Požadavky byly upřeněny v březnu 2019; předchozí verze požadavků je k nahlédnutí zde.

Obecné informace k ústní části SZZ

Největší důraz u ústní zkoušky je kladen na znalosti důležitých definic, tvrzení (s předpoklady) a principů a jejich zasazení do souvislostí, na nadhled a všeobecnou orientaci v oboru. Dlouhé technické důkazy se nezkoušejí podrobně, ale očekává se schopnost stručně popsat způsob odvození důležitých výsledků.

Velmi důležitá je znalost základních pojmů, včetně těch, které byly probrány v předmětech bakalářského studia (viz vstupní podmínky oboru).

1. Základy pravděpodobnosti, statistiky a náhodných procesů

(Společný tématický okruh)

Předměty potřebné k pokrytí požadované látky

NMSA334 Náhodné procesy 1 (vstupní požadavky)
NMSA336 Úvod do optimalizace (vstupní požadavky)
NMSA403 Teorie optimalizace
NMSA405 Teorie pravděpodobnosti 2
NMSA407 Lineární regrese
NMSA409 Náhodné procesy 2

Vysvětlení požadavků:

Markovovy řetězce s diskrétními stavy: Počáteční rozdělení, pravděpodobnosti přechodu, absolutní pravděpodobnosti. Klasifikace stavů. Stacionární rozdělení. Rozklad množiny stavů, výpočet pravděpodobností absorpce.

Markovovy procesy s diskrétními stavy a jejich aplikace: Intenzity přechodu. Kolmogorovovy diferenciální rovnice. Stacionární a limitní rozdělení. Poissonův proces. Lineární proces růstu, procesy množení a zániku.

Optimalizace: Konvexní analýza, konvexní kužele, věty o oddělitelnosti. Farkasova věta, konvexní funkce více proměnných. Teorie nelineárního programování. Lokální a globální podmínky optimality, podmínky regularity. Lineární a konvexní programování jako speciální případ nelineárního programování s aplikacemi (dopravní problém, úloha kvadratického programování).

Martingaly s diskrétním časem: Podmíněná střední hodnota a její vlastnosti, podmíněné rozdělení, výpočet podmíněné střední hodnoty. Definice martingalu a submartingalu, markovské časy, vlastnosti a příklady. Optional sampling a stopping theorem, Waldovy rovnosti.

Základy lineární regrese: Definice a předpoklady lineárního modelu o plné hodnosti. Metoda nejmenších čtverců, Gaussova-Markovova věta. Vlastnosti LS odhadů a jejich asymptotické chování. Testování podmodelů. Modely analýzy rozptylu jednoduchého a dvojného třídění. Interpretace lineárního modelu.

Stacionární posloupnosti a procesy: Striktní a slabá stacionarita. Spektrální rozklad autokovarianční funkce, spektrální hustota, vzájemný vztah. Spektrální rozklad stacionární posloupnosti. Posloupnosti MA, AR, ARMA a lineární proces. Predikce v konečných a nekonečných stacionárních posloupnostech.

2. Zaměření

Výběr tématického okruhu z variant 2A, 2B, 2C

2A. Ekonometrické a optimalizační metody

Předměty potřebné k pokrytí požadované látky

NMSA403 Teorie optimalizace
NMSA409 Náhodné procesy 2
NMEK432 Ekonometrie
NMST537 Časové řady

Vysvětlení požadavků:

Ekonometrie: Ekonometrická zobecnění lineární regrese (heteroskedasticita, autokorelovaná rezidua, dynamické modely, modely rozložených časových zpoždění, multikolinearita). Speciální regresní problémy v ekonometrii (nelineární regrese, metody odhadu v regresním modelu, modely s apriorními omezeními). Diskrétní a omezené vysvětlované proměnné (probit, lobit, gombit, tobit). Vícerovnicové ekonometrické soustavy (obecná formulace, SUR soustava). Soustava simultánních rovnic a metody jejího odhadu (ILS včetně identifikace soustavy, 2SLS, 3SLS). Vektorová autoregrese VAR (testování příčinnosti).

Pokročilá optimalizace: Teorie nelineárního programování, lokální a globální podmínky optimality, podmínky optimality prvého a druhého řádu, podmínky regularity, symetrická úloha nelineárního programování. Základy nehladké optimalizace, subgradient a subdiferenciál.

Stacionární posloupnosti a časové řady: Dekompoziční metody (včetně predikce). Trend (matematické křivky, metoda klouzavých průměrů, exponenciální vyrovnávání). Sezónnost (Holtova-Wintersova metoda, testování periodicity). Testy náhodnosti. Boxova-Jenkinsova metodologie pro modely ARMA (stacionarita, Yuleovy-Walkerovy rovnice, výpočet autokorelační funkce, identifikace modelu, odhad, verifikace, predikce). Modely ARIMA a SARIMA. Kalmanův filtr. Finanční časové řady (EWMA, ARCH, GARCH).

2B. Pokročilá statistická analýza

Předměty potřebné k pokrytí požadované látky

NMSA407 Lineární regrese
NMST432 Pokročilé regresní modely
NMST434 Moderní statistické metody

Vysvětlení požadavků:

Regresní modely pro nenormální a korelovaná data: Zobecněný lineární model, odhadování parametrů, testování submodelů. Logistická a loglineání regrese: Interpretace parametrů, skórová statistika, věrohodnostní rovnice, deviance. Regresní modely pro kontingenční tabulky. Loglineární modely pro analýzu intenzity událostí. Kvazivěrohodnost, nadměrná disperse, sandwichový odhad rozptylu, zobecněné odhadovací rovnice (GEE): základní myšlenky. Lineární smíšený model: definice, předpoklady, interpretace, příklady modelů s náhodným absolutním členem a náhodnou směrnicí. Odhady parametrů lineárního smíšeného modelu metodou maximální věrohodnosti a metodou REML: základní myšlenka. Testování hypotéz a intervaly spolehlivosti pro parametry lineárního smíšeného modelu.

Moderní statistické metody: M- a Z- odhady; definice, heuristické odvození asymptotické normality. Souvislost s maximálně věrohodnými odhady. Princip bootstrapu: použití na intervaly spolehlivosti a testování hypotéz. Jádrové odhady hustoty: definice, volba vyhlazovacího parametru.

2C. Náhodné procesy

Předměty potřebné k pokrytí požadované látky

NMSA405 Teorie pravděpodobnosti 2
NMTP432 Stochastická analýza
NMTP434 Principy invariance

Vysvětlení požadavků:

Spojité procesy: Existence spojitého procesu se zadanými marginálními rozděleními; Daniellova-Kolmogorovova a Kolmogorovova-Čencovova věta. Martingaly a submartingaly se spojitým časem, filtrace a adaptovanost. Maximální nerovnosti pro martingaly a submartingaly se spojitým časem. Markovský čas s hodnotami v R⁺. Čas vstupu do množiny jako markovský čas, σ-algebra událostí do markovského času, proces zastavený v markovském čase. Věty o markovském zastavení a markovském vzorkování (stopping, sampling)

Wienerův proces: Mnohorozměrné normální rozdělení. Existence gaussovského procesu s danou střední hodnotou a kovarianční strukturou. Definice a existence Wienerova procesu a Brownova mostu. Základní vlastnosti trajektorií Wienerova procesu. Wienerův proces coby martingal, martingaly a submartingaly odvozené z Wienerova procesu: W², exp(W). Silná markovská vlastnost a rozdělení maxima Wienerova procesu, rozdělení první doby vstupu do uzavřené množiny. Kvadratická variace Wienerova procesu, Doobův-Meyerův rozklad pro Wienerův proces.

Principy invariance: Metrický prostor a jeho topologie. Slabá konvergence pravděpodobnostních měr na metrických prostorech. Polské prostory a Prochorovova věta. Portmanteau věta. Přenos slabé konvergence transformací. Prostor reálných spojitých funkcí C([0,1]), jeho topologie, charakterizace kompaktů. Slabá konvergence pravděpodobnostních měr na C([0,1]). Donskerova věta v C([0,1]).

3. Užší specializace

Výběr tématického okruhu z variant 3A, 3B, 3C, 3D, 3E, 3F, 3G

3A. Ekonometrické modely

Předměty potřebné k pokrytí požadované látky

NMEK432 Ekonometrie
NMST434 Moderní statistické metody
NMST432 Pokročilé regresní modely
NMEK531 Matematická ekonomie
NMST537 Časové řady

Vysvětlení požadavků:

Ekonometrie: Pokročilé ekonometrické modely a techniky (stabilita, linearita). M- a Z- odhady (definice, souvislost s maximálně věrohodnými odhady, použití v lineární regresi). Jádrové odhady hustoty (myšlenka, definice, volba vyhlazovacího parametru). Princip bootstrapu, použití na intervaly spolehlivosti, testování hypotéz a odhad rozptylu. Základy zobecněných lineárních modelů (definice, odhady parametrů, testování submodelů, logistická a loglinearni regrese, aplikace na kontingenční tabulky).

Matematická ekonomie: Axiomatická teorie užitku, užitkové funkce a jejich využití při rozhodování v riziku, stochastická dominance. Teorie chování spotřebitele a teorie firmy, poptávkové funkce, produkční funkce. Leontievův model a jeho vlastnosti. Základy teorie her (kooperativní a nekooperativní hry).

Časové řady s aplikací ve financích: Nestacionární modely časových řad (SARIMA). Finanční časové řady. Modely volatility (ARCH, GARCH). Vícerozměrné časové řady (vektorová autoregrese, Kalmanův filtr).

3B. Optimalizační modely

Předměty potřebné k pokrytí požadované látky

NMFM431 Analýza investic
NMEK531 Matematická ekonomie
NMEK436 Výpočetní aspekty optimalizace
NMEK532 Optimalizace s aplikací ve financích
NMST537 Časové řady

Vysvětlení požadavků:

Aplikace optimalizačních úloh v ekonomii a financích: Analýza cenných papírů (akcie, dluhopisy, opce). Úlohy optimalizace portfolia, měření rizika portfolia, Markowitzův model a jeho zobecnění, teorie koherentních měr rizika, užitkové funkce, imunizace portfolia obligací , víceperiodická zobecnění úloh optimalizace portfolia.

Matematická ekonomie: Axiomatická teorie užitku, užitkové funkce a jejich využití při rozhodování v riziku, stochastická dominance. Teorie chování spotřebitele a teorie firmy, poptávkové funkce, produkční funkce. Leontievův model a jeho vlastnosti. Základy teorie her (kooperativní a nekooperativní hry). Maticové hry.

Obecné optimalizační úlohy: Struktura a zápis optimalizačních úloh, Lagrangeova dualita, parametrické programování, vícekriteriální a cílové programování, stabilita optimalizačních úloh. Stochastické programování, pravděpodobnostní omezení, dvoustupňové úlohy stochastického programování.

3C. Prostorové modelování

Předměty potřebné k pokrytí požadované látky

NMTP432 Stochastická analýza
NMTP438 Prostorové modelování
NMTP537 Limitní věty pro součty náhodných veličin
NMTP541 Stochastická geometrie
NMTP543 Prostorová statistika

Vysvětlení požadavků:

Prostorové modelování: Náhodné pole na mříži, markovské náhodné pole, Hammersleyho-Cliffordova věta, příklady. Náhodná míra, její momentové míry, Campbellova míra, Palmovo rozdělení náhodné míry. Bodový proces, jeho rozdělení, binomický bodový proces, Poissonův prostorový bodový proces, stacionární bodové procesy, Coxovy procesy, charakteristiky a příklady, shlukové procesy, vztah ke Coxovým procesům, procesy s pevným jádrem. Konečné bodové procesy s hustotou, Papangelouva podmíněná intenzita, Georgiiho-Nguyenova-Zessinova identita, markovské bodové procesy. Kótované bodové procesy, náhodné uzavřené množiny, kapacitní funkcionál, Booleův model.

Prostorová statistika: Charakteristiky prvního a druhého řádu bodových procesů a jejich odhady. Odhady parametrů bodových procesů (metoda minimálního kontrastu, maximální věrohodnost, složená věrohodnost, pseudověrohodnost, odhadovací rovnice). Geostatistika, neparametrické a parametrické odhady variogramu.

Limitní věty: Charakterizace normálního rozdělení, Pólyova věta. Nekonečně dělitelná rozdělení, kanonické reprezentace charakteristické funkce (Lévyova, Lévyova-Chinčinova). Součty posloupnosti nezávislých stejně rozdělených náhodných veličin, centrální limitní věta, nutné a postačující podmínky pro konvergenci v distribuci k normálnímu rozdělení, konvergence v distribuci k nekonečně dělitelným rozdělením. Součty v trojúhelníkovém schématu nezávislých veličin, podmínky pro konvergenci v distribuci k zadanému nekonečně dělitelnému rozdělení.

Základy stochastické analýzy: Spojité martingaly a kvadratická variace, Doobův-Meyerův rozklad pro omezené spojité martingaly, rostoucí procesy a procesy s konečnou variací. L₂ martingaly, ortogonalita přírůstků, kovariace, úplnost prostoru spojitých L₂ martingalů ve vhodné metrice. Adaptovanost a měřitelnost procesu, progresivní měřitelnost procesu. Itôova isometrie pro L₂ procesy, konstrukce Itôova integrálu pro L₂ procesy. Základní vlastnosti Itôova integrálu. Jednoduchý Itôův vzorec, použití na integrál typu ∫ W^p dW. Geometrický Brownův pohyb jako řešení lineární stochastické diferenciální rovnice a důkaz pomocí Itôovy věty, Ornsteinův-Uhlenbeckův proces jako řešení stochastické diferenciální rovnice.

3D. Stochastická analýza

Předměty potřebné k pokrytí požadované látky

NMTP432 Stochastická analýza
NMTP438 Prostorové modelování
NMTP533 Aplikovaná stochastická analýza
NMTP537 Limitní věty pro součty náhodných veličin
NMTP543 Stochastické diferenciální rovnice

Vysvětlení požadavků:

Poissonovy procesy, stacionární prostorové bodové procesy: Poissonův prostorový bodový proces, definice, jeho rozdělení a základní charakteristiky, vztah k binomickému bodovému procesu. Stacionární prostorové bodové procesy, Coxovy procesy, charakteristiky a příklady, shlukové procesy, vztah ke Coxovým procesům. Procesy s pevným jádrem.

Limitní věty: Charakterizace normálního rozdělení, Pólyova věta. Nekonečně dělitelná rozdělení, kanonické reprezentace charakteristické funkce (Lévyova, Lévyova-Chinčinova). Součty posloupnosti nezávislých stejně rozdělených náhodných veličin, centrální limitní věta, nutné a postačující podmínky pro konvergenci v distribuci k normálnímu rozdělení, konvergence v distribuci k nekonečně dělitelným rozdělením. Součty v trojúhelníkovém schématu nezávislých veličin, podmínky pro konvergenci v distribuci k zadanému nekonečně dělitelnému rozdělení.

Stochastická analýza a stochastický integrál: Spojité martingaly a kvadratická variace, procesy s konečnou variací. L₂ martingaly, ortogonalita přírůstků, kovariace, úplnost prostoru spojitých L₂ martingalů ve vhodné metrice. Adaptovanost a měřitelnost procesu, progresivní měřitelnost procesu. Itôova isometrie pro L₂ procesy, konstrukce Itôova integrálu pro L₂ procesy. Základní vlastnosti Itôova integrálu. Jednoduchý Itôův vzorec, použití na integrál typu ∫ W^p dW. Itôův vzorec pro časově závislou funkcí.

Stochastické diferenciální rovnice: Lineární a bilineární rovnice, geometrický Brownův pohyb jako řešení lineární stochastické diferenciální rovnice a důkaz pomocí Itôovy věty, limitní chování. Ornsteinův-Uhlenbeckův proces OUjako řešení stochastické diferenciální rovnice, gaussovské řešení, vztahy pro kovarianci a střední hodnotu. Brownův můstek. Nelineární rovnice, pojem silného řešení, věta o existenci a jednoznačnosti řešení rovnic s lipschitzovskými koeficienty. Girsanovova věta a Novikovova podmínka.

3E. Statistika pro průmysl, obchod a hospodářství

Předměty potřebné k pokrytí požadované látky

NMST436 Návrhy experimentů
NMST438 Výběrová šetření
NMST531 Analýza cenzorovaných dat
NMST541 Statistická kontrola jakosti

Vysvětlení požadavků:

Návrhy průmyslových experimentů: Faktoriální experimenty, jednoduché, dvojné a trojné třídění, interakce, kontrasty, odhady hlavních efektů a interakcí, slučování a krácení. Experimenty uspořádané do bloků a čtverců, náhodné bloky, latinské a řecko-latinské čtverce. Navrhování regresních experimentů, lineární model, informační matice návrhu experimentu. Kritéria optimality experimentu a jejich interpretace.

Výběrová šetření: Obecná teorie výběrů s nestejnými pravděpodobnostmi, pravděpodobnost vytažení, pravděpodobnost zahrnutí, Horvitzův-Thompsonův odhad. Prostý náhodný výběr, odhad průměru a rozptylu průměru, porovnání s náhodným výběrem (tj. nezávislé stejně rozdělené veličiny). Systematický výběr, stratifikovaný výběr, dvoustupňový výběr.

Teorie spolehlivosti: Funkce přežití, riziková funkce, intenzita poruch. Censorování typu I a II, náhodné censorování, nezávislé censorování. Zbytková doba života. Věrohodnostní funkce pro censorovaná data. Odhady parametrů censorovaného exponenciálního rozdělení. Kaplan-Meierův odhad funkce přežití, Nelson-Aalenův odhad kumulativního rizika. Logrankový test: odvození testové statistiky a vztah k pořadovým testům, limitní rozdělení testové statistiky za nulové hypotézy. Coxův model: definice, interpretace parametrů, testování hypotéz o parametrech.

Statistická kontrola jakosti: Statistická přejímka srovnáváním a měřením, rektifikační přejímací postupy. On-line statistická regulace technologických procesů (Shewhartovy diagramy, postupy založené na kumulativních součtech), regulace procesů pomocí klouzavých průměrů (MA) a klouzavých průměrů s exponenciálním zapomínáním (EWMA), mnohorozměrné regulační diagramy. Off-line statistická kontrola technologických procesů, odhalování změn v kvalitě výroby,

3F. Statistika v přírodních vědách

Předměty potřebné k pokrytí požadované látky

NMST431 Bayesovské metody
NMST531 Analýza cenzorovaných dat
NMST532 Plánování a analýza lékařských studií
NMST539 Mnohorozměrná analýza

Vysvětlení požadavků:

Bayesovské metody: Bayesovské metody: Bayesova věta, apriorní a aposteriorní rozdělení. Metody volby apriorních rozdělení: konjugované systémy, Jeffreysovo apriorní rozdělení, neinformativní a slabě informativní apriorní rozdělení. Bayesovský bodový odhad: aposteriorní střední hodnota, resp. medián včetně zdůvodnění (viz ztrátová, rozhodovací a riziková funkce). Věrohodnostní množina. Hierarchická apriorní rozdělení a modely. Principy bayesovského doplňování dat (data augmentation).

Analýza přežití: Funkce přežití, riziková funkce, náhodné censorování, nezávislé censorování. Kaplan-Meierův odhad funkce přežití, Nelson-Aalenův odhad kumulativního rizika: definice, asymptotické vlastnosti. Vážené logrankové testy, zavedení testových statistik, asymptotické vlastnosti za nulové hypotézy. Coxův model: definice, interpretace parametrů, parciální věrohodnost, skórová statistika, informační matice. Asymptotické vlastnosti odhadů v Coxově modelu, testy a intervaly spolehlivosti.

Plánování a analýza lékařských studií: Empirické odhady incidence, relativní riziko, poměr šancí. Studie případů a kontrol (case-control): klasické metody analýzy, stratifikace, Mantelův-Haenszelův test, logistická regrese. Párovaná studie případů a kontrol (pair-matched case-control study): klasické metody analýzy, podmíněná logistická regrese. Analýza kohortové studie loglineárními modely a Coxovým modelem. Sensitivita a specificita diagnostického testu, ROC křivky.

Mnohorozměrné statistické metody: Mnohorozměrné normální rozdělení a jeho základní vlastnosti. Datové matice z mnohorozměrného normálního rozdělení, Wishartovo a Hotellingovo rozdělení, testování hypotéz o mnohorozměrném normálním rozdělení (Hotellingův test). Analýza hlavních komponent, definice, vlastnosti, interpretace, odhady hlavních komponent. Faktorová analýza, definice, vlastnosti, odhady parametrů, souvislost s analýzou hlavních komponent. Diskriminační analýza, diskriminační pravidlo, metoda maximální věrohodnosti při diskriminaci, Bayesovská diskriminace, pravděpodobnost chybné klasifikace.

3G. Teoretická statistika

Předměty potřebné k pokrytí požadované látky

NMST531 Analýza cenzorovaných dat
NMST539 Mnohorozměrná analýza
NMTP434 Principy invariance
NMTP537 Limitní věty pro součty náhodných veličin

Vysvětlení požadavků:

Analýza censorovaných dat: Funkce přežití, riziková funkce. Náhodné censorování, nezávislé censorování. Aplikace martingalové teorie čítacích procesů v analýze censorovaných dat, použití Doobovy-Meyerovy dekomposice, použití martingalových integrálů a Rebolledovy centrální limitní věty. Kaplan-Meierův odhad funkce přežití: definice, asymptotické vlastnosti. Nelson-Aalenův odhad kumulativního rizika: definice, asymptotické vlastnosti. Vážené logrankové testy, zavedení testových statistik, asymptotické vlastnosti za nulové hypotézy. Coxův model, definice modelu, interpretace parametrů, parciální věrohodnost, odhady regresních parametrů. Asymptotická normalita odhadů a postačující podmínky pro ni.

Mnohorozměrné statistické metody: Mnohorozměrné normální rozdělení a jeho základní vlastnosti. Datové matice z mnohorozměrného normálního rozdělení, Wishartovo a Hotellingovo rozdělení, testování hypotéz o mnohorozměrném normálním rozdělení (Hotellingův test). Analýza hlavních komponent, definice, vlastnosti, interpretace, odhady hlavních komponent. Faktorová analýza, definice, vlastnosti, odhady parametrů, souvislost s analýzou hlavních komponent. Diskriminační analýza, diskriminační pravidlo, metoda maximální věrohodnosti při diskriminaci, Bayesovská diskriminace, pravděpodobnost chybné klasifikace.

Principy invariance: Metrický prostor a jeho topologie. Slabá konvergence pravděpodobnostních měr na metrických prostorech. Polské prostory a Prochorovova věta. Portmanteau věta. Přenos slabé konvergence transformací. Prostor reálných spojitých funkcí C([0,1]) a jeho topologie. Slabá konvergence pravděpodobnostních měr na C([0,1]). Kriteria těsnosti v C([0,1]), Donskerova věta v C([0,1]).

Limitní věty: Nekonečně dělitelná rozdělení, charakterizační věta de Finettiho, kanonické reprezentace nekonečně dělitelných rozdělení, Lévyova, Lévyova-Chinčinova, Kolmogorovova. Konvergence k nekonečně dělitelným rozdělením, zobecnění posloupnosti nezávislých náhodných veličin: trojúhelníková schémata. Centrální limitní věta, nutné a postačující podmínky pro konvergenci k normálnímu rozdělení.