\begin{align} \end{align}

Variace, permutace a kombinace s opakováním

Úlohy

Odkazy na úlohy podle témat:
Variace s opakováním
Permutace s opakováním
Kombinace s opakováním
Souhrnné úlohy


Variace s opakováním

Úloha 3.1

Vypište všechny dvoučlenné variace s opakováním ze tří prvků \(a, b, c\).

Zobrazit řešení

Úloha 3.2

Kolik různých pěticiferných čísel lze vytvořit z číslic \(2\) a \(5\)?

Zobrazit řešení

Úloha 3.3

Kolik různých pěticiferných čísel lze sestavit z číslic \(0, 2, 3\)?

Zobrazit řešení

Úloha 3.4

Kolik slov skládajících se z \(p\) písmen (tj. slov "délky \(p\)") lze utvořit z abecedy, která má \(n\) písmen?

Zobrazit řešení

Úloha 3.5

Kufřík má heslový zámek, který se otevře, když na každém z pěti kotoučů nastavíme správnou číslici; těchto číslic je na každém kotouči devět. Určete největší možný počet pokusů, které je nutno provést, chceme-li kufřík otevřít, jestliže jsme zapomněli heslo.

Zobrazit řešení

Úloha 3.6

Kolik znaků, které jsou složeny z jednoho až čtyř signálů, může obsahovat Morseova abeceda? (Signálem rozumíme "tečku" nebo "čárku".)

Zobrazit řešení

Úloha 3.7

Na panelu je \(r\) žárovek, z nichž každá může svítit zeleně, žlutě nebo červeně. Určete, kolik různých stavů může panel signalizovat.
Kolik žárovek bychom potřebovali, kdybychom chtěli rozlišit \(50\) různých stavů?

Zobrazit řešení

Úloha 3.8

Kolik různých státních poznávacích značek pro automobily lze použít, je-li k dispozici \(21\) písmen a \(10\) číslic a značka se skládá ze tří písmen na prvních třech místech a dále ze čtyř číslic?

Zobrazit řešení

Úloha 3.9

Určete počet čtyřciferných přirozených čísel dělitelných čtyřmi, v nichž se vyskytují pouze číslice \(1, 2, 3, 4, 5\).

Nápověda

Zobrazit řešení

Úloha 3.10

Určete, z kolika prvků lze utvořit \(1\,024\) pětičlenných variací s opakováním.

Zobrazit řešení

Úloha 3.11

V množině přirozených čísel řešte rovnici:
\(V'(2,x) - x \cdot V'(2,3) = 10\)

Zobrazit řešení


Permutace s opakováním

Úloha 3.12

Určete, kolika způsoby je možné srovnat do řady \(2\) šedé, \(3\) modré a \(4\) černé kostky.

Zobrazit řešení

Úloha 3.13

Určete počet uspořádání těchto šesti prvků: \(a, a, a, b, b, c\).

Zobrazit řešení

Úloha 3.14

Určete kolika způsoby lze přemístit písmena slova Mississippi. Kolik z nich nezačíná písmenem M?

Zobrazit řešení

Úloha 3.15

Určete počet všech pěticiferných přirozených čísel, jež lze sestavit z číslic \(5\) a \(7\), má-li v každém z nich být číslice \(5\)
a) právě třikrát;
b) nejvýše třikrát;
c) aspoň třikrát.

Zobrazit řešení

Úloha 3.16

Určete počet všech deseticiferných přirozených čísel, jejichž ciferný součet je roven třem. Kolik z nich je sudých?

Zobrazit řešení

Úloha 3.17

Ze sedmi kuliček, z nichž čtyři jsou modré (navzájem nerozlišitelné), jedna bílá, jedna červená a jedna zelená, máme vybrat a položit do řady pět kuliček. Kolika způsoby to lze provést?

Zobrazit řešení

* Úloha 3.18

Určete počet všech čtyřciferných čísel dělitelných devíti, která můžeme napsat užitím číslic \(0, 1, 2, 5, 7\). Přitom se mohou číslice v čísle i opakovat.

Nápověda

Zobrazit řešení

Úloha 3.19

Určete počet způsobů, jimiž lze na šachovnici \(8 \times 8\) rozmístit všechny figurky šachové hry (bílý král, bílá dáma, \(2\) bílí střelci, \(2\) bílí jezdci, \(2\) bílé věže, \(8\) bílých pěšců + totéž černé barvy).

Nápověda

Zobrazit řešení

Úloha 3.20

Určete, kolika způsoby lze na černá políčka šachovnice \(8 \times 8\) rozmístit \(12\) bílých (nerozlišitelných) a \(12\) černých (nerozlišitelných) kostek tak, aby toto rozmístění bylo symetrické podle středu šachovnice.

Nápověda

Zobrazit řešení


Kombinace s opakováním

Úloha 3.21

V obchodě mají tři druhy sirupu: jahodový, malinový a pomerančový. Určete počet všech možností nákupu pěti lahví sirupu v tomto obchodě.

Zobrazit řešení

Úloha 3.22

Určete, kolika způsoby si mohou tři osoby rozdělit osm (stejných) jablek.

Zobrazit řešení

Úloha 3.23

Určete počet kvádrů, jejichž velikosti hran jsou přirozená čísla nejvýše rovná deseti. Kolik je v tomto počtu krychlí?

Zobrazit řešení

Úloha 3.24

Určete počet všech trojúhelníků, z nichž žádné dva nejsou shodné a jejichž každá strana má jednu z velikostí daných čísly \(4, 5, 6, 7, 8, 9\).

Zobrazit řešení

Úloha 3.25

Ze všech bílých šachových figurek bez krále a dámy (tj. z osmi pěšců, dvou věží, dvou jezdců a dvou střelců) vybereme
a) dvojici,
b) trojici.
Jaký je počet možností pro jejich složení?

Zobrazit řešení

Úloha 3.26

Apolloniovou úlohou se rozumí úloha sestrojit kružnici, která má tři z těchto vlastností: prochází daným bodem, dotýká se dané přímky, dotýká se dané kružnice. (Označíme-li tyto vlastnosti po řadě písmeny B, p, k, můžeme každou Apolloniovu úlohu zapsat pomocí trojice z těchto písmen; tak např. úloha Bpp značí úlohu sestrojit kružnici procházející daným bodem a dotýkající se dvou daných přímek.)
Určete počet všech Apolloniových úloh.

Zobrazit řešení

Úloha 3.27

Kolik různých neuspořádaných trojic mohou dát počty ok na jednotlivých kostkách při vrhu třemi kostkami? (Jde o obvyklou kostku s jedním až šesti oky na jednotlivých stěnách.)

Zobrazit řešení

Úloha 3.28

V železničním depu je dvacet osobních, sedm lůžkových a pět poštovních vozů. Kolik různých souprav s pěti vozy je možno v tomto depu sestavit, jestliže nezáleží na pořadí vozů v soupravě?

Zobrazit řešení

Úloha 3.29

Klenotník vybírá do prstenu tři drahokamy; k dispozici má tři rubíny, dva smaragdy a pět safírů. Kolika způsoby může tento výběr provést, považujeme-li kameny téhož druhu za stejné?

Zobrazit řešení

Úloha 3.30

Určete, kolika různými způsoby lze rozdělit \(15\) korunových mincí mezi \(10\) dětí, jestliže
a) neklademe žádná omezení;
b) každé dítě dostane alespoň jednu minci;
c) nejstarší dítě dostane alespoň dvě mince.

Zobrazit řešení


Souhrnné úlohy

Úloha 3.31

Je dáno slovo ABRAKADABRA. Určete:
a) počet všech možných pořadí z daných písmen;
b) počet všech pořadí, v nichž nejsou vedle sebe dvě písmena A;
c) počet všech pořadí, v nichž není vedle sebe pět písmen A.

Zobrazit řešení

Úloha 3.32

Určete počet způsobů, jimiž lze umístit všechny bílé šachové figurky (král, dáma, \(2\) věže, \(2\) jezdci, \(2\) střelci, \(8\) pěšáků)
a) na dvě pevně zvolené řady šachovnice \(8 \times 8\);
b) na libovolné dvě řady šachovnice \(8 \times 8\).

Zobrazit řešení

Úloha 3.33

Určete, kolika způsoby je možno přemístit písmena slova BATERKA tak, aby se souhlásky a samohlásky střídaly.

Zobrazit řešení

Úloha 3.34

V novinovém stánku je ke koupi deset druhů pohledů, přičemž každý druh je k dispozici v padesáti exemplářích. Určete, kolika způsoby lze zakoupit
a) \(15\) pohledů;
b) \(51\) pohledů;
c) \(8\) různých pohledů.

Zobrazit řešení

Úloha 3.35

Knihovna má pět regálů, do každého se vejde \(20\) knih. Určete, kolika způsoby lze do knihovny umístit \(20\) knih. (V jednotlivých regálech záleží jen na pořadí knih, nezáleží na jejich posunutí.)

Nápověda

Zobrazit řešení

Úloha 3.36

V samoobsluze mají čtyři druhy kávy v balíčcích po padesáti gramech. Určete, kolika způsoby lze koupit \(250\) gramů kávy, jestliže
a) balíčků každého druhu mají dostatečný počet;
b) od dvou druhů mají deset balíčků a od zbývajících dvou pouze po čtyřech balíčcích.

Zobrazit řešení

Úloha 3.37

Určete, kolika způsoby lze rozdat \(18\) (různých) knih třem žákům A, B, C tak, aby A a B dohromady měli dvakrát více knih než C.

Nápověda

Zobrazit řešení

Úloha 3.38

Tři děvčata − Anna, Dana a Hana − se mají rozdělit o sedm stejných růží a pět stejných tulipánů. Kolika způsoby to lze provést?

Zobrazit řešení

Úloha 3.39

Určete, kolika způsoby si mohou tři osoby rozdělit čtyři stejná jablka a šest stejných hrušek.

Zobrazit řešení