Komplexní čísla
Algebraický tvar komplexního čísla

Sčítání a násobení komplexních čísel v algebraickém tvaru

Komplexní čísla v algebraickém tvaru se sčítají a násobí obdobně jako dvojčleny.

Definice


Součet dvou komplexních čísel

Máme-li dvě komplexní čísla a , pak jejich součtem budeme nazývat komplexní číslo . Tento součet označujeme .

Příklady

Vypočtěte:
a)
b)

Definice


Součin dvou komplexních čísel

Máme-li dvě komplexní čísla a , pak jejich součinem budeme nazývat komplexní číslo . Tento součin označujeme .

Poznámka

Součin nuly a libovolného komplexního čísla je roven nule.

Poznámka

Pro každá dvě komplexní čísla , platí, že .

Příklady

Vypočtěte:
a)
b)
c)
d)
>>nahoru<<

Reciproké číslo

Definice


Reciproká čísla

Číslem převráceným neboli reciprokým ke komplexnímu číslu vyjádřenému ve tvaru nazýváme komplexní číslo , značíme ho .

Poznámka

Mějme komplexní číslo . Pak algebraický tvar komplexního čísla dostaneme, rozšíříme-li zlomek číslem :

Příklady

K následujícím komplexním číslům určete čísla převrácená a zapište je v algebraickém tvaru:
a)
b)
Zlomek rozšíříme výrazem .
c)
d)
>>nahoru<<

Odčítání a dělení komplexních čísel v algebraickém tvaru

Definice


Rozdíl dvou komplexních čísel

Máme-li dvě komplexní čísla a , pak jejich rozdílem budeme nazývat komplexní číslo . Tento rozdíl označujeme .

Příklady

Vypočtěte:
a)
b)

Definice


Podíl dvou komplexních čísel

Máme-li dvě komplexní čísla a , pak jejich podílem budeme nazývat komplexní číslo . Tento podíl označujeme .

Příklady

Vypočtěte:
a) Rozšíříme zlomek výrazem .
b) Rozšíříme zlomek výrazem .
c) Rozšíříme zlomek výrazem .

Věta

Pro libovolná komplexní čísla platí následující vlastnosti:

1)
Důkaz
2)
Důkaz

3)
Důkaz
Označíme , .

4)
Důkaz
Označíme , .


5)
Důkaz
Označíme , .

6)
Důkaz
Označíme , .



Věta

Pro libovolné komplexní číslo platí následující vlastnosti:

1)
Důkaz



2)
Důkaz

, protože součet dvou nezáporných reálných čísel je číslo nezáporné a odmocnina z nezáporného čísla je také číslo nezáporné.

3)
Důkaz

Věta

Pro libovolná dvě komplexní čísla , platí:

1)
Důkaz
Body jsou vrcholy rovnoběžníku v Gaussově rovině.
a) Z trojúhelníkové nerovnosti pro trojúhelník s vrcholy vyplývá, že .
Z trojúhelníkové nerovnosti pro trojúhelník s vrcholy vyplývá, že .
b) Protože trojúhelníková nerovnost pro trojúhelník s vrcholy platí pro všechny strany v trojúhelníku, lze dále napsat, že a . Jednoduchou úpravou obou nerovností dostáváme, že a . Čísla a jsou navzájem opačná. Protože jsou obě menší nebo rovna číslu , je menší nebo rovna číslu i jejich absolutní hodnota. Platí tedy, že .
Uvažujeme-li čísla , , dostaneme obdobným postupem .
Spojením kroků a) a b) dostáváme, že platí .
2)
Důkaz
3) Je-li , platí
Důkaz
>>další stránka<<>>nahoru<<
Lenka Šilarová, 2006