Teorie reprezentací konečně dimenzionálních algeber (NMAG442) - informace o přednášce v letním semestru 2020/2021.

Základní informace

Cílem přednášky je podat úvod do teorie reprezentací konečně dimenzionálních algeber nad tělesem. To na jedné straně umožní získat vhled do některých náročnějších problémů z lineární algebry, ale na druhé straně naopak i umožní použít základní lineární algebru k pochopení konkrétních příkladů abstraktních pojmů z teorie modulů. Základní informace o kurzu jsou k nalezení též v SISu.

Rozvrh (také k nalezení v SISu):

  • úterý 9:00-10:30 hod. na Zoomu/v seminární místnosti KA,
  • pátek 11:30-13:00 hod. na Zoomu/v učebně K6.

Začínáme distanční výukou, údaje k Zoomu rozešlou zapsaným studentům přednášející (J. Šťovíček, J. Trlifaj). Pokud by došlo v průběhu semestru ke změně, budete informování. Jednou za dva týdny se v pátek bude konat cvičení (cvičící J. Kopřiva).

Zkouška

Zkouška bude ústní a domlouvá se individuálně s některým z přednášejících. Forma zkoušky (prezenční/distanční) se bude řídit aktuální situací a bude součástí domluvy. Více se o stanovisku MFF k formám zkoušky dozvíte z dopisu studijního proděkana z 9. 12. 2020).

Bude se zkoušet látka pokrytá prvními třemi kapitolami učebnice [ASS] a sekcemi 3 až 5 v článku [Kra].

Zápočet

Zápočet bude udělován za odevzdané vyřešené úkoly. Půjde o tři sady problémů, které budou vypisovány zde a budou se (pokud nebude dohodnuto jinak) zasílat e-mailem J. Šťovíčkovi v uvedených termínech. K zápočtu bude požadováno alespoň 50 % bodů z vyřešených problémů.

1. sada domácích úkolů (termín: 7. 5.)

Vyřešte následující cvičení z [ASS], kap. II.4 (str. 65-68):

  • cvičení 7,
  • cvičení 11 (předpokládejte, že těleso je algebraicky uzavřené),
  • cvičení 15,
  • cvičení 17, část (b).

2. sada domácích úkolů (termín: 28. 5.)

Vyřešte následující cvičení z [ASS], kap. III.4 (str. 93-96):

  • cvičení 4, části (a), (b), (g), (h),
  • cvičení 8,
  • cvičení 10,
  • variaci na cvičení 10: vezměte algebru cest se stejným toulcem Q, ale změňte ideál na I = ⟨βα⟩. Jaká bude globální dimenze algebry A = KQ/I v tomto případě?

3. sada domácích úkolů (termín: ke zkoušce)

  • Najděte nějaký kořen Dynkinova diagramu E6, který má v nějaké komponentě číslo 3.
  • Zvolte si nějakou orientaci diagramu Dynkinova diagramu E6 a popiště nerozložitelnou reprezentaci odpovídající kořenu výše pomocí matic (nebo obdobně explicitně).

Program kurzu

Zde bude průběžně doplňován stručný záznam o tom, co bylo probráno. V tabulce budou též odkazy na případné záznamy přednášek po Zoomu a poznámky z virtuání tabule.

Datum Probráno Zdroje Video + zápisky
2. 3. Algebry nad tělesem, Jacobsonův radikál a nilpotence radikálu konečně dimenzionální algebry, příklady. Moduly na algebrou, Nakayamovo lemma. [ASS], kap. I.1, I.2 přednáška 1
5. 3. Homomorfismy modulů a jejich jádra, kojádra a obrazy. Direktní sumy a nerozložitelné moduly. Příklady – algebra trojúhelníkových matic a Kroneckerova algebra. Aditivní a abelovské kategorie. [ASS], kap. I.2 a A.1 přednáška 2
9. 3. Funktory mezi kategoriemi, adjunkce, ekvivalence kategorií a jejich charakterizace. Exaktní a jednostranně exaktní funktory. Adjunkce mezi tenzorovým součinem a Hom-funktorem. [ASS], kap. A.2, [AF], kap. 19 přednáška 3
12. 3. Cvičení (zčásti opakování z přednášky Okruhy a moduly): Vlastnosti soklu, endomorfismus konečně dimenzionálního jednoduchého modulu je triviální, polojednoduché (aka totálně rozložitelné) moduly a okruhy. list se cvičeními,
[ASS], kap. I.3
cvičení 1 + poznámky
16. 3. Příklad ekvivalence mezi kategorií modulů nad algebrou dolních trojúhleníkových matic řádu 2 a kategorií lineárních zobrazení mezi vektorovými prostory. Idempotentní prvky algebry, vztah k rozkladu na direktní sumu pravých ideálů, další související pojmy. Zvedání idempotentů modulo radikál. [ASS], kap. I.4 a A.2 přednáška 4
19. 3. Nerozložitelné projektivní moduly mají jediný maximální podmodul. Lokální konečně dimenzionální algebry a jejich charakterizace. Nerozložitelné moduly, lokální okruhy endomorfismů a Krull-Schmidtova věta (jednoznačnost rozkladu na nerozložitelné moduly). [ASS], kap. I.4 přednáška 5
23. 3. Snake lemma, projektivní a injektivní moduly a resolventy, nadbytečné podmoduly a projektivní pokrytí, standardní dualita, injektivní obaly. [ASS], kap. I.5 přednáška 6
26. 3. Cvičení (zčásti opakování z přednášky Okruhy a moduly): Wedderburnova-Artinova věta, radikál modulů a jeho vlastnosti. list se cvičeními,
[ASS], kap. I.3
cvičení 2 + poznámky
30. 3. Základní algebry a jejich charakterizace, asociovaná základní algebra k obecné konečně dimenzionální algebře. Vztah mezi kategoriemi modulů nad algebrami A a eAe, kde e je idempotent. [ASS], kap. I.6 přednáška 7 + pozn. - zákl. algebry
6. 4. Ekvivalence kategorií modulů konečně dimenzionální algery a k ní asociované základní algebry. Toulce a algebry cest, příklady. [ASS], kap. I.6 a II.1 přednáška 8
9. 4. Souvislost algeber cest, homomorfismy algeber z algeber cest, šipkový ideál. Maticový zápis algeber cest pro acyklické konečné toulce, příklady. [ASS], kap. II.1 přednáška 9
13. 4. Relace v toulcích, přípustné ideály, algebry cest vázané relacemi/ideálem. Idempotentní prvky a radikál faktoru algebry cest podle přípustného ideálu. [ASS], kap. II.2 přednáška 10
16. 4. Cvičení: Reprezentace algeber pomocí toulce a relací, direktní rozklady a lokální algebry, projektivní pokrytí. list se cvičeními cvičení 3 + poznámky
20. 4. Toulec QA základní konečně dimenzionální algebry A nad algebraicky uzavřeným tělesem K - základní vlastnosti, příklady a formulace věty o tom, že A je isomorfní KQA/I. [ASS], kap. II.3 přednáška 11
23. 4. Důkaz věty o tom, že pro základní konečně dimenzionální algebru A nad algebraicky uzavřeným tělesem platí A ≅ KQA/I pro nějaký přípustný ideál I. Příklady. Kategorie reprezentací toulce vázaných nějakými relacemi, ekvivalence s kategoriemi modulů odpovídajících algeber cest. [ASS], kap. II.3 a III.1 přednáška 12
27. 4. Prezentace konečně dimenzionálních algeber nad ne nutně algebraicky uzavřeným tělesem. Důkaz věty o ekvivalenci kategorií modulů a kategorií reprezentací. Jednoduché moduly nad algebrou cest. Sokl a radikál v řeči reprezentací. [ASS], kap. III.1 a III.2,
[Ben], kap. 4.1
přednáška 13
30. 4. Cvičení: Příklady na endomorfismy a direktní rozklady reprezentací. list se cvičeními cvičení 4 + poznámky
4. 5. Diskuze perfektnosti těles a jejích důsledků. Sokl a radikál v řeči reprezentací - dokončení a příklady. Nerozložitelné projektivní reprezentace a jejich radikál. [ASS], kap. III.2
přednáška 14
7. 5. Nerozložitelné injektivní reprezentace, Nakayamův funktor, zobrazení z nerozložitelných projektivních a do nerozložitelných injektivních modulů nad algebrami cest, rozšiřování jednoduchých modulů. [ASS], kap. III.2
přednáška 15
11. 5. Dimenzní vektor reprezentace, Grothendieckova grupa odpovídající algebry cest a jejich vztah. Definice Cartanovy matice algebry cest. [ASS], kap. III.2 a III.3
přednáška 16
14. 5. Cvičení: Příklady na endomorfismy a také na jednoduché, projektivní a injektivní reprezentace. list se cvičeními cvičení 5 + poznámky
18. 5. Vlastnosti Cartanovy matice algebry cest, Eulerova charakteristika a její homologická interpretace, Coxeterova transformace. [ASS], kap. III.3
přednáška 17
21. 5. Dědičné algebry, pro každou základní dědičnou konečně dimenzionální algebru A nad algebraicky uzavřeným tělesem platí A ≅ KQA. Vzorec pro Eulerovu charakteristiku a související formy pro dědičné algebry. [ASS], kap. VII.1,
[ARS], kap. III.1,
[Kra], kap. 3.2 a 4.1
přednáška 18 + prezentace
25. 5. Dynkinovy a eukleidovské diagramy a pozitivní (semi)definitnost asociovaných kvadratických forem. Reflexe příslušné vrcholům grafu a konstrukce reflexních funktorů. [Kra], kap. 3.1-3.3 a 4.1-4.2
přednáška 19 + prezentace
28. 5. Cvičení: Reflexní funktory. list se cvičeními cvičení 6 + poznámky
1. 6. Vlastnosti reflexních funktorů, kořeny, Coxeterova transformace podruhé. [Kra], kap. 3.3 a 4.3-4.4
přednáška 20 + prezentace
4. 6. Působení Coxeterovy transformace na kořenech pro Dynkinovy diagramy, Coxeterovy funktory a jejich vlastnosti, preprojektivní a preinjektivní reprezentace, Gabrielova věta o konečném reprezentačním typu. [Kra], kap. 3.4-3.5, 4.4 a 5.1
přednáška 21 + prezentace

Literatura

Přednášená látka je převážně pokryta v následujících zdrojích:

[ASS] I. Assem, D. Simson, A. Skowroński, Elements of the representation theory of associative algebras, Vol. 1, Cambridge University Press, 2006.
[Kra] H. Krause, Representations of quivers via reflection functors, arXiv:0804.1428. [Full text in PDF]

Kurz sestává zhruba z prvních třech kapitol [ASS] a sekcí 3 až 5 v článku [Kra].

V poslední době se objevila řada dalších monografií, které se zabývají teorií reprezentací konečně dimenzionálních algeber z různých pohledů. Zde jsou některé klasičtější zdroje, která jsou sice z pohledu přednášky pouze doplňkové, ale stojí zato je zmínit:

[ARS] M. Auslander, I. Reiten, S. Smalø, Representation theory of Artin algebras, Cambridge University Press, 1997.
[Ben] D. J. Benson, Representations and cohomology I, Basic representation theory of finite groups and associative algebras, Second edition, Cambridge University Press, Cambridge, 1998.

Základní fakta o modulech nad obecnými okruhy jsou též k nalezení v monografii

[AF] F. W. Anderson, K. R. Fuller, Rings and categories of modules, 2nd edition, Springer-Verlag, New York, 1992.