n-tá mocnina komplexního čísla

Definice

n-tou mocninou komplexního čísla , kde je přirozené číslo, rozumíme součin čísel .

Věta

Pro libovolná komplexní čísla , , a přirozená čísla , platí následující vlastnosti:

Poznámka

Na začátku kapitoly bylo uvedeno, že pro imaginární jednotku platí .

Věta

Pro mocniny imaginární jednotky platí následující vlastnosti:

Poznámka

Obecně pro libovolné přirozené platí:

Poznámka

Počítáme-li druhou nebo třetí mocninu komplexního čísla v algebraickém tvaru, můžeme použít vzorce nebo .

Poznámka

Chceme-li vypočítat -tou mocninu komplexního čísla v algebraickém tvaru, lze

použít binomickou větu , kde .

Tento postup však může být v případě vyšších mocnin poměrně dlouhý a obtížný. Proto se pro umocňování komplexních čísel používá místo algebraického tvaru tvar goniometrický, kterému se budeme věnovat později. n-tá mocnina komplexního čísla v goniometrickém tvaru

Definice

n-tou mocninu komplexního čísla , kde je celé záporné číslo, definujeme jako . Pro libovolné komplexní číslo definujeme .

Poznámka

Součet druhých mocnin reálných čísel lze v oboru komplexních čísel vyjádřit jako součin:

Poznámka

V oboru obecně neplatí rovnost , kde . Pro každé je totiž , a proto zmíněná rovnost platí pouze pro čísla, pro něž , to znamená pro čísla reálná.

Příklady

>>nahoru<<

n-tá odmocnina z komplexního čísla

Definice

n-tou odmocninou z komplexního čísla , kde , nazveme každé takové komplexní číslo , pro které platí .

Poznámka

Je-li , má rovnice právě jedno řešení , takže . Je-li , rovnice má v oboru komplexních čísel právě různých řešení, která lze určit pomocí goniometrického tvaru komplexního čísla. Postup při určování těchto řešení uvidíme dále.

n-tá odmocnina z komplexního čísla v goniometrickém tvaru

Poznámka

(Komplexní) pro každé , , je -značná, nabývá právě různých komplexních hodnot. Tím se odlišuje od (reálné) pro . (Reálná) pro , je totiž jednoznačná, nabývá právě jedné nezáporné hodnoty. (Reálná) pro , je definována pouze pro lichá.

>>další stránka<<>>nahoru<<