Program jednotlivých přednášek a cvičení
Přednáška č. 1 - 29.9.2022
Úvodní informace - o čem a k čemu je funkcionální analýza, předpokládané znalosti a souvislosti s dalšími
oblastmi matematiky. Zornovo lemma a jedna jeho jednoduchá aplikace. Začátek Kapitoly I (Banachovy a Hilbertovy
prostory) a oddílu I.1 (Základní značení, pojmy a příklady) - do Větičky I.3 včetně.
Cvičení č. 1 - 29.9.2022
Úvodní informace o zápočtech, Příklady I.4.
Přednáška č. 2 - 3.10.2022
Pokračování oddílu I.1: Větička I.5, Příklad I.6(1), Příklad I.6(2) bez důkazu (důkaz je k dispozici
u textů k přednášce), připomenutí některých definic z teorie míry,
Příklad I.7 - jen informativně (důkaz je k dispozici u textů k přednášce), Větička I.8 a následující značení.
Přednáška č. 3 - 6.10.2022
Dokončení oddílu I.1 - Tvrzení I.9 a Příklad I.10. Dále oddíl I.2 (Spojitá lineární zobrazení) až po poznámky za definicí
izometrie a izomorfismu.
Cvičení č. 2 - 6.10.2022
Prezentace studentů - příklady I/9, I/13
pro n=2 a I/16. Cvičení ze sady I - příklad 2(d).
Přednáška č. 4 - 10.10.2022
Dokončení oddílu I.2 - od definice izometrie a izomorfismu do konce oddílu. Bod (a) z Věty I.16
zatím bez důkazu (bude později). Začátek oddílu I.3 (Prostory se skalárním součinem a Hilbertovy prostory)
- do Lemmatu 18 včetně.
Přednáška č. 5 - 13.10.2022
Dokončení oddílu I.3 - od Tvrzení 19 do konce oddílu. Závěrečná poznámka nebyla dokázána, důkaz je k dispozici
u textů k přednášce. Začátek oddílu I.4 (řady v normovaných prostorech) až do Tvrzení I.26 včetně. Přitom důkaz
Poznámky (1) za definicí různých typů konvergence byl pouze naznačen, podrobný důkaz
lze nalézt u textů k přednáškám.
Cvičení č. 3 - 13.10.2022
Prezentace studentů - příklady I/18 a I/21.
Cvičení ze sady I - příklad 2(e) a začátek příkladu 2(o).
Přednáška č. 6 - 17.10.2022
Dokončení oddílu I.4 - od poznámek za Tvrzením I.26 do konce oddílu. Dále oddíl I.5
(Struktura Hilbertových prostorů) až do první části Tvrzení 32 (včetně důkazu).
Přednáška č. 7 - 20.10.2022
Pokračování oddílu I.5 - od důkazu druhé části Tvrzení 32 do Věty 36 včetně důkazu ekvivalence podmínek (i)-(iv).
Cvičení č. 4 - 20.10.2022
Prezentace studentů - příklady I/23 a I/24.
Cvičení ze sady I - příklady 2(o,r,u).
Přednáška č. 8 - 24.10.2022
Dokončení oddílu I.5 (zbytek důkazu Věty 36 a pak do konce oddílu).
Oddíl I.6 (Normované prostory konečné a nekonečné dimenze) - do Věty 45 včetně.
Přednáška č. 9 - 27.10.2022
Dokončení oddílu I.6 - stručný komentář k Tvrzení 46 (důkaz nebyl proveden, je k dispozici u textů k přednášce).
Dále oddíl I.7 (Reálné a komplexní normované prostory) - Tvrzení 47 včetně důkazu, ke zbytku oddílu jen stručné komentáře
(podrobnosti viz texty k přednášce). Začátek Kapitoly II (Spojité lineární funkcionály a dualita), konkrétně
oddílu II.1 (Hahn-Banachova věta a její aplikace) - úvodní definice a poznámky - sublineární funkcionál, pseudonorma, pohlcující
množina, Minkowského funkcionál.
Cvičení č. 5 - 27.10.2022
Prezentace studentů - příklady I/28 a I/34. Cvičení ze sady I - příklady 3(a,b) včetně příslušných otázek z příkladu 4.
Přednáška č. 10 - 31.10.2022
Pokračování oddílu II.1 - od Lemmatu 1 do Věty 6 včetně.
Přednáška č. 11 - 3.11.2022
Dokončení oddílu II.1 (od Důsledku 7 do konce oddílu). Začátek oddílu II.2 (Vnoření do druhého
duálu a reflexivita) - do poznámek před Větou 13.
Cvičení č. 6 - 3.11.2022
Prezentace studentů - příklady I/35 a I/36. Cvičení ze Sady I - příklady 3(f,h,l,r) včetně příslušných otázek z příkladu 4.
Přednáška č. 12 - 7.11.2022
Dokončení oddílu II.2 (od Věty 13 do konce oddílu).
Začátek oddílu II.3 (reprezentace duálů klasických prostorů) - Věta 15, Důsledek 16 a první část důkazu Věty 17(a)
(za daných předpokladů je Φg∈(ℓp(Γ))* a ||Φg||≤||g||q).
Přednáška č. 13 - 10.11.2022
Pokračování oddílu II.3 - dokončení důkazu Věty 17, Důsledek 18, Věta 19 s částí důkazu (||Φg||≤||g||,
platnost rovnosti pro p∈(1,∞), pro p=1 v případě σ-konečné míry; základní kroky důkazu,
že Φ je na pro konečnou míru); Důsledek 20; Věta 21 a začátek důkazu (důkaz spojitosti nezáporného funkcionálu a jeho norma).
Cvičení č. 7 - 10.11.20
Prezentace studentů - příklady II/5 a II/7. Cvičení ze sady I - příklad 3(t). Cvičení ze sady II - příklady 1, 3, 4, 5.
Přednáška č. 14 - 14.11.2022
Dokončení oddílu II.3 - Věta 21 (definice reprezentující míry), Lemma 22 (důkaz pro metrický případ), Věta 23
(důkaz, že ||Φμ||=||μ|| a základní schéma důkazu, že Φ je na). Důkazy, které nebyly
podrobně provedeny jsou k dispozici u textů k přednášce. Začátek oddílu II.4 (slabá a slabá* konvergence)
- úvodní definice a poznámky do (3) včetně.
Přednáška č. 15 - 21.11.2022
Pokračování oddílu II.4 - od poznámky (4) za definicemi do Důsledku 30 včetně.
Přednáška č. 16 - 24.11.2022
Dokončení oddílu II.4 - od Tvrzení 31 do konce oddílu (Příklady 32 byly odsunuty na cvičení).
Začátek kapitoly III (Omezené lineární operátory),
konkrétně oddílu III.1 (Kvocienty a faktorizace omezených operátorů) - do Větičky 2 včetně.
Bod (a) z Tvrzení 1 nebyl dokázán, byl okomentován jako známá věc z (lineární) algebry.
Cvičení č. 8 - 24.11.2022
Prezentace studentů - příklady II/10, II/15 a II/16. Dále Příklady II.32 z textů k přednášce
a poznámka o slabé konvergenci v Lp(0,1).
Přednáška č. 17 - 28.11.2022
Dokončení oddílu III.1 - od Tvrzení 3 do konce oddílu (Tvrzení 7) bylo jen stručně naznačeno.
Začátek oddílu III.2 (věty o otevřeném zobrazení a uzavřeném grafu) - Věta 8 a Lemma 9 (včetně důkazů).
Přednáška č. 18 - 1.12.2022
Dokončení oddílu III.2 - poznámka o nutnosti předpokladů ve větě o otevřeném zobrazení, pak od Důsledku 10
do konce oddílu. Oddíl III.3 (Projekce a komplementované podprostory) - celý.
Cvičení č. 9 - 1.12.2022
Prezentace studentů - příklady II/29 a II/34. Definice duálního operátoru.
Cvičení ze sady III - 1(a,b,c,d,i,k).
Přednáška č. 19 - 5.12.2022
Poznámka o nekomplementovanosti c0 jakožto podprostoru ℓ∞.
Začátek oddílu III.4 (Duální a adjungované operátory) - do Věty 22 včetně.
Přednáška č. 20 - 8.12.2022
Dokončení oddílu III.4 - od poznámek za Větou 22 do konce oddílu. Závěrečné poznámky byly zmíněny bez důkazu.
Začátek oddílu III.5 (Kompaktní operátory) - do znění Věty 27 včetně.
Cvičení č. 10 - 8.12.2022
Prezentace studentů - příklady II/40 a II/41.
Cvičení ze sad III a IV: IV/1,2,3,6,8,9, III/1(n)+IV/18.
Přednáška č. 21 - 12.12.2022
Dokončení oddílu III.5 - Věty 27 a 28. Začátek oddílu III.6 (Spektrum omezeného lineárního operátoru)
- do Věty 30 včetně. (Důkaz Věty 30 byl jen stručně naznačen, neprázdnost spektra dokázána nebyla.)
Přednáška č. 22 - 15.12.2022
Dokončení oddílu III.6 - stručná rekapitulace Věty 30 a pokračování do konce oddílu.
Začátek oddílu III.7 (Spektrální teorie kompaktních operátorů) - do Tvrzení 36 včetně důkazu první inkluze.
Cvičení č. 11 - 15.12.2022
Kombinace cvičení ze sad III-V: V/1,2,5,4,9, III/1s+IV/22+V/10, III/1t+IV/23+V/11.
Přednáška č. 23 - 19.12.2022
Dokončení oddílu III.7 - důkaz druhé inkluze v Tvrzení 36 a pak do konce oddílu. Konstrukce Schmidtovy reprezentace
kompaktních operátorů byla jen stručně okomentována.
Přednáška č. 24 - 22.12.2022
Začátek Kapitoly IV (Fourierova transformace), oddíl IV.1 (Konvoluce funkcí na Rd) - celý.
Začátek oddílu IV.2 (Aproximace hladkými funkcemi) - do Příkladů 2 včetně.
Cvičení č. 12 - 22.12.2022
Prezentace studentů - příklad III/1. Interpretace výsledku cvičení V/11 z minula, operátor daný týmž vzorcem
na Lp(0,1) - faktorizace přes C[0,1], kompaktnost pro p>1. Dále cvičení III/2e,p,
IV/25+V/12.
Přednáška č. 25 - 2.1.2023
Dokončení oddílu IV.2 - od definice multiindexu do konce oddílu, přičemž důkaz bodu (iii) z Věty 6 nebyl
proveden. Začátek oddílu IV.3 (Fourierova transformace a Schwartzův prostor) - do Tvrzení 8(a,b) včetně
důkazu.
Přednáška č. 26 - 5.1.2023
Pokračování oddílu IV.3 - od Tvrzení 8(c) do Lemmatu 13 včetně. Přitom Lemma 10 bylo jen stručně zmíněno,
stejně jako poznámka před Větou 11.
Cvičení č. 13 - 5.1.2023
Prezentace studentů - příklad III/2. Část cvičení byla využita k pokračování přednášky od Věty 14 do konce oddílu. včetně.
Přitom poznámka za Důsledkem 15 byla zmíněna bez důkazu.
Dále cvičení V/16,21.
