n-tou mocninou komplexního čísla , kde je přirozené číslo, rozumíme součin čísel .
Pro libovolná komplexní čísla , , a přirozená čísla , platí následující vlastnosti:
Na začátku kapitoly bylo uvedeno, že pro imaginární jednotku platí .
Pro mocniny imaginární jednotky platí následující vlastnosti:
Obecně pro libovolné přirozené platí:
... | ||
... |
Počítáme-li druhou nebo třetí mocninu komplexního čísla v algebraickém tvaru, můžeme použít vzorce nebo .
Chceme-li vypočítat -tou mocninu komplexního čísla v algebraickém tvaru, lze
použít binomickou větu , kde .
Tento postup však může být v případě vyšších mocnin poměrně dlouhý a obtížný. Proto se pro umocňování komplexních čísel používá místo algebraického tvaru tvar goniometrický, kterému se budeme věnovat později. n-tá mocnina komplexního čísla v goniometrickém tvaru
n-tou mocninu komplexního čísla , kde je celé záporné číslo, definujeme jako . Pro libovolné komplexní číslo definujeme .
Součet druhých mocnin reálných čísel lze v oboru komplexních čísel vyjádřit jako součin:
V oboru obecně neplatí rovnost , kde . Pro každé je totiž , a proto zmíněná rovnost platí pouze pro čísla, pro něž , to znamená pro čísla reálná.
n-tou odmocninou z komplexního čísla , kde , nazveme každé takové komplexní číslo , pro které platí .
Je-li , má rovnice právě jedno řešení , takže . Je-li , rovnice má v oboru komplexních čísel právě různých řešení, která lze určit pomocí goniometrického tvaru komplexního čísla. Postup při určování těchto řešení uvidíme dále.
n-tá odmocnina z komplexního čísla v goniometrickém tvaru(Komplexní) pro každé , , je -značná, nabývá právě různých komplexních hodnot. Tím se odlišuje od (reálné) pro . (Reálná) pro , je totiž jednoznačná, nabývá právě jedné nezáporné hodnoty. (Reálná) pro , je definována pouze pro lichá.
>>další stránka<<>>nahoru<<