MFF UK

Předpokládané znalosti a prerekvizity

Předmět Úvod do funkcionální analýzy (NMMA331) má dvě prekvizity - „aspoň jednu analýza druhého ročníku” a „teorii míry a integrálu”. To znamená, že předtím, než si student zapíše předmět NMMA331, musí složit zkoušky z předmětů:

Upozorňuji, že prerekvizity není možné odpouštět. Žádat o jejich odpuštění je tedy ztrátou času.


Důvodem vyžadování prerekvizit je struktura matematiky, kdy některé partie navazují na jiné. Ke smysluplnému studiu předmětu Úvod do funkcionální analýzy je potřeba mnoho znalostí vyučovaných v povinných kurzech oboru Obecná matematika doporučených pro první a druhý ročník. Přitom zdaleka nejde jen o formálně vyžadované kurzy NMMA201, NMMA204 a NMMA205, které byly zvoleny spíše jako indikátor toho, zda je student schopen smysluplně studovat.


Protože tedy formální prerekvizity potřebná témata pokrývají jen z menší části, uvádím níže vybraná témata, jejichž znalost je naprosto nezbytná pro porozumění přednášce Úvod do funkcionální analýzy. Tím neříkám, že další partie vyučované v prvním dvouletí potřeba nejsou, jen vybírám to nejdůležitější. Některé pojmy a výsledky z níže uvedených budou na přednášce stručně připomenuty, ale nemohou být podrobně vysvětlovány.


Předmět NMMA931 vyučovaný zároveň s předmětem NMMA331 nemá formální prerekvizity vzhledem k svému odlišnému určení. To však studenty, kteří ho chtějí smysluplně studovat a absolvovat, nezbavuje nutnosti znát partie matematiky k tomu nezbytné.


Nejdůležitější potřebné znalosti:

  • Reálná a komplexní čísla, operace s nimi
  • Diferenciální počet jedné a několika reálných proměnných (limita, spojitost, derivace, parciální derivace, funkce třídy Ck a C atp.)
  • Konvergence posloupností a řad reálných či komplexních čísel (absolutní, neabsolutní), konvergence posloupností a řad funkcí (bodová, stejnoměrná, lokálně stejnoměrná)
  • Integrální počet jedné reálné proměnné (primitivní funkce, určitý integrál)
  • Lebesgueova míra a Lebesgueův integrál na Rn (včetně integrálů závislých na parametru)
  • Teorie míry a abstraktní Lebesgueův integrál, znaménkové míry, Hahnův rozklad, absolutní variace, Radon-Nikodýmova věta
  • Vektorové prostory nad R a nad C, lineární zobrazení
  • Metrické prostory (metrika, spojitost, otevřené a uzavřené množiny, kompaktní prostory, úplné prostory, řídké množiny a množiny první kategorie, Baireova věta, borelovské množiny)
  • Něco málo z teorie množin (spočetné a nespočetné množiny, Zornovo lemma)


Uvedené oblasti se vyučují v kurzech Matematická analýza 1-4 (NMMA101, NMMA102, NMMA201, NMMA204), Lineární algebra 1-2 (NMAG111, NMAG112) a Teorie míry a integrálu 1 (NMMA205). To vše jsou povinné předměty oboru Obecná matematika doporučené pro první a druhý ročník, takže u těch, kdo studují Úvod do funkcionální analýzy se předpokládá dostatečná znalost obsahu těchto kurzů.


Vybrané oblasti z předpokládaných znalostí jsou stručně připomenuty formou Apendixu v textech k přednášce. To je míněno zejména jako pomoc pro studenty, kteří si zapsali předmět NMMA931 a neabsolvovali všechny uvedené kurzy či jiné kurzy s přesně stejným obsahem, a také jako stručné shrnutí několika málo znalostí, které nyní nejsou pokryty povinnými kurzy a učí se v povinně volitelném předmětu Teorie míry a integrálu 2 (NMMA343).