Nejprve si ukážeme, proč platí binomická věta pro \(n=3\):
Víme, že platí \((a+b)^3 = (a+b)(a+b)(a+b)\).
Při roznásobování necháme prvky v takovém pořadí, v jakém jsou v původním zápisu:
\[(a+b)(a+b)(a+b) = aaa + aab + aba + baa + abb + bab + bba + bbb.\] Každý ze sčítanců je uspořádaná trojice z prvků \(a\) a \(b\). Sečíst lze právě takové sčítance, které mají stejný počet prvků \(a\) a stejný počet prvků \(b\), tedy např. \(aab + aba + baa\).
Počet trojic se dvěma prvky \(a\) a jedním prvkem \(b\) je \[P'(2,1) = \dfrac{3!}{2! 1!} = \displaystyle{3 \choose 1},\] podobně počet trojic s jedním prvkem \(a\) a dvěma prvky \(b\) je \[P'(1,2) = \dfrac{3!}{1! 2!} = \displaystyle{3 \choose 2}.\] Trojice obsahující tři prvky \(a\) je jen jedna, stejně tak trojice obsahující tři prvky \(b\). Platí tedy \[(a+b)^3 = a^3 + \displaystyle{3 \choose 1}a^2b + \displaystyle{3 \choose 2}ab^2 + b^3 = \displaystyle{3 \choose 0}a^3 + \displaystyle{3 \choose 1}a^2b + \displaystyle{3 \choose 2}ab^2 + \displaystyle{3 \choose 3}b^3.\]

V obecném případě umocnění výrazu \((a+b)^n\) postupujeme stejně.
\((a+b)^n = (a+b)(a+b) \dots (a+b)\);
vynásobením těchto \(n\) dvojčlenů dostaneme podobně jako v předchozím případě součet několika různých \(n\)-tic prvků \(a\) a \(b\):

\(n\)-tice složená jen z prvků \(a\) je jen jedna,

\(n\)-tic složených z \((n-1)\) prvků \(a\) a jednoho prvku \(b\) je \(P'(n-1,1) = \displaystyle{n \choose 1}\),

\(n\)-tic složených z \((n-2)\) prvků \(a\) a dvou prvků \(b\) je \(P'(n-2,2) = \displaystyle{n \choose 2}\),

a tak dál, obecně \(n\)-tic složených z \((n-k)\) prvků \(a\) a \(k\) prvků \(b\) je \(P'(n-k,k) = \displaystyle{n \choose k}\).

Po sečtení všech odpovídajích \(n\)-tic dostáváme: \[(a+b)^n = a^n + \displaystyle{n \choose 1}a^{n-1}b + \displaystyle{n \choose 2}a^{n-2}b^2 + \ldots + \displaystyle{n \choose k}a^{n-k}b^k + \ldots + \displaystyle{n \choose n-1}ab^{n-1} + b^n.\] Protože platí \(1 = \displaystyle{n \choose 0}\) a také \(1 = \displaystyle{n \choose n}\), dostáváme

\((a+b)^n =\)	\(\displaystyle{n \choose 0}a^n + \displaystyle{n \choose 1}a^{n-1}b + \displaystyle{n \choose 2}a^{n-2}b^2 + \ldots + \displaystyle{n \choose k}a^{n-k}b^k + \ldots\)
	\(\ldots + \displaystyle{n \choose n-1}ab^{n-1} + \displaystyle{n \choose n}b^n.\)

Tím je binomická věta dokázána.

1. Pro \(n=1\) platí \[(a+b)^1 = \displaystyle{1 \choose 0}a + \displaystyle{1 \choose 1}b = a+b\].

2. Předpokládejme, že věta platí pro nějaké \(n=k\), platí tedy \[(a+b)^k = \displaystyle{k \choose 0}a^k + \displaystyle{k \choose 1}a^{k-1}b + \displaystyle{k \choose 2}a^{k-2}b^2 + \ldots + \displaystyle{k \choose k-1}ab^{k-1} + \displaystyle{k \choose k}b^k\] Za tohoto předpokladu dokážeme, že věta platí také pro \(n=k+1\).

Víme, že \((a+b)^{k+1} = (a+b) \cdot (a+b)^k\).
Podle indukčního předpokladu můžeme výraz \((a+b)^k\) rozvinout podle binomické věty: \[(a+b)^{k+1} = (a+b) \cdot \left[ \displaystyle{k \choose 0}a^k + \displaystyle{k \choose 1}a^{k-1}b + \displaystyle{k \choose 2}a^{k-2}b^2 + \ldots + \displaystyle{k \choose k-1}ab^{k-1} + \displaystyle{k \choose k}b^k \right]\] Po roznásobení dostáváme:

\((a+b)^{k+1} = \displaystyle{k \choose 0}a^{k+1}\)	\(+\)	\(\displaystyle{k \choose 1}a^{k}b + \displaystyle{k \choose 2}a^{k-1}b^2 + \ldots + \displaystyle{k \choose k-1}a^2b^{k-1} + \displaystyle{k \choose k}ab^k\)	\(+\)
	\(+\)	\(\displaystyle{k \choose 0}a^{k}b + \displaystyle{k \choose 1}a^{k-1}b^2 + \displaystyle{k \choose 2}a^{k-2}b^3 + \ldots + \displaystyle{k \choose k-1}ab^{k}\)	\(+\)	\(\displaystyle{k \choose k}b^{k+1}\)

Odpovídající členy sečteme:

\((a+b)^{k+1} =\)	\(\displaystyle{k \choose 0}a^{k+1} + \left[ \displaystyle{k \choose 1} + \displaystyle{k \choose 0} \right] a^{k}b + \left[ \displaystyle{k \choose 2} + \displaystyle{k \choose 1} \right] a^{k-1}b^2 + \ldots\)
	\(\ldots + \left[ \displaystyle{k \choose k} + \displaystyle{k \choose k-1} \right] ab^{k} + \displaystyle{k \choose k}b^{k+1}\)

Pro sečtení čísel v hranatých závorkách využijeme vlastnost kombinačních čísel \[\displaystyle{n \choose k} + \displaystyle{n \choose k+1} = \displaystyle{n+1 \choose k+1}\] \[(a+b)^{k+1} = \displaystyle{k \choose 0}a^{k+1} + \displaystyle{k+1 \choose 1}a^{k}b + \displaystyle{k+1 \choose 2}a^{k-1}b^2 + \ldots + \displaystyle{k+1 \choose k}ab^{k} + \displaystyle{k \choose k}b^{k+1}\] Protože platí \(\displaystyle{k \choose 0} = 1 = \displaystyle{k+1 \choose 0}\) a také \(\displaystyle{k \choose k} = 1 = \displaystyle{k+1 \choose k+1}\), dostáváme binomickou větu pro \(n=k+1\): \[(a+b)^{k+1} = \displaystyle{k+1 \choose 0}a^{k+1} + \displaystyle{k+1 \choose 1}a^{k}b + \displaystyle{k+1 \choose 2}a^{k-1}b^2 + \ldots + \displaystyle{k+1 \choose k}ab^{k} + \displaystyle{k+1 \choose k}b^{k+1}\] Tím je platnost binomické věty dokázána.