Kombinatorika

Počet bodů za otázku: 1

Otázka: Kolik pěticiferných čísel lze sestavit z číslic $1, 2$, jestliže se číslice mohou opakovat?
Odpověď
Poznámka: Do pole odpovědi můžete psát i jednoduché aritmetické výrazy. Můžete používat sčítání (+), odčítání (-), násobení (*), dělení (/) a kulaté závorky.

Počet bodů za otázku: 1

Otázka

Máme k dispozici

$n$ stejných jídelních vagonů,
$m$ stejných vagonů první třídy,
$l$ stejných vagonů druhé třídy.

Kolik existuje různých způsobů jak seřadit vagony vlaku za sebe, pokud musí být všechny vagony první třídy zařazeny na začátku vlaku? Řešte pro $n, m, l \in \mathbb{N}$. Vyberte všechny správné možnosti.

Možnosti

$$ {n + l \choose n} $$

$$ {n + l - 1 \choose n} $$

$$ \frac{(n + m + l)!}{n!\,m!\,l!} $$

$$ \frac{(n + l)!}{n!\,l!} $$

$$ n! + m! + l! $$

$$ n! \cdot l! $$

Počet bodů za otázku: 1

Otázka

Přiřaďte příklady použití variace s opakováním, permutace s opakováním a kombinace s opakováním k názvům.

Možnosti

Variace s opakováním

Kombinace s opakováním

Permutace s opakováním

Přiřazení

Počet čtyřciferných čísel sestavených z číslic $2, 4, 6$ tak, že se každá číslice může v čísle libovolně opakovat
Počet způsobů, kterými můžeme rozdělit $10$ stejných kuliček do pěti sáčků
Počet způsobů, kterými je možné vytvořit řadu z deseti stejných žlutých žetonů, pěti stejných zelených žetonů a tří stejných černých žetonů

Poznámka

Přiřazení provedete tak, že do vyplňovacího pole napíšete písmenko dané možnosti.

Počet bodů za otázku: 1

Otázka: Ve třídě je 12 chlapců a 8 děvčat. Kolika způsoby z nich lze vytvořit čtyřčlennou skupinu, ve které je maximálně jedna dívka?
Možnosti: $$ {20 \choose 4} - 7 (= 488) $$

$$ 8 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 (= 10\,560) $$

$$ 8 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 + 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 (= 22\,440) $$

$$ 8 {12 \choose 3} + {12 \choose 4} (= 2\,255) $$

$$ 8 {12 \choose 3} (= 1\,760) $$

Počet bodů za otázku: 1

Otázka

Ve třídě je $25$ žáků. Pouze na matematiku je nadaných $7$ z nich. Pouze na český jazyk je nadaných $8$ z nich. Pouze na angličtinu je nadaných $5$ z nich. Jeden žák není nadaný na ani jeden z těchto předmětů.

Kolik žáků je nadaných na alespoň dva z těchto předmětů?

Odpověď

Poznámka

Do pole odpovědi můžete psát i jednoduché aritmetické výrazy. Můžete používat sčítání (+), odčítání (-), násobení (*), dělení (/) a kulaté závorky.

Počet bodů za otázku: 1

Otázka: Máme $n$ kuliček. Chceme je uspořádat do řady. Seřaďte možnosti podle počtu způsobů, kterými to můžeme udělat od největšího po nejmenší. Uvažujte $n$ dělitelné čtyřmi.
Možnosti: Všechny kuličky jsou stejné.

Polovina kuliček je jednoho typu. Čtvrtina kuliček je druhého typu. Zbylé kuličky jsou třetího typu.

Všechny kuličky jsou navzájem rozdílné.

Polovina kuliček je jednoho typu. Zbylé kuličky jsou navzájem rozdílné.

Polovina kuliček je jednoho typu. Zbylé kuličky jsou druhého typu.
Poznámka: Do polí vedle možností vyplňte čísla od 1 do 5 podle pořadí prvků.

Počet bodů za otázku: 1

Otázka: Určete, kolika způsoby je možné rozdělit $10$ stejných lízátek a $5$ stejných žvýkaček mezi $7$ dětí.
Možnosti: $$ \frac{22!}{10!\,5!\,7!} (= 512\,143\,632)$$

$$ 7^{10} + 7^5 (= 282\,492\,056)$$

$$ 7^{10} \cdot 7^5 (= 4\,747\,561\,509\,943)$$

$${16 \choose 10} + {11 \choose 5} (= 8\,470)$$

$${16 \choose 10} \cdot {11 \choose 5} (= 3\,699\,696)$$

$$ {15 \choose 7} (= 6\,435) $$

Kombinatorika

Souhrnný test

Titulní strana

Úvod

Základní kombinatorická pravidla

Variace, permutace, kombinace

Variace, permutace, kombinace s opakováním

Kombinační čísla

Souhrnný test

Literatura a zdroje