Teorie reprezentací konečně dimenzionálních algeber (NMAG442) - informace o přednášce v letním semestru 2021/2022.

Základní informace

Cílem přednášky je podat úvod do teorie reprezentací konečně dimenzionálních algeber nad tělesem. To na jedné straně umožní získat vhled do některých náročnějších problémů z lineární algebry, ale na druhé straně naopak i umožní použít základní lineární algebru k pochopení konkrétních příkladů abstraktních pojmů z teorie modulů. Základní informace o kurzu jsou k nalezení též v SISu.

Rozvrh (také k nalezení v SISu):

  • úterý 14:00-15:30 hod. v seminární místnosti KA,
  • čtvrtek 9:00-10:30 hod. v učebně K7.

Jednou za dva týdny se ve čtvrtek bude konat cvičení (cvičící J. Kopřiva).

Zkouška

Zkouška bude ústní a domlouvá se individuálně s přednášejícím. Bude se zkoušet látka pokrytá prvními třemi kapitolami učebnice [ASS] a sekcemi 3 až 5 v článku [Kra].

Zápočet

Zápočet bude udělován za odevzdané vyřešené úkoly. Půjde o tři sady problémů, které budou spolu s termíny vypisovány zde a jejichž řešení se budou odevzdávat nebo zasílat e-mailem J. Šťovíčkovi. K zápočtu bude požadováno alespoň 50 % bodů z vyřešených problémů.

1. sada domácích úkolů (termín: 19. 4.)

Vyřešte následující cvičení z [ASS], kap. II.4 (str. 65-68):

  • cvičení 7,
  • cvičení 11 (předpokládejte, že těleso je algebraicky uzavřené),
  • cvičení 15,
  • cvičení 17, část (b).

2. sada domácích úkolů (termín: 12. 5.)

Vyřešte následující cvičení z [ASS], kap. III.4 (str. 93-96):

  • cvičení 4, části (a), (b), (g), (h),
  • cvičení 5,
  • cvičení 12 pro algebry z částí (a), (b), (g), (h) ve cvičení 4.

3. sada domácích úkolů (termín: ke zkoušce)

  • Najděte nějaký kořen Dynkinova diagramu E6, který má v nějaké komponentě číslo 3.
  • Zvolte si nějakou orientaci diagramu Dynkinova diagramu E6 a popište pokud možno konkrétně nerozložitelnou reprezentaci odpovídající zvolenému kořenu.

Program kurzu

Zde bude průběžně doplňován stručný záznam o tom, co bylo probráno.

Datum Probráno Zdroje
17. 2. Algebry nad tělesem, Jacobsonův radikál, příklady. [ASS], kap. I.1
18. 2.
(náhrada)
Moduly nad algebrou, Nakayamovo lemma, nilpotence radikálu konečně dimenzionální algebry. Homomorfismy modulů a jejich jádra, kojádra a obrazy. Direktní sumy a nerozložitelné moduly. Schurovo lemma, Wedderburn-Artinova věta, Maschkeho věta. [ASS], kap. I.2 a I.3
22. 2. Radikál a top modulu a jejich vlastnosti. Idempotenty a souvislost s rozklady okruhu na direktní sumu pravých ideálů. [ASS], kap. I.3 a I.4
24. 2. Cvičení: Ekvivalence kategorií, jednoduché a totálně rozložitelné moduly, Wedderburnova-Artinova věta. list se cvičeními
1. 3. Centrální idempotenty a součiny okruhů. Zvedání idempotentů modulo nilpotentní ideál. Nerozložitelné sumandy regulárního modulu mají jednoduchý top. Lokální okruhy, formulace ekvivaletních podmínek a příklady. [ASS], kap. I.4
3. 3. Characterizace lokálních okruhů (důkaz). Konečně dimenzionální nerozložitelné moduly mají lokální okruh endomorfismů. Krullova-Schmidtova věta o jednoznačném rozkladu na nerozložitelné moduly. [ASS], kap. I.4
8. 3. Volné a projektivní moduly, projektivní předpokrytí, prezentace a resolventy. Nadbytečné podmoduly a projektivní pokrytí. Jednoznačnost projektivních pokrytí a jejich existence pro konečně dimenzionální algebry. [ASS], kap. I.5
10. 3. Cvičení: Idempotenty, lokální algebry a projektivní pokrytí. list se cvičeními
15. 3. Dokončení důkazu existence projektivních pokrytí, dualita mezi levými a pravými moduly, injektivní obaly. [ASS], kap. I.5
17. 3. Základní algebry a jejich charakterizace, asociovaná základní algebra k obecné konečně dimenzionální algebře. Ekvivalence kategorií modulů konečně dimenzionální algery a k ní asociované základní algebry. Toulce a algebry cest, příklady. [ASS], kap. I.6 a II.1
22. 3. Okruhově teoretické pojmy konkrétně pro algebry cest (úplná množina primitivních ortogonálních idempotentů, šipkový ideál, radikál, souvislost algeber cest). Kategorie reprezentací toulce. [ASS], kap. II.1 a III.1
24. 3. Cvičení: Reprezentace toulců a jejich vlastnosti. list se cvičeními
29. 3. Relace v toulcích, faktory algeber cest, reprezentace vázané relacemi. Ekvivalence mezi kategoriemi modulů a reprezentací. [ASS], kap. II.2 a III.1
31. 3. Přípustné ideály a faktory podle nich, radikál, souvislost a rozkladové třídy triviálních cest jakožto úplná množina primitivních ortogonálních idempotentů. Sokl a radikál v řeči reprezentací. [ASS], kap. II.2 a III.2
5. 4. Nerozložitelné projektivní a injektivní reprezentace, příklady. [ASS], kap. III.2
7. 4. Cvičení: Jednoduché, projektivní a injektivní reprezentace, endomorfismy reprezentací, vlastnosti algeber cest modulo přípustný ideál. list se cvičeními
12. 4. Toulec QA základní konečně dimenzionální algebry A nad algebraicky uzavřeným tělesem K. Každá taková algebra A je isomorfní KQA/I pro nějaký přípustný ideál I. Příklady. [ASS], kap. II.3
14. 4. Dědičné algebry a jejich struktura (podle [ASS, kap. VII.1] a [ARS, Lemma III.1.11]): základní dědičná konečně dimenzionální algebra A nad algebraicky uzavřeným tělesem má acyklický toulec a platí A ≅ KQA. Dimenzní vektory a Grothendieckova grupa. [ASS], kap. III.3 a VII.1,
[ARS], kap. III.1
19. 4. Cartanova matice algebry cest a její vlastnosti. Eulerova charakteristika a její homologická interpretace. [ASS], kap. III.3
21. 4. Cvičení: Jednoduché, projektivní a injektivní reprezentace, endomorfismy reprezentací, Gabrielova věta a dědičné algebry. list se cvičeními
26. 4. Eulerova charakteristika (nebo též Eulerova forma) pro dědičné algebry. Coxeterova transformace. Změny orientace šipek v toulci a přípustná uspořádání vrcholů. [ASS], kap. III.3,
[Kra], kap. 3.1, 3.2
28. 4. Reflexe příslušné vrcholům toulce a konstrukce reflexních funktorů. Vlastnosti reflexních funktorů a jejich působení na nerozložitelných modulech. Coxeterovy funktory. [Kra], kap. 3.2-3.4
3. 5. Vlastnosti Coxeterových funktorů, vztah ke Coxeterově transformaci. [Kra], kap. 3.4 a 4.4
5. 5. Cvičení: Cartanovy matice, reflexní funktory. list se cvičeními
10. 5. Preprojektivní a preinjektivní moduly. Dynkinovy a eukleidovské diagramy a pozitivní (semi)definitnost asociovaných kvadratických forem. [Kra], kap. 3.5-4.2
12. 5. Kořeny a jejich vlastnosti pro Dynkinovy a eukleidovské diagramy. Další fakta o Coxeterově transformaci. Klasifikace nerozložitelných konečně dimenzionálních reprezentací toulců, jejichž nosný graf je Dynkinův diagram, pomocí kladných kořenů. [Kra], kap. 4.3-5.1
19. 5. Cvičení: Reprezentace toulců, jejichž nosný graf není Dynkinův (nekonečný reprezentační typ). list se cvičeními

Literatura

Přednášená látka je převážně pokryta v následujících zdrojích:

[ASS] I. Assem, D. Simson, A. Skowroński, Elements of the representation theory of associative algebras, Vol. 1, Cambridge University Press, 2006.
[Kra] H. Krause, Representations of quivers via reflection functors, arXiv:0804.1428. [Full text in PDF]

Kurz sestává z prvních třech kapitol [ASS] a sekcí 3 až 5 v článku [Kra].

V poslední době se objevila řada dalších monografií, které se zabývají teorií reprezentací konečně dimenzionálních algeber z různých pohledů. Zde jsou některé klasičtější zdroje, která jsou sice z pohledu přednášky pouze doplňkové, ale stojí zato je zmínit:

[ARS] M. Auslander, I. Reiten, S. Smalø, Representation theory of Artin algebras, Cambridge University Press, 1997.
[Ben] D. J. Benson, Representations and cohomology I, Basic representation theory of finite groups and associative algebras, Second edition, Cambridge University Press, Cambridge, 1998.

Základní fakta o modulech nad obecnými okruhy jsou též k nalezení v monografii

[AF] F. W. Anderson, K. R. Fuller, Rings and categories of modules, 2nd edition, Springer-Verlag, New York, 1992.