David Stanovský    //

KOMUTATIVNÍ OKRUHY 2013/14

Sylabus:

1. Ideály a dělitelnost (I.1-I.3)
   • Aritmetika ideálů, noetherovskost
   • Gaussova věta a Hilbertova věta o bázi
   • Faktorokruhy, Čínská věta o zbytcích
   • Maximalita, radikály
2. Moduly nad OIHI a jejich rozklady (I.4-I.6)
3. Pokročilejší teorie tělesových rozšíření (II.1-II.5)
   • separabilní, normální a Galoisova rozšíření
   • Galoisova věta
   • norma, stopa, diskriminant
4. Celistvost a Dedekindovy obory (III.1-III.4)

Průběžně aktualizovaný program s referencemi do skript Aleše Drápala a mojich skript "Základy algebry":

3. a 7.10.	Ideály a dělitelnost, aritmetika ideálů, noetherovskost, hierarchie oborů	sekce I.1	domácí úlohy
10.10.	Gaussova věta a Hilbertova věta o bázi	sekce I.2 (event. speciální text)
14. a 17.10	Faktorokruhy	Základy algebry 23.1,2 + kousek I.1	domácí úlohy (opravené zadání)
21.10.	Čínská věta o zbytcích	začátek I.3 (event. Počítačová algebra 6.1)	domácí úlohy
24.10.	Zornovo lemma a maximalita	prostředek I.3, text o axiomu výběru
31.10.	Radikály	zbytek I.3	domácí úlohy
4.11.	Formální mocninné řady a další příklady; definice modulu	k řadám viz též Počítačová algebra 10
7.11.	Moduly - definice, příklady, základní vlastnosti, noetherovskost	Základy algebry 21, noetherovskost I.1	domácí úlohy
11., 14., 18.11.	Volné moduly - direktní součty, volné báze, rank volného modulu, obsah prvku	sekce I.4	domácí úlohy
22. a 25.11.	Klasifikace konečně generovaných modulů nad OIHI	sekce I.5 + oprava důkazu	domácí úlohy
28.11.	Podmoduly volných modulů	sekce I.6	domácí úlohy
2. a 5.12.	Rozšiřování homomorfismů do rozkladových nadtěles a algebraického uzávěru.	speciální text, sekce 1
5. a 9.12.	Stupeň separability a separabilní rozšíření.	sekce II.2	domácí úlohy
12.12.	Jednoduchá, normální a Galoisova rozšíření.	sekce II.3
16.12.	Hlavní věta Galoisovy teorie.	sekce II.3, II.4, doplňující text, sekce 2.1 k výpočtu Galoisových grup
19.12.	Norma, stopa, diskriminant.	sekce II.5	domácí úlohy
6. a 9.1.	Celistvost a Dedekindovy obory	sekce III.2, III.3, III.4	doporučené úlohy

K přednášce běží Proseminář z komutativních okruhů, kde se dozvíte souvislosti a aplikace probírané teorie.

Literatura:

• skripta Aleše Drápala
• prezentace Pavla Růžičky
• jakékoliv anglické učebnice obsahující v názvu "commutative algebra"
• opakování: skripta Základy algebry, Počítačová algebra (Matfyzpress)
• text o axiomu výběru (případně viz učebnice Balcar, Štěpánek: Teorie množin)
• doplňující text o rozkladových nadtělesech, algebraickém uzávěru, výpočtu Galoisových grupa a Abel-Ruffiniho větě (neřešitelnosti polynomiálních rovnic stupně 5 a víc)

Cvičení a přednáška nebudou oddělovány. Zápočet se uděluje spolu s úspěšně složenou zkouškou.

Domácí úkoly budou zadávány každý týden, výsledky se počítají ke zkoušce, budou tvořit 15% z celkového počtu bodů.

• zveřejnění: typicky v pondělí po přednášce zde
• termín odevzdání: do dalšího pondělka 15:40
• místo odevzdání: do schránky na úkoly z úvodního kurzu viditelně označené nápisem "komutativní okruhy", nebo přednášejícímu před přednáškou (preferovaná varianta), případně elektronicky na email ve formátu PDF (pouze s potvrzením o přijetí)
• na první domácí úkol napište přezdívku, pod kterou budou zveřejňovány výsledky na webu
• celkem 10 sérií, počítá se 8 nejlepších
• žádné omluvy se nepřipouští (ani v případě nemoci) - proto se počítá jen 8 úkolů
• Je možné konzultovat řešení se spolužáky, nicméně řešení musí sepsat každý sám a sepsané řešení není dovoleno ukazovat ostatním studentům. Opisování nebude tolerováno, podvod může mít vážné následky.

Zkouška:
Celkem lze získat 100 bodů, z toho max. 15 za domácí úlohy, zbylých 85 za test. K úspěšnému složení zkoušky je třeba aspoň 55 bodů. Na základě výsledku testu určím známku, v případě nesouhlasu je možné se nechat ústně přezkoušet. Test bude trvat 120 minut. Termíny a přihlašování je v SISu. Upozorňuji, že 1.3. pravděpodobně odjedu na dlouhodobý zahraniční pobyt a zkoušku bude možné získat pouze v Kazachstánu.

Prohlédněte si test z prvního termínu.

Rozpis požadavků:

1. Ideály a dělitelnost (I.1-I.3)
   • veškerá teorie včetně všech důkazů, včetně výkladu axiomu výběru
   • početní úlohy
2. Moduly a jejich rozklady (I.4-I.5)
   • dobrý přehled o probrané teorii, znění definic a vět, aplikace na příklady (kromě sekce I.6)
   • důkazy: základní fakta o volných modulech (nemusíte: torzní součin, fakta o obsahu prvku), rozklad na volný + torzní část (včetně lemmat), rozklad torzní části na p-kompontenty
3. Pokročilejší teorie tělesových rozšíření (II.1-II.4)
   • dobrý přehled o probrané teorii, znění definic a vět, aplikace na příklady
   • důkazy: konstrukce algebraického uzávěru, věty o rozšiřování homomorfismů, charakterizace separabilních rozšíření, perfektnost implikuje separabilitu, separabilní rozšíření je jednoduché, charakterizace normálních rozšíření
   • početní úlohy na homomorfismy (výpočet stupně, stupně separability, Galoisovy grupy, podtěles apod.)
4. Norma, stopa, diskriminant, celistvost a Dedekindovy obory (II.5, III.2-III.4)
   • dobrý přehled o probrané teorii, znění definic a vět, aplikace na příklady
   • důkazy: dva způsoby odvození stopy, normy, charakteristického polynomu, vztah k minimálnímu polynomu, důkaz že celistvé prvky tvoří okruh včetně lemmat
   • výpočet stopy, normy atd. (viz nová doporučená cvičení)