|
|
Poznámky k první zápočtové písemcePísemku psalo 90 studentů, úspěšně ji napsalo 64 studentů (23 mělo správně všechny tři příklady,
41 mělo správně dva příklady), 26 studentů písemku nenapsalo (20 mělo správně jeden příklad a 6 nemělo správně žádný příklad).
Některé chyby, které se v řešeních vyskytovaly:
- Nerovnost x2≤c (kde c>0) se upraví na |x|≤√c, nikoli na x≤√c.
Tedy například nerovnost arctg2x≤(π/6)2 se upraví na |arctg(x)|≤π/6.
- Nerovnice |arctg(x)|≤π/6 se řeší takto: Znamená -π/6≤arctg(x)≤π/6. Díky tomu, že funkce tg je rostoucí
na (-π/2,π/2), lze nerovnosti ekvivalentně upravit na tg(-π/6)≤x≤tg(π/6), neboli x∈<-1/√3,1/√3>.
- Zejména třeba nerovnost |arctg(x)|≤π/6 vyřešit, nelze ji prohlásit za výsledek.
- Podobně nerovnost x2≥c (kde c>0) se upraví na |x|≥√c, nikoli na x≥√c.
Tedy nerovnice 1≤x2≤3 má řešení x∈<-√3,-1>∪<1,√3>.
- Pokud řešíme nerovnost -1≤√(3-x2)≤1, pak postupujeme takto: Aby ta odmocnina byla definována, musí být
3-x2≥0. Pokud toto platí, pak je první nerovnost splněna vždy (druhá odmocnina je vždy nezáporná, když je definovaná).
Kombinací podmínky a druhé nerovnosti pak dostaneme 0≤3-x2≤1, neboli 2≤x2≤3. Řešením je tedy
množina <-√3,-√2>∪<√2,√3>.
- Pro celou část platí nerovnosti x-1<[x]≤x, protože [x] je celé číslo splňující [x]≤x<[x]+1.
Nerovnosti x≤[x]≤x+1 nejsou spráný odhad (i když ta druhá platí a obvykle nepovedou k chybnému výsledku při použití věty o policajtech).
- Pokud počítáme limitu součinu a vychází nám 0.∞, není vidět, kolik limita vyjde. Nemusí vyjít nula, může vyjít cokoli.
Proto musíme zvolit nějakou jinou metodu výpočtu než pouhou aplikaci věty o aritmetice limit.
- Pokud počítáme limitu funkce, v níž se vyskytuje celá část z výrazu, co jde do nekonečna, je na místě se pokusit použít větu o policajtech,
tj. použít výše zmíněné odhady a počítat pak limity funkcí, v nichž se celá část nevyskytuje. Dělat úpravy a rozšiřování uvnitř celé části nemá moc
smysl.
- L'Hospitalovo pravidlo se hodí na počítání limity podílu (za určitých okolností). L'Hospitalovo pravidlo neříká, že by se limita funkce někdy
rovnala limitě derivace. Říká, že za určitých předpokladů je limita podílu dvou funkcí rova limitě podílu jejich derivací.
- [5√n]≥ 5√n-1, nerovnost [5√n]≥ 5√(n-1) asi platit nemusí.
- Podobně log[5√n]≥ log(5√n-1), ale nerovnost log[5√n]≥ log(5√n)-1 není zřejmá.
- Počítáme-li derivaci funkce, správný postup je následující: Nejprve určíme definiční obor funkce, potom spočteme derivaci a určíme,
kde výpočet funguje. Obrácený postup - nejprve formálně zderivovat a pak zkoumat, kdy má výsledný vzorec smysl, je chybný. Může vést ke špatnému
výsledku - může se stát, že vzorec získaný formálním derivováním má smysl na větší množině, než je definiční obor funkce.
- Definiční obor funkce arcsin je interval <-1,1>. To je třeba zohlednit při řešení nerovnice arcsin(1/x)>0
(která má řešení <1,+∞).
- Řešením nerovnice arccotg(1/x)<π/4 probíhá následovně: Nerovnost je ekvivalentní nerovnosti 1/x>1. K tomu je třeba vědět,
co to je funkce arccotg a jaké má vlastnosti. Buď to odhadneme z grafu (víme, že arccotg(1)=π/4 a funkce arccotg je klesající),
nebo na obě strany nerovnosti aplikujeme funkci cotg, která je klesající na (0,π), a tedy se obrátí znaménko nerovnosti.
Nerovnost 1/x>1 je pak splněna právě pro x∈(0,1). Zase je dobré si uvědomit, jak ta funkce vypadá, jaký má
graf; je to lepší než se snažit pouze formálně upravovat.
- Počítáme-li derivaci funkce f(x)g(x), nejprve si ji vyjádříme podle definice obecné mocniny jako
exp(g(x).log(f(x))) a tento tvar derivujeme (derivace složené funkce atp.). Lepší postup nemá smysl vymýšlet.
|
