Varování: Tato stránka se týká kurzu v letním semestru 2021/22. Informace k aktuálnímu kurzu jsou k nalezení na domácí stránce.
Základní informace
Cílem přednášky je podat úvod do teorie reprezentací konečně dimenzionálních algeber nad tělesem. To na jedné straně umožní získat vhled do některých náročnějších problémů z lineární algebry, ale na druhé straně naopak i umožní použít základní lineární algebru k pochopení konkrétních příkladů abstraktních pojmů z teorie modulů. Základní informace o kurzu jsou k nalezení též v SISu.
Rozvrh (také k nalezení v SISu):
- úterý 14:00-15:30 hod. v seminární místnosti KA,
- čtvrtek 9:00-10:30 hod. v učebně K7.
Jednou za dva týdny se ve čtvrtek bude konat cvičení (cvičící J. Kopřiva).
Zkouška
Zkouška bude ústní a domlouvá se individuálně s přednášejícím. Bude se zkoušet látka pokrytá prvními třemi kapitolami učebnice [ASS] a sekcemi 3 až 5 v článku [Kra].
Zápočet
Zápočet bude udělován za odevzdané vyřešené úkoly. Půjde o tři sady problémů, které budou spolu s termíny vypisovány zde a jejichž řešení se budou odevzdávat nebo zasílat e-mailem J. Šťovíčkovi. K zápočtu bude požadováno alespoň 50 % bodů z vyřešených problémů.
1. sada domácích úkolů (termín: 19. 4.)
Vyřešte následující cvičení z [ASS], kap. II.4 (str. 65-68):
- cvičení 7,
- cvičení 11 (předpokládejte, že těleso je algebraicky uzavřené),
- cvičení 15,
- cvičení 17, část (b).
2. sada domácích úkolů (termín: 12. 5.)
Vyřešte následující cvičení z [ASS], kap. III.4 (str. 93-96):
- cvičení 4, části (a), (b), (g), (h),
- cvičení 5,
- cvičení 12 pro algebry z částí (a), (b), (g), (h) ve cvičení 4.
3. sada domácích úkolů (termín: ke zkoušce)
- Najděte nějaký kořen Dynkinova diagramu E6, který má v nějaké komponentě číslo 3.
- Zvolte si nějakou orientaci diagramu Dynkinova diagramu E6 a popište pokud možno konkrétně nerozložitelnou reprezentaci odpovídající zvolenému kořenu.
Program kurzu
Zde bude průběžně doplňován stručný záznam o tom, co bylo probráno.
Datum | Probráno | Zdroje |
---|---|---|
17. 2. | Algebry nad tělesem, Jacobsonův radikál, příklady. | [ASS], kap. I.1 |
18. 2. (náhrada) |
Moduly nad algebrou, Nakayamovo lemma, nilpotence radikálu konečně dimenzionální algebry. Homomorfismy modulů a jejich jádra, kojádra a obrazy. Direktní sumy a nerozložitelné moduly. Schurovo lemma, Wedderburn-Artinova věta, Maschkeho věta. | [ASS], kap. I.2 a I.3 |
22. 2. | Radikál a top modulu a jejich vlastnosti. Idempotenty a souvislost s rozklady okruhu na direktní sumu pravých ideálů. | [ASS], kap. I.3 a I.4 |
24. 2. | Cvičení: Ekvivalence kategorií, jednoduché a totálně rozložitelné moduly, Wedderburnova-Artinova věta. | list se cvičeními |
1. 3. | Centrální idempotenty a součiny okruhů. Zvedání idempotentů modulo nilpotentní ideál. Nerozložitelné sumandy regulárního modulu mají jednoduchý top. Lokální okruhy, formulace ekvivaletních podmínek a příklady. | [ASS], kap. I.4 |
3. 3. | Characterizace lokálních okruhů (důkaz). Konečně dimenzionální nerozložitelné moduly mají lokální okruh endomorfismů. Krullova-Schmidtova věta o jednoznačném rozkladu na nerozložitelné moduly. | [ASS], kap. I.4 |
8. 3. | Volné a projektivní moduly, projektivní předpokrytí, prezentace a resolventy. Nadbytečné podmoduly a projektivní pokrytí. Jednoznačnost projektivních pokrytí a jejich existence pro konečně dimenzionální algebry. | [ASS], kap. I.5 |
10. 3. | Cvičení: Idempotenty, lokální algebry a projektivní pokrytí. | list se cvičeními |
15. 3. | Dokončení důkazu existence projektivních pokrytí, dualita mezi levými a pravými moduly, injektivní obaly. | [ASS], kap. I.5 |
17. 3. | Základní algebry a jejich charakterizace, asociovaná základní algebra k obecné konečně dimenzionální algebře. Ekvivalence kategorií modulů konečně dimenzionální algery a k ní asociované základní algebry. Toulce a algebry cest, příklady. | [ASS], kap. I.6 a II.1 |
22. 3. | Okruhově teoretické pojmy konkrétně pro algebry cest (úplná množina primitivních ortogonálních idempotentů, šipkový ideál, radikál, souvislost algeber cest). Kategorie reprezentací toulce. | [ASS], kap. II.1 a III.1 |
24. 3. | Cvičení: Reprezentace toulců a jejich vlastnosti. | list se cvičeními |
29. 3. | Relace v toulcích, faktory algeber cest, reprezentace vázané relacemi. Ekvivalence mezi kategoriemi modulů a reprezentací. | [ASS], kap. II.2 a III.1 |
31. 3. | Přípustné ideály a faktory podle nich, radikál, souvislost a rozkladové třídy triviálních cest jakožto úplná množina primitivních ortogonálních idempotentů. Sokl a radikál v řeči reprezentací. | [ASS], kap. II.2 a III.2 |
5. 4. | Nerozložitelné projektivní a injektivní reprezentace, příklady. | [ASS], kap. III.2 |
7. 4. | Cvičení: Jednoduché, projektivní a injektivní reprezentace, endomorfismy reprezentací, vlastnosti algeber cest modulo přípustný ideál. | list se cvičeními |
12. 4. | Toulec QA základní konečně dimenzionální algebry A nad algebraicky uzavřeným tělesem K. Každá taková algebra A je isomorfní KQA/I pro nějaký přípustný ideál I. Příklady. |
[ASS], kap. II.3 |
14. 4. | Dědičné algebry a jejich struktura (podle [ASS, kap. VII.1] a [ARS, Lemma III.1.11]): základní dědičná konečně dimenzionální algebra A nad algebraicky uzavřeným tělesem má acyklický toulec a platí A ≅ KQA. Dimenzní vektory a Grothendieckova grupa. |
[ASS], kap. III.3 a VII.1, [ARS], kap. III.1 |
19. 4. | Cartanova matice algebry cest a její vlastnosti. Eulerova charakteristika a její homologická interpretace. | [ASS], kap. III.3 |
21. 4. | Cvičení: Jednoduché, projektivní a injektivní reprezentace, endomorfismy reprezentací, Gabrielova věta a dědičné algebry. | list se cvičeními |
26. 4. | Eulerova charakteristika (nebo též Eulerova forma) pro dědičné algebry. Coxeterova transformace. Změny orientace šipek v toulci a přípustná uspořádání vrcholů. |
[ASS], kap. III.3, [Kra], kap. 3.1, 3.2 |
28. 4. | Reflexe příslušné vrcholům toulce a konstrukce reflexních funktorů. Vlastnosti reflexních funktorů a jejich působení na nerozložitelných modulech. Coxeterovy funktory. | [Kra], kap. 3.2-3.4 |
3. 5. | Vlastnosti Coxeterových funktorů, vztah ke Coxeterově transformaci. |
[Kra], kap. 3.4 a 4.4 |
5. 5. | Cvičení: Cartanovy matice, reflexní funktory. | list se cvičeními |
10. 5. | Preprojektivní a preinjektivní moduly. Dynkinovy a eukleidovské diagramy a pozitivní (semi)definitnost asociovaných kvadratických forem. | [Kra], kap. 3.5-4.2 |
12. 5. | Kořeny a jejich vlastnosti pro Dynkinovy a eukleidovské diagramy. Další fakta o Coxeterově transformaci. Klasifikace nerozložitelných konečně dimenzionálních reprezentací toulců, jejichž nosný graf je Dynkinův diagram, pomocí kladných kořenů. | [Kra], kap. 4.3-5.1 |
19. 5. | Cvičení: Reprezentace toulců, jejichž nosný graf není Dynkinův (nekonečný reprezentační typ). | list se cvičeními |
Literatura
Přednášená látka je převážně pokryta v následujících zdrojích:
[ASS] | I. Assem, D. Simson, A. Skowroński, Elements of the representation theory of associative algebras, Vol. 1, Cambridge University Press, 2006. |
[Kra] | H. Krause, Representations of quivers via reflection functors, arXiv:0804.1428. [Full text in PDF] |
Kurz sestává z prvních třech kapitol [ASS] a sekcí 3 až 5 v článku [Kra].
V poslední době se objevila řada dalších monografií, které se zabývají teorií reprezentací konečně dimenzionálních algeber z různých pohledů. Zde jsou některé klasičtější zdroje, která jsou sice z pohledu přednášky pouze doplňkové, ale stojí zato je zmínit:
[ARS] | M. Auslander, I. Reiten, S. Smalø, Representation theory of Artin algebras, Cambridge University Press, 1997. |
[Ben] | D. J. Benson, Representations and cohomology I, Basic representation theory of finite groups and associative algebras, Second edition, Cambridge University Press, Cambridge, 1998. |
Základní fakta o modulech nad obecnými okruhy jsou též k nalezení v monografii
[AF] | F. W. Anderson, K. R. Fuller, Rings and categories of modules, 2nd edition, Springer-Verlag, New York, 1992. |
Odkazy
- Domovská stránka kurzu v akademickém roce 2020/21.
- Domovská stránka kurzu v akademickém roce 2019/20.
- Domovská stránka kurzu v akademickém roce 2018/19.
- S konečně dimenzionálními algebrami a jejich konečně dimenzionálními reprezentacemi se dá počítat na počítači. Když zadáte do počítače reprezentaci, můžete nechat automaticky spočítat např. její projektivní pokrytí nebo bázi prostoru homomorfismů do jiné konečně dimenzionální reprezentace. Takovéto výpočty jsou implementovány v balíku QPA k volně přístupnému softwaru GAP. Aktuální informace jsou k nalezení na stránkách Øyvinda Solberga, který balík QPA spravuje.