Výuka na dálku
Plno výsledků lze zkontrolovat i online:
https://www.wolframalpha.com/
https://www.symbolab.com/
Seznam témat:
1. týden (pondělí 1. 3.) - Posloupnosti funkcí
2. týden (pondělí 8. 3.) - Posloupnosti funkcí 2
3. týden (pondělí 15.3.) - Řady funkcí
4. týden (pondělí 22.3.) - Řady funkcí podruhé
5. týden (pondělí 29.3.) - Mocninné řady
7. týden (pondělí 12.4.) - Mocninné řady - součet
10. týden (pondělí 3.5.) - Fourierovy řady
10. týden (pondělí 3.5.) - Fourierovy řady
Vítejte u Fourierových řad. Dnešní cíl: vzít nějakou hezkou funkci a aproximovat ji za
pomoci sinů a kosinů.
Krok 0 - ingredience
Začneme s tzv. trigonometrickými polynomy:
a
0+
a
1cos x+
b
1sin x+
a
2cos (2x)+
b
2sin (2x)+
a
3cos (3x)+
b
3sin (3x)+...
a
ncos (nx)+
b
nsin (nx)
Samozřejmě, některé členy mohou být nulové, např. mohou chybět všechny kosiny.
Z polynomů se pak dá vytvořit řada (je to podobné Taylorovému polynomy a mocninné řadě):
a
0/2 + ∑
a
ncos (nx)+
b
nsin (nx)
A u řady si lze klást obvyklé otázky: Pro jaká x konverguje? Konverguje stejnoměrně? A k
jaké funkci?
A naopak, jestliže máme funkci, jak najít řadu, která k ní bude konvergovat? Co ta
funkce musí splňovat, aby to bylo možné?
Odpovědi nám dává přednáška (pro funkce s komplexními hodnotami), na cviku přepsáno do
řeči reálných čísel. Ve zkratce, pracujeme s funkcemi, které jsou 2π-periodické
(budou se dobře aproximovat siny a kosiny) a zároveň jsou L
1([-π,π])
(to aby se jim daly najít koeficienty a
n a b
n). Předpis pro
Fourierovy koeficienty najdete v Definici 1. Jak a k čemu Fourierovy řady konvergují
říká Věta 3 a 4.
9. cvičení
Skripta analýzy, zejm.
kapitoly 16.2 a 16.4.
Přednáška,
kapitola 16
Krok 1 - nakopírování funkce
Konkrétní úlohy pak vypadají jako příklady 1 ze cvičení:
9. cvičení
Máme zadanou funkci f(x) na intervalu [0,2π), [-π, π) (nebo obecně nějaký
interval délky 2π) a máme k ní vytvořit Fourierovu řadu a zjistit, k čemu ta řada
konverguje.
Protože ale Fourierovy řady umí pracovat jen s periodickými funkcemi, začneme
rozkopírováním funkce - ideálně ji zkusíme načrtnout. Koukněte na modré grafy pro
příklad 1c:
Geogebra 1c
Krok 2 - výpočet koeficientů
Nyní spočteme koeficienty dle Definice 1:
9. cvičení
Vlastně jde o úlohu: spočtěme určitý integrál, takže jen pár poznámek:
- Když nejprve spočteme zvlášť koeficient a0, tak vlastně ověříme, že
funkce je L1.
- Je-li funkce lichá nebo sudá, polovina koeficientů se vynuluje. Ilustrace v
geogebře.
- Je možné integrovat přes libovolný interval o délce 2π, jen je potřeba dávat
pozor, jak je tam definovaná funkce.
- Integrály se typicky počítají pomocí per partes - je potřeba umět zintegrovat
kombinace goniometrická funkce +
- konstanta, polynom;
- jiná goniometrická funkce - využíváme
fakta ze
cvičení a
a goniometrické vzorce
;
- exp; sinh, cosh (=varianta exp);
- jejich kombinace definované po částech, např. signum - vede na roztržení integrálů;
- Pracujeme s parametrem n, tedy pozor, abychom někde nedělili nulou.
Krok 3 - konvergence
Máme-li koeficienty a
n, b
n, sestavíme Fourierovu řadu.
a
0/2 + ∑
a
ncos (nx)+
b
nsin (nx)
Ta ovšem nemusí konvergovat k původní funkci f. Po prostudování Vět z přednášky nebo ze
skript lze říct, že za splnění nějakých podmínek bude Fourierova řada konvergovat k
průměru: (f(x+)+f(x-))/2.
Ilustrace jsou na obrázcích
FEL ČVUT
Ty podmínky: Jordan-Dirichletovo kritérium pracuje s funkce s konečnou variací na
[0,2π]. Připomeňme, že takové jsou např. funkce monotónní. Pak Fourierova řada
konverguje k popsanému průměru.
Pokud je funkce BV a navíc spojitá, Fourierova řada konverguje k původní funkci a to
lok. stejnoměrně.
Další věta říká, že je-li funkce C
1, konverguje Fourierova řada k původní
funkci f.
Poznámka: není-li původní funkce f spojitá, Fourierova řada k ní nemůže konvergovat
stejnoměrně. Sin a cos jsou totiž spojité a stejnoměrná konvergence spojitost zachovává,
což by bylo ve sporu.
Krok 4 - číselné řady
Když už víme, k čemu konverguje Fourierova řada, můžeme toho využít.
Nechť máme díky konvergenci vztah
g(x)=
a
0/2 + ∑
a
ncos (nx)+
b
nsin (nx)
Tento pak bude platit i pro konkrétní x_0.
Na tento krok pak míří např. úlohy 1a, 1d, 1e, 1f.
Závěr
Pěknou zábavu s příklady:
9. Fourierovy řady
9. řešení
Zdroje příkladů:
L. Janoušková - řešené i neřešené příklady na mocninné a Fourierovy řady
ODR pomocí mocninných a Fourierových řad -
řešené příklady
Fourierovy řady definované po částech - řešené příklady na rozvoj do řady
Fourierovy řady, Bakalářská práce T. Krisl - řešené příklady na rozvoj do řady
Řešené příklady - řešené příklady na rozvoj do řady
Videa:
Khanova
videa - anglicky
Onlineschool - Fourierova řada
s obecnou periodou
Onlineschool - Sinové a
kosinové řady s obecnou periodou
7. týden (pondělí 12.4.) - Mocninné řady - součet
Dnešní téma: jak sečíst danou mocninnou řadu
∑ a
n (x-x
0)
n.
Pro jednoduchost budeme pracovat s řadou
∑ a
n x
n.
Hlavní myšlenka je najít řadu, kterou umíme sečíst - typicky
∑ x
n nebo nějakou Taylorovu řadu, a na tu to převést pomocí integrace
nebo derivace.
Krom toho je potřeba najít interval konvergence, vyřešit jeho krajní body a pak doladit
detaily.
Hlavní ingredience
-
Z Taylora známe nějaké řady, víme, k čemu konvergují a pro jaká x. Speciálně známe
geometrickou řadu.
Taylorovy řady
-
Máme Věty o derivaci a integraci mocninných řad - lze je derivovat a integrovat člen po
členu, Věta 1 a 2:
6. Sčítání
mocninných řad
Budeme se držet algoritmu:
- Najdeme poloměr konvergence.
- Odhadneme, na jakou řadu budeme převádět (najdeme podobného Taylora, kterého umíme
sečíst).
- Rozhodneme, zda budeme spíš
- integrovat - členy typu nxn
- derivovat - členy typu xn/n
- Pokud je to nutné, řadu upravíme - např. ∑ xn/(n-1)
=x∑ xn-1/(n-1)
- Zderivujeme/zintegrujeme a sečteme.
- Zintegrujeme/zderivujeme zpátky. U integrálů nezapomeneme na konstanty.
- Zkontrolujeme krajní body - jestliže tam původní řada konverguje, aplikujeme
Abelovu větu.
Hlavní myšlenku, totiž derivování a integrování zpodobňují následující videa:
Isibalo:
součet s derivací
Isibalo: součet s integrací
Krok 1 - Poloměr konvergence
Použijeme techniky z minula a najdeme R. Dále pracujeme na
otevřeném intervalu (-R,R).
Krok 2 - Podobná řada
Najdeme řadu, která je té naší "podobná" a kterou umíme sečíst.
Např.
∑ x
n/(n-1)
nebo
∑ (n+1)x
n
jsou podobné ∑ x
n.
Řada
∑ n x
n/(n!)
je podobná
∑ x
n/(n!) atd.
Krok 3 - Úpravy, derivace / integrace, součet.
Položíme f(x)=∑ a
n x
n.
Nyní řešíme otázku: Kdybychom f(x) zderivovali nebo zintegrovali, nedostali bychom řadu
z předchozího kroku?
Jsou-li tam členy
typu nx
n, budeme spíš integrovat. Naopak členy
typu x
n/n budeme spíš derivovat.
Integrace
Máme-li f(x)=∑ a
n x
n, pak platí, že
pro F(x)= ∑ a
n x
n+1/(n+1) je
F'=f.
Konkrétně, pro řadu
f(x)= ∑ (n+1)x
n, n=0, 1,...
máme
F(x)= ∑ x
n+1, n=0, 1,...
Funkci F ale umíme sečíst, protože je to geometrická řada s posunutým indexováním. Máme
tedy
F(x)=x/(1-x).
A protože
F'=f, tak získáme
f=1/(1-x)
2
pro x∈ (-1,1).
Derivace
Máme-li f(x)=∑ a
n x
n, pak platí, že
f'(x)= ∑ a
n n x
n+1.
Konkrétně, pro řadu
f(x)= ∑ x
n/n, n=1, 2...
máme
f'(x)= ∑ x
n-1, n=1, 2,...
Funkci f' umíme sečíst (geometrická řada s posunutým indexováním). Máme
tedy
f(x)=1/(1-x).
Zintegrováním pak najdeme f - až na konstantu.
f=-ln|1-x|+K.
Pro dopočet konstanty dosoadíme nějaký bod, ve kterém umíme řadu sečíst (např. střed).
Tedy
f(0)=-ln|1-0|+K=K
a
0=f(0)= ∑ 0
n/n, n=1, 2...
Dohromady K=0.
Celkem tedy
f(x)=-ln|1-x| pro x∈ (-1,1).
Krok 4 - Součet v krajích
Zatím jsme sčítali (a derivovali a integrovali) na otevřeném poloměru konvergence.
Některé řady ale lze sečíst i v krajních bodech/jednom krajním bodě. K tomu budeme
potřebovat Abelovu Větu 3:
6. Sčítání
mocninných řad
Myšlenka: jestliže se součet řady dá vyjádřit jako funkce na vnitřku intervalu,
nefungovala by ta stejná funkce i v krajním bodě?
Dle Abelovy věty je to pravda za předpokladu, že daná řada v krajním bodě konverguje.
Tak tedy:
- ∑ (n+1)xn
v bodech 1 a -1 sčítat nebudeme, protože tam řada diverguje (nutná podmínka konvergence).
- ∑ xn/n diverguje v bodě 1 (harmonická řada), ale konverguje v -1
(Leibnizovo kritérium), tam ji tedy sčítat můžeme
Už víme, že
∑ x
n/n =
f(x)=-ln|1-x| pro x∈ (-1,1).
Dle Abelovy věty platí, že
∑ (-1)
n/n =
lim
x→ -1+ -ln|1-x| = - ln 2.
A pak už jen napíšeme závěr.
Poznámky
- Pokud je to nutné, řadu upravíme - např. ∑ xn/(n-1)
- Kontrolujeme posuny indexů. Např. je rozdíl mezi řadou
∑ xn, n=0,1,2...
a řadou
∑ xn, n=1,2,3...
- U integrálů nezapomínáme na konstanty.
- Derivace ani integrace nemění poloměr konvergence.
- Dáváme pozor na interval, kde pracujeme a kde sčítáme (např. geometrická řada má
součet jen na (-1,1).
Něco málo dalších příkladů:
Diplomová práce M.
Dížková
Bakalářská práce E.
Složilová
Bakalářská
práce K. Bábíčková
Krok 1
5. týden (pondělí 29.3.) - Mocninné řady - poloměr konvergence
Vítejte u mocninných řad.
Jde o speciální typ řad funkcí, které jsou tvaru ∑ a
n (x-x
0)
n.
Mají plno fajn vlastností a nás bude dnes zajímat, kde konvergují. Z Věty 14.1. z
přednášky plyne, že stačí najít tzv. poloměr konvergence - číslo, značíme ρ nebo R.
Mocninná řada pak absolutně konverguje na |x-x
0|<R
a diverguje na |x-x
0|>R.
Na |x-x
0|=R pak může řada konvergovat absolutně i neabsolutně nebo
divergovat, navíc v každém bodě jinak.
Nalezení R pak popisuje uvedená Věta.
Celý postup pak vypadá následovně:
- Identifikujeme an a sestavíme limsup pro nalezení R. Limsup spočteme.
- Najdeme hraniční body:
x0+R a x0-R. Dosadíme je do mocninné řady. Získáme tím dvě řady
(číselné řady). Vyšetříme je pomocí znalostí z loňska.
- Napíšeme závěr.
Kratší verze
Můžeme počítat:
5. Poloměr
konvergence mocninné řady
5. řešení
Teorie k řadám
Delší verze
Pár poznámek k jednotlivým krokům:
Krok 1 - určení an
V případě, že v řadě se nevyskytuje jen x
n, ale například
x
2n nebo x
n2, je třeba správně vyjádřit n-tý člen.
Vyzkoušejte si příklad (1e). Položí se k=n
2 a najde se n a a
n.
5. Poloměr
konvergence mocninné řady
5. řešení
Krok 2 - Poloměr konvergence
Na poloměr konvergence máme vzoreček - musíme spočítat limsup. Obvykle stačí spočítat
limitu, limsup použijeme, zejména pokud jsou nějaké členy nulové (1e) nebo nějak
oscilují (1d,1g). To pak roztrhneme limsup na liché a sudé členy (nebo na nulové a
nenulové) a spočteme limitu.
Dva jednoduché výpočty limity ukazuje video
Poloměr
konvergence na Isibalo
Jelikož počítáme s n-tou odmocninou, často se používají dva policajti a známé limity (1.
stránka cvičení dole):
5. Poloměr
konvergence mocninné řady
Místo n-té odmocniny lze použít poměr členů a
n a a
n+1. Jde o Větu
3:
5. Poloměr
konvergence mocninné řady
Pozor, funguje, jen když daná limita existuje (speciálně ji nelze použít na výpočet
limsup).
Krok 3 - Konvergence na hranici
Když máme poloměr konvergence, je třeba dovyšetřit konvergenci v krajních bodech, tedy v
bodech
x
0+R a x
0-R.
Body dosadíme a vyšetříme dvě řady - absolutní i neabsolutní konvergenci.
Mohou nastat různé situace (v obou bodech konverguje absolutně, v obou diverguje, v jednom
neabsolutně konverguje, ve druhém diverguje...)
Jde o převedení na úlohu: vyšetřete konvergenci řady z loňska. Může se hodit připomenutí
kritérií:
Teorie k řadám
Speciálním případem je R=∞ - pak řada konverguje na celé reálné ose a konvergenci
na krajích nemusíme vyšetřovat. Druhým případem R=0 - pak řada konverguje jen ve svém
středu (a konvergenci v krajích nemusíme vyšetřovat).
Krok 4 - Závěr
Pak už se jen napíše závěr. Pěknou zábavu:
5. Poloměr
konvergence mocninné řady
5. řešení
Teorie k řadám
Další příklady třeba tu:
Bc. práce L. Janoušková
Bc. práce E. Složilová
FEL ČVUT
4. týden (pondělí 22.3.) - Řady funkcí podruhé
Kratší verze
4. Derivace a
integrace řad funkcí
4. řešení -
opravená verze
3. týden (pondělí 15.3.) - Řady funkcí
Kratší verze
3. Stejnoměrná
konvergence řad funkcí
3. řešení
Geogebra k řadě
xn
2. týden (pondělí 8.3.) -
Posloupnosti funkcí podruhé
Kratší verze
První příklad se řeší stejně jako minule.
Jedinou novinkou je Diniho věta - když je posloupnost funkcí monotónní na kompaktu
a funkce f
n i f jsou spojité, jde o stejnoměrnou konvergenci. (Většina
příkladů půjdu nejspíš vyřešit i bez ní.)
V příkladech 3-5 pak řešíme, kdy lze prohodit derivaci a limitu a integrál a limitu.
Tuhle otázku budeme řešit spíš u řad, takže zatím spíš takové seznámení s větami a
ověření důležitosti předpokladů.
Pěknou zábavu:
2. Stejnoměrná
konvergence posloupností funkcí 2
2. řešení
Geogebra ke cvičení
Geogebra Dini
Řešení příkladu 4
Řešení příkladu 5
Delší verze
Krok 1 - další příklady
Pokračujeme se stejnoměrnou konvergencí. Algoritmus je stejný jako minule. Novinkou je
Diniho věta. Tedy si pročtěte Větu 2 - má hodně podmínek.
Ta o monotonii říká: zafixuj x
0 a prohlédni si posloupnost
f
n(x
0). Je monotónní? Jestliže je monotónní pro všechna zafixovaná
x, tak můžeme použít Diniho kritérium (samozřejmě po splnění ostatních podmínek).
Ukázka je tu:
Geogebra Dini
Jeho použití ovšem není příliš široké, takže na většinu příkladů bude stejně potřeba
kritérium se supremem z minula.
Novinkou v zadání je také nejen ověření stejnoměrné a lok. stejnoměrné konvergence, ale
i nalezení intervalů, kde ta stejnoměrná konvergence funguje.
Pěknou zábavu s 1. cvičením:
2. Stejnoměrná
konvergence posloupností funkcí 2
2. řešení
Geogebra ke cvičení
Geogebra Dini
Krok 2 - Dini
Zpět k Diniho větě. Ve 2. příkladu se řeší, co se stane, jestliže vypustíme nějakou
podmínku z Diniho věty - úkolem je ukázat, že věta přestane platit. (Stačí najít vhodný
protipříklad z přednášky nebo z minula, stačí to i obrázkem). Kdyby se Vám nedařilo
takovou posloupnost najít, na konci cvika je návod.
Poznámka: Diniho kritérium se objevuje v různých verzích.
Věta 13.8. I. Černý
Věta 12.1.17 - analýza
pro studenty
Krok 3 - Derivace a integrály
Z míry víme, že za určitých podmínek lze prohodit limitu posloupnosti funkcí a
(Lebesgueův) integrál.
(Pracuje s tím i
Lukeš skripta, 4.
kapitola.)
Věta 4 pak říká, že stejnoměrná konvergence mezi tyto podmínky patří také.
V 5. příkladu pak ověřujeme, jak to je s podmínkami věty. Vyzkoušejte.
2. Stejnoměrná
konvergence posloupností funkcí 2
2. řešení
Řešení příkladu 5
Nabízí se pak otázka, jesti se dá prohodit i derivace a limita a za jakých podmínek.
Obecně se ukazuje, že pouze stejnoměrná konvergence nestačí. Míří na to pak Věta 3 a Věta
3 a příklad 3 a 4. Prozkoumejte.
2. Stejnoměrná
konvergence posloupností funkcí 2
2. řešení
Řešení příkladu 4
Pokud by Vás zajímaly další příklady, kdy bodová nebo stejnoměrná konvergence selhává
(zda se zachová spojitost, diferencovatelnost, limity...), koukněte na
J.
Veselý od str. 5, pak od str. 26
Pěknou zábavu!
2. Stejnoměrná
konvergence posloupností funkcí 2
2. řešení
Geogebra ke cvičení
Geogebra Dini
Řešení příkladu 4
Řešení příkladu 5
1. týden (pondělí 1.3.) -
Posloupnosti funkcí
Vítejte ve světě f
n - ve světě posloupností funkcí (takový ten objekt známý z
Míry). Dnešním tématem je zjistit, k čemu funkce (bodově) konvergují a zda tam
konvergují stejnoměrně.
Kratší verze
Držíme se algoritmu ze zadání. Tedy
- Zafixujeme x a spočteme limn fn(x). Výslednou funkci
pojmenujeme f(x). Zkontrolujeme definiční obor fn i f.
- Zafixujeme n a sestavíme σn=supx{|fn-f|}.
- Spočteme limn σn. Posloupnost konverguje stejnoměrně
právě tehdy, když limita vyjde 0.
- Nemáme-li stejnoměrnou konvergenci, zkusíme lokálně stejnoměrnou - budeme stejným
způsobem vyšetřovat konvergenci na menších intervalech.
- Uděláme závěr.
1. Stejnoměrná
konvergence posloupností funkcí
1. řešení
Geogebra ke cvičení
Geogebra arctan(nx)
Delší verze
Krok 1 - Bodová konvergence
Prve musíme najít funkci, která je bodovou limitou posloupnosti funkcí.
Konkrétně
zafixujeme x a spočteme lim
n f
n(x). Výslednou funkci
pojmenujeme f(x).
Zkontrolujeme definiční obor f
n i f.
V
příkladu 2 zhavaruje definiční obor
Jediným zádrhelem může být počítání limity s parametrem - je třeba nezapomenout na žádný
případ.
Příklad: Mějme posloupnost
f
n=arctan (xn). Pro pevné x je
lim
n arctan(nx) rovna π/2 na (0,∞), -π/2 na (-∞,0) a 0 pro
x=0.
Geogebra arctan(nx)
Jiný příklad: Mějme posloupnost
f
n=arctan (x/n). Pro pevné x je
lim
n arctan(nx) rovna 0.
V obou příkladech jsou f
n i f definovány na celém R.
Krok 2 - Stejnoměrná konvergence
Když máme bodovou limitu, je načase vyšetřit, zda daná posloupnost konverguje
stejnoměrně.
Zafixujeme n (pozor, tady je změna) a sestavíme σ
n=sup
x{|f
n-f|}.
Pár poznámek:
- supremum počítáme přes interval, který nás zajímá - obvykle to bývá celé
Df, příp. interval ze zadání.
- Supremum hledáme v bodem maxima a minima funkce fn-f.
(Nezapomeňme na to minimum - abs. hodnota z něj může udělat maximum.) A pak taky v
krajních bodech intervalu - tam spočteme limitu.
- Někdy lze popužít vhodných odhadů, např. |sin x|<|x|.
Spočteme lim
n σ
n. Posloupnost konverguje stejnoměrně
právě tehdy, když limita vyjde 0. Uděláme závěr a jsme hotovi.
Video Isibalo
- bodová konvergence + představa stejnoměrné konvergence.
Příklad
3 a 4 pomocí derivace ukazuje nalezení suprema + animace
Krok 3 - Lokálně stejnoměrná konvergence
Nemáme-li stejnoměrnou konvergenci, zkusíme lokálně stejnoměrnou. Podíváme se na
definiční obor a zkusíme z něj vyndat problematické body z předchozího Kroku.
Např. jestliže se supremum realizovalo v nekonečnech, budeme pracovat na omezených
intervalech [-a,a].
Jestliže se body maxima nalézaly v bodech 1-1/n, které jdou k 1, budeme se pohybovat
na intervalech [0;1-δ], abychom byli dost daleko od 1.
Na našich nových intervalech aplikujeme předchozí krok (test se supremem). Dostaneme tak
stejnoměrnou konvergenci na nových intervalech (nebo taky ne).
Krok 4 - Závěr
Napíšeme závěr - zda posloupnost konverguje stejnoměrně na svém Df/daném intervalu.
Pokud nekonverguje stejnoměrně, pak napíšeme, kde všude (na kterých intervalech) jsme
stejnoměrnou konvergenci našli.
Aplikujeme Větu 5:
1. Stejnoměrná
konvergence posloupností funkcí
a uděláme závěr o lokálně stejnoměrné konvergenci.
Jak dobře rozebrat lok. stejnoměrnou konvergenci ukazuje
Příklad
2 O. Bouchaly
Poznámky
- Stejnoměrná konvergence zachovává spojitost. Jestliže je tedy limitní funkce
f nespojitá, zatímco fn spojité jsou, konvergence není stejnoměrná.
Body nespojitosti nám pak dávají tip na problémová místa.
Příkladem je arctan(nx).
Matematika.cuni.cz - obrázek k arctan(nx) + příklady na funkcích více proměnných
- Spojitost se týká i lokálně stejnoměrné konvergence - lze ji tak v nějakých bodech
vyvrátit.
- Jestliže jsme ukázali lokálně stejnoměrnou konvergenci na každém podintervalu v intervalu (0,1),
ještě to neznamená, že lze lok. stejnoměrnou konvergenci roztáhnout až na krajní body.
Pořád ještě posloupnost nemusí lok. stejnoměrně konvergovat i na [0,1].
- Krom spojitosti zachovává stejnoměrná konvergence i limity, Věta 6 ze zadání. Lze ji
tak vyvrátit.
Pěknou zábavu:
1. Stejnoměrná
konvergence posloupností funkcí
1. řešení
Geogebra ke cvičení
Geogebra arctan(nx)