|
|
Poznámky k druhé zápočtové písemce
Písemku psalo 90 studentů, úspěšně ji napsalo 71 studentů (33 mělo správně všechny tři příklady,
38 mělo správně dva příklady), 19 studentů písemku nenapsalo (16 mělo správně jeden příklad a 3 neměli správně žádný příklad).
Aspoň jednu z písemek psalo 91 studentů (to jsou všichni zapsaní).
Obě písemky úspěšně napsalo 51 studentů, 33 studentů napsalo úspěšně jednu písemku a 7 studentů
zatím žádnou.
Komentář k řešení a častým chybám:
- Řešíme-li nerovnici arcsin(něco)>π/4, první krok je ji převést na nerovnice
1/√2<něco≤1. V tom je již automaticky zohledněn i definiční obor funkce arcsin,
který již není třeba vyšetřovat zvlášť.
- Řešíme-li nerovnice a<1/něco≤b, kde a,b jsou daná kladná čísla, pak první krok je převést
ji na nerovnice 1/a>něco≥1/b. Důvod je ten, že i to něco musí být kladné a na (0,+∞)
je funkce x↦1/x klesající.
- [Komentováno již po prvním testu] Řešíme-li nerovnici arccotg(něco)<π/3,
první krok je převést ji na něco>cotg(π/3), protože funkce cotg je klesající na (0,π).
- [Komentováno již po prvním testu] Nerovnost x2>c
(kde c>0) se upraví na |x|>√c, nikoli na x>√c.
Řešením je tedy množina (-∞-√c)∪(√c,+∞).
- Funkce arccos je inverzní k zúžení funkce cos, nikoli sin.
- Nerovnice √x>-2 je splněna vždy, když je odmocnina definovaná, tj.
na <0,+∞. Druhá odmocnina je totiž vždy nezáporná.
- Počítáme-li limitu, kde se vyskytuje rozdíl sedmých odmocnin, a chceme tento rozdíl něčím rozšířit, pak správná volba
je použít vzorec pro a7-b7.
- Podobně, počítáme-li limitu, kde se vyskytuje rozdíl třetích odmocnin, a chceme tento rozdíl něčím rozšířit, pak správná volba
je použít vzorec pro a3-b3.
- Počítáme-li limitu pro x→0, pak 1+x2→1 a nemá žádný smysl z toho vytýkat x2.
Převládající člen je totiž 1.
- V pátečních písemkách byla limita triviálně rovna +∞. To sice nebyl původní záměr,
ale na tom nezáleží. Stačilo použít doplňky k aritmetice limit, nebylo třeba nic rozšiřovat. Ale i když si
to člověk hned neuvědomí a rozšíření provede, pak dojde ke správnému výsledku, pokud tedy správně upravuje
výrazy.
- Definiční obor logaritmu je (0,+∞). Tedy, pokud určuji definiční obor funkce log(něco), musím vyřešit nerovnici
něco>0.
- Počítám-li parciální derivace, je automatickou součástí řešení říci, kde to funguje; zejména, když
v zadání je “všude, kde existují”.
- Nejsnazší způsob řešení nerovnice |y/(2x+1)|≤1 je následující: Pro x≠-1/2 můžeme převést na
|y|≤|2x+1|, neboli -|2x+1|≤y≤|2x+1|, tedy jde o oblast mezi grafy funkcí
x↦|2x+1| a x↦-|2x+1| s vyloučením bodu [-1/2,0].
|
