Pro určitý integrál platí hodně věcí podobně jako pro neurčitý, např. lze vytknout konstantu před integrál nebo platí, že součet integrálů je integrál součtu.
2. Zatímco primitivní funkce funguje „až na konstantu“, u určitého integrálu se céčko nad rovníko nepíše.
3. Aby integrál existoval, je potřeba splnit několik podmínek:
   1. Na daném intervalu (a,b) musí být funkce definovaná a musí tam mít primitivní funkci. Koukněte na výstražný příklad 2.2.5 Úvod do Newtonova integrálu doc. Kremla
      nebo na integrál ∫_-2³ sgn x
   2. Musí existovat obě limity. Z toho důvodu je problematický např. integrál ∫₀^∞ cos x
   3. Musí existovat rozdíl obou limit, což nesplní např. integrál ∫_-∞^∞ x
4. Pokud ověříme, že integrál existuje (např. je to spojitá funkce na [a,b]), lze rozdělit integrační obor na části a vyhnout se tak lepení, vizte příklad 2.2.8 Úvod do Newtonova integrálu doc. Kremla
5. Speciálně se lze takto vyhnout lepení u goniometrických substitucí.
6. U Věty o substituci je opravdu důležité, aby nikde nebyla nulová derivace a aby zobrazení bylo na.
7. U substituce je potřeba dopočítat meze. Dopočet se myslí ve smyslu jednostranných limit (to je to φ(α+) a φ(β-)).
8. Vzhledem k vlastnostem, integrál z kladné funkce musí vyjít kladné číslo, ze záporné funkce záporné. Speciálně integrál z liché funkce přes interval (-a,a) vyjde nula.

Pěknou zábavu s příklady
17. Určitý integrál.
17. řešení.

8. týden (od 6.4.) - Lepení + Goniometrické substituce II, Odmocniny

2. Téma: Odmocniny vedoucí na parciální zlomky

Integrály s odmocninami, které se dají převést na parciální zlomky. Jedná se opět o racionální funkci, tentokrát tvaru
R(x, nějaká pěkná odmocnina).

Krátká verze:
Použijeme následující návod:
Pomůcka na substituci odmocnin ,
který integrál převede na parciální zlomky. Ty vyřešíme a zasubstituujeme zpátky. Pokud jsme pracovali s absolutní hodnotou, slepíme (to se stává jen občas). Pečlivě vyřešíme definiční obory a podmínky 1. Věty o substituci.

Pěknou zábavu s příklady:
16. Odmocniny.
16. řešení.

Delší verze:
Postup je analogický integraci goniometrických funkcí. Podle návodu vybereme substituci, kterou aplikujeme, a zasubstituujeme zpět.
Substituují se tři typy příkladů - n-tá odmocnina z ax+b, n-tá odmocnina ze zlomku a odmocnina z kvadratického trojčlenu.

Integrálů s odmocninami se týkají
11. přednáška
12. přednáška
z textů např.
Ilja Černý od str. 147 a od str. 157.
Práce E. Schlesingerové

Krok 1 - Volba substituce

Určíme, kde je integrovaná funkce definovaná a spojitá.
Pomocí návodu zvolíme substituci a aplikujeme ji:
Pomůcka na substituci odmocnin .

Krok 2 - Dopočet substituce a integrace parciálních zlomků

Když vybereme substituci, je třeba dopočítat x a dx - nejpracnější část. V návodu je postup. Pak můžeme substituovat, musí vyjít parciální zlomky, které vyřešíme.
Nějaké ty návody a příklady na videu (spíš jednodušší):
1. typ
Isibalo: n-tá odmocnina z x
2. typ
Isibalo: zlomek pod odmocninou
3. typ
Isibalo: kvadratický trojčlen s kořeny
Isibalo: kvadratický trojčlen bez kořenů

Krok 3 - Závěr

Vrátíme zpět substituci a pro jistotu ještě jednou překontrolujeme definiční obory, jestli všechno sedí. Jsme hotovi.

Poznámky

1. Může být vhodné substituovat nejvyšší společnou odmocninu - 2. a 3. odmocnina vede na substituci 6. odmocniny atp. Týká se příkladů v 1. cvičení.
2. Příklady je někdy potřeba nejdříve upravit. Např. 2a a 2b ze cvičení na počátku žádný zlomek pod odmocninou neobsahují, přesto vedou na substituci se zlomkem.
3. (Nejen) předchozí situace může vést na různé substituce - dle toho, jak si příklad kdo upraví.
4. S výjimkou případu „kvadratický trojčlen s dvojnásobným kořenem“ se obvykle nemusí lepit.

Pěknou zábavu s příklady:
16. Odmocniny.
16. řešení.

1. Téma: Goniometrické substituce + Lepení

Občas potkáme funkci f, která je definovaná a spojitá na nějakém intervalu I (např. ℝ), což znamená, že na celém I musí existovat její primitivní funkce. Nám se ale nepovedlo ji zintegrovat na celém intervalu I a chybí nám nějaké body (např. máme (-∞,0) a (0,∞) a chybí nám 0; nebo máme (0+kπ,π+kπ) a chybí nám body kπ). V té chvíli je třeba použít techniku lepení.
Typicky se to stává, když je f definovaná po částech, když je tam někde absolutní hodnota nebo když zasubstituujeme tan x (cot x, tan x/2 atd.), což je substituce fungující jen na (-π/2,π/2) ((0,π) atd.).

Krátká verze:
Najdeme interval I, na kterém je spojitá integrovaná funkce f. Na něm budeme nakonec hledat primitivní funkci.
V dnešních příkladech bude potřeba interval I nejprve roztrhat

1. v místech, kde se láme předpis funkce,
2. kde se láme absolutní hodnota
3. nebo kde zaúřadovala substituce tan x (a jí podobné)).

Na takto vzniklých podintervalech zintegrujeme. Na každém podintervalu nám vyjde vlastní primitivní funkce s vlastní konstantou.
Tyto funkce slepíme - upravíme jejich konstanty tak, aby na sebe jednotlivé funkce navazovaly. Zbývá už jen dodefinovat výslednou funkci v bodech lepení a jsme hotovi.

Pěknou zábavu s příklady:
15. lepení, goniometrické substituce II.
15. řešení.

Delší verze:

Krok 1 - Roztrhání intervalu I

Najdeme interval I, kde je integrovaná funkce f spojitá. Takových intervalů může být i víc, pro jednoduchost zatím pracujeme s jedním.
V dnešních příkladech bude potřeba interval I nejprve roztrhat na podintervaly

1. v místech, kde se láme předpis funkce,
2. kde se láme absolutní hodnota
3. nebo kde zaúřadovala substituce tan x (a jí podobné)).

Příklad: funkce |x| je spojitá na celém ℝ, ale předpis se jí láme v nule, takže roztrhneme na dva intervaly (-∞,0) a (0,∞).

Krok 2 - Integrace

Na každém takovém podintervalu zintegrujeme. Vznikne víc primitivních funkcí a každá bude mít svou konstantu (na každém podintervalu jedna taková funkce).

Příklad: zintegrováním |x| získáme
F₁=-x²/2 + c₁ pro x z (-∞,0)
F₂=x²/2 + c₂ pro x z (0,∞).

Krok 3 - Lepení

Naším cílem je jedna funkce F, která je definovaná na intervalu I. Navíc platí, že F'=f. Taková F musí být určitě spojitá.
Můžeme zkusit F poskládat z funkcí, které už nám vyšly na jednotlivých podintervalech. Protože potřebujeme, aby F byla spojitá, bude potřeba některé funkce posunout nahoru nebo dolů, aby dobře navazovaly. Posun se zařídí přičtením vhodných čísel k jednotlivým funkcím. (Přičtení čísla nepoškodí primitivní funkci, takže to můžeme snadno zařídit.) Postupně:

1. Zafixujeme bod a na hranici dvou intervalů, kde na intervalu vlevo vyšla funkce F₁ (s konstantou c₁) na intervalu vpravo vyšla funkce F₂(s konstantou c₂) .
2. Spočteme limitu v bodě a - zleva s funkcí F₁, zprava s funkcí F₂.
3. Zafixujeme konstantu c₁. S její pomocí dopočítáme konstantu c₂ tak, aby se limity zleva a zprava rovnaly (konstanta c₁ má odteď roli parametru).
4. Dodefinujeme hodnotu v bodě a jako výslednou limitu.
5. Jestliže je ještě potřeba lepit vpravo od funkce F₂ nebo vlevo od funkce F₁, tak zopakujeme celý proces. Výsledná slepená funkce bude záviset jen na konstantě c₁.

Vznikla spojitá funkce F (s jedinou konstantou c₁). Ještě je potřeba ověřit, že F'=f. To ale plyne z věty o limitě derivace, takže jsme hotovi.

Opět na příkladu:
Lepíme v bodě a=0. Spočteme limity
lim_x→0- - x²/2 + c₁ = c₁
lim_x→0+ x²/2 + c₂ = c₂
potřebujeme, aby c₁= c₂.
Nyní můžeme zadefinovat celou funkci F jako
-x²/2 + c₁ pro x z (-∞,0),
x²/2 + c₁ pro x z (0,∞),
c₁ pro x=0.

Je čas podívat se na 1. cvičení v aktuálních příkladech
15. lepení, goniometrické substituce II
15. řešení

Krok 4 - Lepení goniometrických funkcí

Už umíme jednotlivé ingredience, takže je čas vyzkoušet si integrály goniometrických funkcí i s lepením.
Nějaký ten text je třeba tu:
Hošková, Kuben, Račková: Lepení goniometrických funkcí str. 83
A vyskytuje se i v
11. přednášce

Shrnutí postupu:

1. Určíme, na jakých intervalech je spojitá integrovaná funkce f.
2. Otestujeme, jakou použít substituci.
3. Zasubstituujeme, zintegrujeme (typicky) parciální zlomky.
4. Z podmínek substituce určíme intervaly, na nichž nám vyšla primitivní funkce. Pokud se liší od intervalů v 1. kroku, budeme lepit.
5. Je-li to potřeba, slepíme. (Tedy spočteme limity a doladíme konstanty.) Zapíšeme výsledek.

Poznámky

1. Máme-li na výběr z více substitucí, tak se může stát, že sin x a cos x vedou na horší integrování, ale nemusí se pak lepit, kdežto tan x vede na snazší integrál, ale lepit se musí . Výběr varianty dle Vašich preferencí.
2. Vychází-li substituce na tan x (resp. tan x/2), může od lepení zachránit substituce cot x (resp. cot x/2). Pozná se to dle definičního oboru integrované funkce.
3. Lepíme jen v bodech, kde je integrovaná funkce definovaná.

Vzhůru na 2. cvičení:
15. lepení, goniometrické substituce II
15. řešení

7. týden (od 30.3.) - Parciální zlomky II, Goniometrické substituce (vedoucí na PZ)

2. Téma: Goniometrické substituce

Goniometrické substituce aneb integrály, které se dají převést na parciální zlomky. Naším cílem bude zintegrovat funkce, které vypadají tak trochu jako racionální funkce, ale místo x jsou tam siny nebo kosiny (případně tangens a kotangens).

Krátká verze:
Vybereme vhodnou substituci podle návodu
Pomůcka na goniometrické substituce,
čímž získáme příklad na parciální zlomky. Ten vyřešíme a jen zasubstituujeme zpátky. (Někdy je potřeba řešení tzv. slepit, ale to si necháme na příště.)
Pěknou zábavu s příklady:
14. cvičení.
14. řešení.

Delší verze:
Rádi bychom zintegrovali racionální funkci dvou proměnných R(sin x, cos x) - volně řečeno jde o podíl polynomů, kde nejsou x a y, ale siny a kosiny (někdy v podobě tangens a kotangens).

Budeme následovat návod z přednášky:
10. přednáška (od cca 13. minuty)

Krok 1 - Výběr vhodné substituce

Mějme integrál s nějakými těmi goniometrickými funkcemi. Rádi bychom substituovali, řešíme tedy volbu vhodné substituce. Budeme potřebovat následující text (vhodné vytisknout):
Pomůcka na goniometrické substituce

První odrážku lze číst následovně: jestliže v integrované funkci nahradíme všechny cos x a na jejich místo napíšeme -cos x, vyjde nám stejná funkce, akorát s mínusem? Pokud ano, bude vhodná substituce t=sin x.
Druhá odrážka je analogická, nahradíme-li všechny sin x za -sin x, vyjde stejná funkce, jen se znaménkem minus? Pakliže ano, bereme t=cos x.
Třetí odrážka nahrazuje všechny siny a všechny kosiny a musí vyjít stejná funkce. Pakliže ano, substituujeme t=tan x.
Pokud předchozí testy selžou, vždy lze substituovat tan x/2.
Pátý a šestý případ říká, že tangents lze nahradit kotangens.

Poznámky:

1. Používáme 1. Větu o substituci. Interval (α,β) tedy závisí na substituci. Naším cílem je, aby co nejlépe odpovídal definičnímu oboru integrované funkce. Máme-li tedy na výběr mezi substitucemi tangens a kotangens, s výběrem pomůže definiční obor.
2. Substituci tan x/2 (a cot x/2) se snažíme vyhnout, obvykle vede na těžké parciální zlomky.

Výběr substituce je i na videu níže.

Krok 2 - Parciální zlomky

Aplikujeme substituci a převodní vztahy z pomůcky. Nezapomeneme nahradit dx. Vznikne příklad na parciální zlomky, který vyřešíme postupy z minula.

Krok 3 - Vrácení substituce

Zasubstituujeme zpátky. Podle věty o substituci (a podle podmínek původní funkce) zapíšeme intervaly, kde je zintegrováno.

Poznámky:

1. Někdy máme na výběr z více vhodných substitucí, které ale vedou na různě těžké parciální zlomky. Která substituce je nejvhodnější lze dopředu bohužel těžko uhodnout.
2. Přestože primitivní funkce musí vyjít až na konstantu jednoznačně, při různých substitucích mohou vycházet na pohled odlišné funkce. Výsledek lze zkontrolovat derivací (ilustrativní příklad: arccot x= π/2-arctan x, derivace mají stejné).
3. Vzhledem k charakteru příkladu občas vyjde výraz arctan (tan x). Poznamenejme, že tato funkce se NErovná x.
4. Definiční obory substitucí budeme ladit příště - někdy se musí lepit.

Kompletní příklady lze nalézt na videu:
Isibalo: Výběr stubstituce, 4 různé příklady + odvození vztahů pro tan x
Isibalo: tan x/2 včetně odvození vztahů pro tan x/2.

Příklady na toto téma:
14. cvičení.
14. řešení.

1. Téma: Parciální zlomky podruhé

Přišel čas doplnit poslední typ parciálních zlomků. Neboli, jak zintegrovat typ 1/(1+x²)ⁿ.
Problematice se věnuje sekce D, str. 17. doc. Kremla:
Parciální zlomky doc. Kremla
a také video na
Isibalo: rekurentní vzorec

Příklady na toto téma:
13. cvičení.
13. řešení.

Postupně:

Krok 1

Stále pracujeme s výrazem P(x)/Q(x), kde P a Q jsou polynomy. Tentokrát se ale v polynomu Q může objevit nerozložitelný kvadratický trojčlen na nějakou mocninu - tedy (ax²+bx+c)ⁿ, který nemá reálné kořeny a kde n je nějaké (spíš menší) přirozené číslo.
Celý postup probíhá stejně, tedy kontrolujeme stupně P a Q, kontrolujeme Q, jestli nejde ještě rozložit, rozkládáme na parciální zlomky.
U parciálních zlomků je první změna (nebo spíš doplnění): Vyskytuje-li se v Q náš trojčlen (ax²+bx+c)ⁿ, při rozkladu se objeví členy (Ax+B)/(ax²+bx+c)+ (Cx+D)/(ax²+bx+c)² + ⋯ + (Yx+Z)/(ax²+bx+c)ⁿ.
Například, máme-li v Q trojčlen (-2x²+4x-10)³, budeme rozkládat parciální zlomky (i) na
(Ax+B)/(-2x²+4x-10)+ (Cx+D)/(-2x²+4x-10)²+ (Ex+F)/(-2x²+4x-10)³.

Krok 2

Máme-li rozloženo, čeká nás integrace. Je-li v čitateli nějaké to x, manipulujeme na substituci (jako minule).
Například:
=-3/4 =-3/4 +(-3/4) = -3/4 + 19/2

První zlomek zintegrujeme za pomoci substituce y=-2x²+4x-10 a dostaneme integrál z 1/y³.

Krok 3

Druhý zlomek převedeme na čtverec (jako minule) a také budeme substituovat. Naším cílem je získat výraz 1/(1+y²)ⁿ.
Například
= = =
Zasubstituujeme y=(x-1)/2 a dostaneme
∫
Tento integrál lze vyřešit buď pomocí per partes (které vede na rekurentní vzorec) nebo substitucí y=tan u (pamatujete substituci 2. druhu?).
Rekurentní vzorec lze najít v
9. přednášce.
Obě metody lze najít na stránkách FELu:
Integrace posledního typu.

Druhá metoda vede na integraci kosinu na nějakou tu mocninu. S tím může pomoci buď následující tabulka
Tabulka goniometrických integrálů.
Najdete v ní rekurentní vzorec, který se odvozuje pomocí per partes. Pro sinus je odvození tu:
FEL ČVUT.
Druhou možností, jak na kosinus, je vzorec pro dvojnásobný úhel:
Anglické video - Khan: integrál sin⁴x (pro kosinus je to obdobné)
nebo
Text: Výpočet se vzorcem.

Kompletní příklady jsou ve cvičení:
13. cvičení.
13. řešení.
nebo na stránce
Zemánek, Hasil.

6. týden (od 23.3.) - Substituce 2. druhu, Parciální zlomky

2. Téma: Parciální zlomky

Vítejte u integrace racionální funkce (polynom dělený polynomem). Dnešní pointa: za pomoci algoritmu rozepíšeme funkci na kousky, které už zintegrovat umíme (s jedinou výjimkou, na kterou dojde příště).

Ve videu jsou vidět integrály, ke kterým se snažíme dojít, a je tam připomenuto, jak je zintegrovat.
Isibalo: Cílové integrály

Postupný výklad najdeme opět tu (s tím, že sekci D si dáme až příští týden):
Parciální zlomky doc. Kremla

Příklady pro Vás:
12. Parciální zlomky
12. řešení

Na následujících odkazech najdete kompletně vyřešené příklady, konkrétní kroky jsou pak rozepsány níže.
12. Parciální zlomky - příklady ukazované na online cviku

Videa
Video Isibalo: lineární dvojčleny
Video Khan: lineární dvojčleny (anglicky)
Video Isibalo: integrace s kvadratickým trojčlenem

Technická univerzita Liberec
Zemánek, Hasil: řešené příklady (bez slovního komentáře)


Pojďme na algoritmus. Začínáme s funkcí P(x)/Q(x), kde P a Q jsou polynomy.

Krok 1

Zkontrolujeme, že st P< st Q. (Musí být ostře menší, rovnost nestačí.) Pokud to neplatí, musíme podělit polynom polynomem.

Anglické video na Khanovi (je tam anglické značení dělení, ale to nás nerozhodí):
Khan: stupeň P a Q a Lineární dvojčleny (1. půlka videa do 3:24)

Pro připomenutí:
Dělení mnohočlenů: výklad na realisticky.cz
Dělení mnohočlenů: video na Isibalo

Krok 2

Zkontrolujeme Q. Jsou tam jen lineární dvojčleny a kvadratické trojčleny ((ax+b) a (cx²+dx+e))? Pokud ne, musíme rozložit Q. V rozkladu mohou pomoci známé vzorce nebo následující technika.
Zkusíme dosadit hezká malá čísla (-2, -1, 0, 1, 2, 3...). Když to vyjde, znamená to, že jde něco vytknout (jestliže je kořen např. 3, lze jistě vytknout výraz (x-3)). Při vytýkání může opět dojít na dělení mnohočlenů, které tentokrát musí vyjít beze zbytku.
Khan: Rozklad Q a Kvadratický trojčlen (1. půlka videa do 5:25)

Až to budeme mít, ještě jednou zkontrolujeme kvadratické trojčleny. Nedají se ještě rozložit? Pokud ano, rozložíme (tady pomůže obyčejný diskriminant).
Khan: stupeň P a Q a Lineární dvojčleny (zhruba mezi 4:00 a 4:30)

Krok 3

Přichází samotný rozklad na parciální zlomky. Konkrétně použití takové té dlouhé věty.
Některé případy lze najít v následující tabulce:
Tabulka s parciálními zlomky (zdroj té tabulky) .
Příklady rozkládání lze najít buď v kompletních příkladech níže nebo na Khanovu videu (bohužel jen anglicky):
Khan: stupeň P a Q a Lineární dvojčleny
Khan: Lineární dvojčleny v mocnině
Khan: Rozklad Q a Kvadratický trojčlen (2. půlka videa)

Krok 4

Zlomky, které vyšly, nyní můžeme zintegrovat. Ty s lineárními členy vedou na logaritmus nebo na vzorec xⁿ. Kompletní příklad najdete ve videu:
Isibalo: lineární dvojčleny
Khan: lineární dvojčleny (anglicky)

Krok 5

U integrálů s kvadratickými trojčleny si klademe otázku: je v čitateli nějaké to x nebo jsou tam jen čísla? Jsou-li tam jen čísla, vede to na arctan. Jsou-li tam i x, vede to na substituci a logaritmus (a pak možná zase na arkus tangens). Vizte video:
Isibalo: integrace s kvadratickým trojčlenem

1. Téma: Substituce 2. druhu

Věty o substituci existují dvě. Ta první byla minulý týden a v zásadě se týká případu, kdy v integrálu vidíme funkci a zároveň její derivaci. Za tu funkci pak substituujeme, abychom získali něco jednoduššího, co už umíme zintegrovat.
2. věta o substituci funguje opačně. Z výrazů, které jsou často (až příliš) jednoduché, substitucí vyrobí funkce složitější, které je ale snazší zintegrovat.
Většinou se používá na typické případy, které probereme postupně v jednotlivých krocích. Substituci jako takovou je někdy těžké uhodnout, takže je potřeba znát nějaké triky.

Souhrn případů obsahuje text doc. Kremla, začátek na str. 6:
Substituce doc. Kremla

Krok 1

Začneme goniometrickými substitucemi.

(V dalším nám můžou být užitečné trigonometrické vzorce, vzorce na wiki
a cyklometrické funkce a jejich vzorce na wiki.
Ve videích se též objevují funkce sekans a kosekans, trochu víc se o nich můžete dozvědět na anglické wiki.)

Jdeme na to. Goniometrických substitucí se týká příklad 1.4.7. doc. Kremlíka, ve skriptech analýzy je vzorový příklad na str. 427:
Analýza - skripta
a máme Khanova videa (bohužel došly české titulky):
Khan: Úvod do trigonometrických substitucí
Khan: Další (podobný) příklad
Pointa těchto příkladů je: chtěli bychom se zbavit výrazu typu 1-x², použijeme substituce x=sin x a vzorec sin²x+cos²x=1.

Aby to bylo zábavnější, různé substituce se dají samozřejmě kombinovat, dvoudílné video:
Khan: dvě substituce
Khan: dvě substituce, 2. část

Substituovat se samozřejmě nemusí jen pomocí sinus a kosinus, máme třeba i tangens, který umí řešit zase jiné výrazy jinými vzorci:
Khan: Substituce s tangens
A na závěr ukázka víceroúprav a testík:
Khan: Dlouhý bezva příklad
Khan: Testík na trigonometrické substituce

Nyní jsme vybaveni na 1. příklad v zadání. V boxu dole na stránce jsou nápovědy na substituce.
11. Substituce 2. druhu
11. řešení

Novinka:
Na první stránce následujícího textu je tabulka s návodem na výběr vhodné substituce: Trigonometric Substitution

Poznámky

1. Dají se samozřejmě použít různé substituce. Např. sinus jde často zaměnit za kosinus, tangens za kotangens, někdy sinus za tangens...
2. Intervaly pro 2. větu o substituci vybíráme mimo jiné tak, aby funkce φ měla invers.
3. 2. věta o substituci má víc podmínek než první a všechny je třeba naplnit.
4. Přestože primitivní funkce musí být až na konstantu jednoznačná, můžete dostat velmi rozdílné výsledky. Je to dáno tím, že funkce lze prostě zapsat rozdílně (jednoduchý příklad je sin (2x) a 2sin x cos x nebo arccos x a π/2-arcsin x). U těchto příkladů se nám bude objevovat logaritmus a i to může být v pořádku. Lze to zkontrolovat v nějakém programu nebo tak, že se funkce zderivují.

Krok 2

Aneb hyperbolické substituce. Ve druhém cvičení budeme potřebovat hyperbolické funkce.

Základní informace

V pdf se zadáním
11. Substituce 2. druhu
je na první stránce zadefinován hyperbolický sinus a kosinus. Jsou definovány pomocí exponenciální funkce, definiční obor je celé R a z tabulky derivací zjistíme, že sinh x'=cosh x a cosh x'=sinh x. Pozor, není tam mínus. Analogicky primitivní funkcí k sinh je cosh a naopak. Navíc platí, že
cosh²x-sinh²x=1.

Pár odkazů:

Stejně jako se goniometrické funkce dají zadefinovat pomocí jednotkové kružnice, dají se sestrojit funkce pomocí hyperboly. A k nim pak funkce inverzní. Základní obrázky, předpisy a vzorce nabízí Wiki:
Hyperbolické funkce česky
Hyperbolometrické funkce česky
Hyperbolické funkce anglicky
Hyperbolometrické funke anglicky

Máme i video (s anglickými titulky) Khan: Úvod do hyperbolických funkcí

Vezmete-li na milost pár překlepů, můžete se s hyperbolickými funkcemi blíže seznámit v jednom ze cvičení z Archivu
Hyperbolické funkce, řešení

Krok 3

Tak a můžeme jít integrovat. Týká se nás cvičení 2 ze zadání. Nápověda je zase dole v boxu. Budeme potřebovat zejména zmíněný vzorec
cosh²x-sinh²x=1.
Ve skriptech analýzy je kdyžtak vzorový příklad 9.7.17. na str. 497 na hyperbolický sinus: Analýza - skripta
11. Substituce 2. druhu
11. řešení

Krok 4

Kromě goniometrických a cyklometrických funkcí se 2. věta o substituce dá dobře použít ještě na odmocniny nebo třeba e^x. (Další příklady budou, až probereme parciální zlomky.) V podstatě tam, kde vyjadřujete x pomocí y a to pak teprve derivujete a substituujete. Cvičení 3: 11. Substituce 2. druhu
11. řešení
Ve skriptech analýzy je příklad 9.7.15. na str. 496 - na odmocninu: Analýza - skripta

Závěr

Srovnání obou vět o substituci poskytují první dvě strany: Inteligentní kalkulus - Černý
Máte-li na výběr, berte 1. větu o substituci, má méně podmínek.

5. týden (od 16.3.) - Primitivní funkce, per partes, substituce

2. Téma: Substituce a Per partes

Je tu Substituce a Per partes. Začneme substitucí - to je zpětný chod k derivaci složené funkce.

Krok 1

Substitucí se zabývá následující text:
Substituce doc. Kremla

A pak se tím zabývají videa.
Úvodní video na Khanově škole:
Khan: Substituce - úvod
Další příklady:
Khan: Substituce podruhé
Khan: Substituce potřetí
I lineární substituce z 1. tématu se dá řešit substitucí:
Khan: Lineární substituce
Někdy je vhodné substituovat víckrát za sebou:
Khan: Dvě substituce za sebou

Nejtěžší na substituci je zvolit, za co budeme substituovat. Procvičit můžete na:
Khan: procvičování volby substituce
Procvičování substituce jako takové:
Khan: Procvičování na substituci
Khan: Procvičování substituce podruhé

Můžeme se vrhnout na příklady z desáté sady. Až si zkusíte pár příkladů, koukněte na poznámky.
10. Poznámky k substituci a per partes
10S. Substituce
10S. řešení

Krok 2

Další na řadě je Per partes, které je zpětným chodem k derivaci součinu.
I pro něj máme text:
Per partes doc Kremla
A i pro něj máme Khanova videa:
Khan: Hrubé odvození vzorečku
Khan: Příklad na Per partes
Khan: Více per partes za sebou

Kapitola Per partes obsahuje pár triků. Jmenovitě
Khan: Trik s jedničkou
Khan: Trik s převodem na 2. stranu
Tyto triky najdete i příkladech v Tutoriálu na stránce přednášejícího, od strany 6 dále:
Tutoriál

Pokračujeme na procvičování anglicky:
Khan: Procvičování Per partes
Khan: Procvičování podruhé

A závěrem... Druhá sada má dvě části;) Hurá na Per partes, zase koukněte na poznámky:
10. Poznámky k substituci a per partes
10P. Per partes
10P. řešení

1. Téma: Základní integrály a lineární substituce

Vítejte u Neurčitého integrálu (neboli Primitivní funkce). Hledání primitivní funkce je zpětný proces k derivaci. Klademe si tedy otázku „jaká funkce tam byla, než ji někdo zderivoval“. U jednoduchých integrálů vycházíme ze znalosti derivací, případně se to snažíme na nějaký jednoduchý případ napasovat.

Krok 1

Úvodní informaci poskytuje
text doc. Kremla
a videa na Khanově škole (u všech se dají zapnout české titulky):
Khan: Úvod do neurčitého integrálu.
Seznam základních integrálů pak obsahuje tabulka. Je podobná té s derivacemi, ale je tam navíc poslední oddíl (doporučujeme vytisknout, budeme ji hodně potřebovat):
Primitivní funkce se sinh
Základní integrály rozepisuje i Khanova škola:
Khan: xⁿ
Khan: 1/x
Khan: sin x, cos x, e^x

Krok 2

Protože derivace součtu je součet derivací a protože můžeme při derivování dobře násobit konstantou, integrál těmito vlastnostmi disponuje také. Vizte video:
Khan: Součet a násobení konstantou
V tuto chvíli můžeme propočítat příklad 1 v aktuální sadě. Než začneme, ještě pár poznámek.

1. Výsledkem integrace je funkce, kterou když zderivujeme, tak dostaneme zadání, a navíc otevřený interval, na kterém ta derivace existuje. Někdy tak těch intervalů může být i víc, např. (-1/x)'= 1/x² na (-∞;0) a (0;∞).
2. Výsledná funkce je jednoznačná až na konstantu. Zapisujeme jako „ +c “ nebo jako céčko nad rovnítkem. Zatímco +c se píše pořád dál, céčko nad rovnítkem napíšeme jen jednou, v místě, kde zmizí integřítko, pak už jsou normální rovnítka.
3. Všimněme si, že primitivní funkcek 1/x není jen ln x, ale ln |x|.
4. Někdy je třeba funkci nejprve upravit, než ji zintegrujeme:
   Khan: úpravy před integrací
   
5. Výsledek se dá zkontrolovat tím, že ho zderivujeme. Musí vyjít původní funkce.

Vzhůru na 1. úlohu v 9. cvičení:
9. Primitivní funkce - úvod
9. řešení

Rychlé procvičení lze najít i na Khanově škole, anglicky: Khan: klikací testík na integrály
Khan: procvičování xⁿ
Khan: procvičování xⁿ podruhé
Khan: procvičování xⁿ potřetí
Khan: procvičování e^x, 1/x
Khan: procvičování sin x, cos x

Krok 3

K základním integrálům lze přidat i jejich drobné úpravy - konkrétně lineární substituci. Vizte rychlý návod:
9. Lineární substituce - návod
S lineární substitucí je čas na zbylé příklady z devátého cvičení:
9. Primitivní funkce - úvod
9. řešení