Ondřej Kalenda

Úvod do funkcionální analýzy

Obecné informace k organizaci kurzu

Předpokládané znalosti a prerekvizity

Souvislosti s dalšími předměty

Doporučená literatura

Texty k přednáškám

Informace ke cvičením

Podmínky pro získání zápočtu
(včetně statistiky úspěšnosti)

Informace ke zkouškám

Program jednotlivých přednášek a cvičení

Statistika výsledků zkoušek

Zadání a výsledky zkouškových písemek

Poznámky a tipy k písemkám

Texty k přednáškám z Úvodu do funkcionální analýzy

Zimní semestr 2022/2023

Úvod k Úvodu do funkcionální analýzy

Apendix - stručné připomenutí některých potřebných partií

A1. Množiny první a druhé kategorie, Baireova věta A2. Něco málo z teorie míry A3. Částečně uspořádané množiny a Zornovo lemma

I. Banachovy a Hilbertovy prostory

I.1 Základní značení, pojmy a příklady          K Příkladu 2 (elementární důkaz trojúhelníkové nerovnosti)          Důkaz Příkladu 6(2)          K Příkladu 7 (Hölderova nerovnost, trojúhelníková nerovnost)          K Příkladu 7 (důkaz úplnosti s využitím Tvrzení 26) I.2 Spojitá lineární zobrazení I.3 Prostory se skalárním součinem          Důkaz závěrečné poznámky I.4 Řady v normovaných lineárních prostorech          Součet bezpodmínečně konvergentní řady nezávisí na přerovnání          Důkaz Tvrzení 27          Důkaz Tvrzení 29(a) I.5 Struktura Hilbertových prostorů I.6 Prostory konečné a nekonečné dimenze          Důkaz Tvrzení 46 I.7 Reálné a komplexní normované lineární prostory          Důkaz netriviální implikace Tvrzení 48          Komplexifikace vektorového prostoru          Důkaz Tvrzení 50(a-d)          Příklad k Tvrzení 50(e) Příklady pro porozumění látce

II. Spojité lineární funkcionály a dualita

II.1 Hahn-Banachova věta a její aplikace          Důkaz Lemmatu 1 (včetně poznámek k definicím)          Důkaz Věty 11 II.2 Vnoření do druhého duálu a reflexivita          Důkaz Věty 13 II.3 Reprezentace duálů klasických prostorů          Důkaz Věty 17 a Důsledku 18          Důkaz Věty 19          Důkaz Lemmatu 22          Důkaz Věty 21          Důkaz Věty 23 II.4 Slabá a slabá* konvergence          Důkaz Tvrzení 24-26          Důkaz Tvrzení 27 a jeho důsledků          Důkaz Tvrzení 31 a Vět 33-35 Příklady pro porozumění látce

III. Omezené lineární operátory

III.1 Kvocienty a faktorizace omezených operátorů          Důkaz Tvrzení 3          Separabilní Banachův prostor je podprostorem ℓ∞          Separabilní Banachův prostor je kvocientem ℓ1 III.2 Věty o otevřeném zobrazení a o uzavřeném grafu          Důkaz Lemmatu 9 a Věty 8          Důležitost předpokladů ve větě o otevřeném zobrazení III.3 Projekce a topologické doplňky          Důkaz Tvrzení 16 a 17 III.4 Duální a adjungované operátory          Důkaz Věty 22, důsledku a dodatky          Důkaz Věty 24          Důkaz poznámek za Větou 24 III.5 Kompaktní operátory          Důkaz Věty 27 a Věty 28 III.6 Spektrum omezeného lineárního operátoru          Důkaz Věty 30 III.7 Spektrální teorie kompaktních operátorů          Důkaz Tvrzení 37          Důkaz Věty 38          Konstrukce Schmidtovy reprezentace Příklady pro porozumění látce

IV. Fourierova transformace

IV.1 Konvoluce funkcí na Rd          Důkaz Věty 1 IV.2 Aproximace hladkými funkcemi          Důkaz Větičky 3          Důkaz Lemmatu 5          Důkaz Věty 6 IV.3 Fourierova transformace a Schwartzův prostor          Důkaz Tvrzení 8          Důkaz poznámky před Větou 11          Důkaz Lemmatu 13, Věty 14 a Důsledku 15          Důkaz Tvrzení 16 a Věty 17 Příklady pro porozumění látce