Výuka na dálku

Plno výsledků lze zkontrolovat i online:
https://www.wolframalpha.com/
https://www.symbolab.com/

Seznam témat:

1. týden (pondělí 1. 3.) - Posloupnosti funkcí
2. týden (pondělí 8. 3.) - Posloupnosti funkcí 2
3. týden (pondělí 15.3.) - Řady funkcí
4. týden (pondělí 22.3.) - Řady funkcí podruhé
5. týden (pondělí 29.3.) - Mocninné řady
7. týden (pondělí 12.4.) - Mocninné řady - součet
10. týden (pondělí 3.5.) - Fourierovy řady

10. týden (pondělí 3.5.) - Fourierovy řady

Vítejte u Fourierových řad. Dnešní cíl: vzít nějakou hezkou funkci a aproximovat ji za pomoci sinů a kosinů.

Krok 0 - ingredience

Začneme s tzv. trigonometrickými polynomy:
a₀+ a₁cos x+ b₁sin x+ a₂cos (2x)+ b₂sin (2x)+ a₃cos (3x)+ b₃sin (3x)+... a_ncos (nx)+ b_nsin (nx)
Samozřejmě, některé členy mohou být nulové, např. mohou chybět všechny kosiny.

Z polynomů se pak dá vytvořit řada (je to podobné Taylorovému polynomy a mocninné řadě):
a₀/2 + ∑ a_ncos (nx)+ b_nsin (nx)

A u řady si lze klást obvyklé otázky: Pro jaká x konverguje? Konverguje stejnoměrně? A k jaké funkci?
A naopak, jestliže máme funkci, jak najít řadu, která k ní bude konvergovat? Co ta funkce musí splňovat, aby to bylo možné?

Odpovědi nám dává přednáška (pro funkce s komplexními hodnotami), na cviku přepsáno do řeči reálných čísel. Ve zkratce, pracujeme s funkcemi, které jsou 2π-periodické (budou se dobře aproximovat siny a kosiny) a zároveň jsou L¹([-π,π]) (to aby se jim daly najít koeficienty a_n a b_n). Předpis pro Fourierovy koeficienty najdete v Definici 1. Jak a k čemu Fourierovy řady konvergují říká Věta 3 a 4.
9. cvičení
Skripta analýzy, zejm. kapitoly 16.2 a 16.4.
Přednáška, kapitola 16

Krok 1 - nakopírování funkce

Konkrétní úlohy pak vypadají jako příklady 1 ze cvičení: 9. cvičení
Máme zadanou funkci f(x) na intervalu [0,2π), [-π, π) (nebo obecně nějaký interval délky 2π) a máme k ní vytvořit Fourierovu řadu a zjistit, k čemu ta řada konverguje.
Protože ale Fourierovy řady umí pracovat jen s periodickými funkcemi, začneme rozkopírováním funkce - ideálně ji zkusíme načrtnout. Koukněte na modré grafy pro příklad 1c:
Geogebra 1c

Krok 2 - výpočet koeficientů

Nyní spočteme koeficienty dle Definice 1:
9. cvičení
Vlastně jde o úlohu: spočtěme určitý integrál, takže jen pár poznámek:

1. Když nejprve spočteme zvlášť koeficient a₀, tak vlastně ověříme, že funkce je L¹.
2. Je-li funkce lichá nebo sudá, polovina koeficientů se vynuluje. Ilustrace v geogebře.
3. Je možné integrovat přes libovolný interval o délce 2π, jen je potřeba dávat pozor, jak je tam definovaná funkce.
4. Integrály se typicky počítají pomocí per partes - je potřeba umět zintegrovat kombinace goniometrická funkce +
   1. konstanta, polynom;
   2. jiná goniometrická funkce - využíváme fakta ze cvičení a a goniometrické vzorce ;
   3. exp; sinh, cosh (=varianta exp);
   4. jejich kombinace definované po částech, např. signum - vede na roztržení integrálů;
5. Pracujeme s parametrem n, tedy pozor, abychom někde nedělili nulou.

Krok 3 - konvergence

Máme-li koeficienty a_n, b_n, sestavíme Fourierovu řadu.
a₀/2 + ∑ a_ncos (nx)+ b_nsin (nx) Ta ovšem nemusí konvergovat k původní funkci f. Po prostudování Vět z přednášky nebo ze skript lze říct, že za splnění nějakých podmínek bude Fourierova řada konvergovat k průměru: (f(x+)+f(x-))/2.
Ilustrace jsou na obrázcích
FEL ČVUT

Ty podmínky: Jordan-Dirichletovo kritérium pracuje s funkce s konečnou variací na [0,2π]. Připomeňme, že takové jsou např. funkce monotónní. Pak Fourierova řada konverguje k popsanému průměru.
Pokud je funkce BV a navíc spojitá, Fourierova řada konverguje k původní funkci a to lok. stejnoměrně.
Další věta říká, že je-li funkce C¹, konverguje Fourierova řada k původní funkci f.
Poznámka: není-li původní funkce f spojitá, Fourierova řada k ní nemůže konvergovat stejnoměrně. Sin a cos jsou totiž spojité a stejnoměrná konvergence spojitost zachovává, což by bylo ve sporu.

Krok 4 - číselné řady

Když už víme, k čemu konverguje Fourierova řada, můžeme toho využít. Nechť máme díky konvergenci vztah
g(x)= a₀/2 + ∑ a_ncos (nx)+ b_nsin (nx) Tento pak bude platit i pro konkrétní x_0. Na tento krok pak míří např. úlohy 1a, 1d, 1e, 1f.

Závěr

Pěknou zábavu s příklady:
9. Fourierovy řady
9. řešení

Zdroje příkladů:
L. Janoušková - řešené i neřešené příklady na mocninné a Fourierovy řady
ODR pomocí mocninných a Fourierových řad - řešené příklady
Fourierovy řady definované po částech - řešené příklady na rozvoj do řady
Fourierovy řady, Bakalářská práce T. Krisl - řešené příklady na rozvoj do řady
Řešené příklady - řešené příklady na rozvoj do řady

Videa:
Khanova videa - anglicky

Onlineschool - Fourierova řada s obecnou periodou

Onlineschool - Sinové a kosinové řady s obecnou periodou

7. týden (pondělí 12.4.) - Mocninné řady - součet

Dnešní téma: jak sečíst danou mocninnou řadu ∑ a_n (x-x₀)ⁿ. Pro jednoduchost budeme pracovat s řadou ∑ a_n xⁿ.
Hlavní myšlenka je najít řadu, kterou umíme sečíst - typicky ∑ xⁿ nebo nějakou Taylorovu řadu, a na tu to převést pomocí integrace nebo derivace. Krom toho je potřeba najít interval konvergence, vyřešit jeho krajní body a pak doladit detaily.

Hlavní ingredience

1. Z Taylora známe nějaké řady, víme, k čemu konvergují a pro jaká x. Speciálně známe geometrickou řadu.
   Taylorovy řady
2. Máme Věty o derivaci a integraci mocninných řad - lze je derivovat a integrovat člen po členu, Věta 1 a 2:
   6. Sčítání mocninných řad

Budeme se držet algoritmu:

1. Najdeme poloměr konvergence.
2. Odhadneme, na jakou řadu budeme převádět (najdeme podobného Taylora, kterého umíme sečíst).
3. Rozhodneme, zda budeme spíš
   1. integrovat - členy typu nxⁿ
   2. derivovat - členy typu xⁿ/n
4. Pokud je to nutné, řadu upravíme - např. ∑ xⁿ/(n-1) =x∑ x^n-1/(n-1)
5. Zderivujeme/zintegrujeme a sečteme.
6. Zintegrujeme/zderivujeme zpátky. U integrálů nezapomeneme na konstanty.
7. Zkontrolujeme krajní body - jestliže tam původní řada konverguje, aplikujeme Abelovu větu.

Hlavní myšlenku, totiž derivování a integrování zpodobňují následující videa:
Isibalo: součet s derivací
Isibalo: součet s integrací

Krok 1 - Poloměr konvergence

Použijeme techniky z minula a najdeme R. Dále pracujeme na otevřeném intervalu (-R,R).

Krok 2 - Podobná řada

Najdeme řadu, která je té naší "podobná" a kterou umíme sečíst. Např. ∑ xⁿ/(n-1) nebo ∑ (n+1)xⁿ jsou podobné ∑ xⁿ.
Řada ∑ n xⁿ/(n!) je podobná ∑ xⁿ/(n!) atd.

Krok 3 - Úpravy, derivace / integrace, součet.

Položíme f(x)=∑ a_n xⁿ.
Nyní řešíme otázku: Kdybychom f(x) zderivovali nebo zintegrovali, nedostali bychom řadu z předchozího kroku? Jsou-li tam členy typu nxⁿ, budeme spíš integrovat. Naopak členy typu xⁿ/n budeme spíš derivovat.

Integrace

Máme-li f(x)=∑ a_n xⁿ, pak platí, že
pro F(x)= ∑ a_n xⁿ⁺¹/(n+1) je
F'=f.

Konkrétně, pro řadu
f(x)= ∑ (n+1)xⁿ, n=0, 1,...
máme
F(x)= ∑ xⁿ⁺¹, n=0, 1,...
Funkci F ale umíme sečíst, protože je to geometrická řada s posunutým indexováním. Máme tedy
F(x)=x/(1-x).
A protože F'=f, tak získáme
f=1/(1-x)² pro x∈ (-1,1).

Derivace

Máme-li f(x)=∑ a_n xⁿ, pak platí, že
f'(x)= ∑ a_n n xⁿ⁺¹.

Konkrétně, pro řadu
f(x)= ∑ xⁿ/n, n=1, 2...
máme
f'(x)= ∑ x^n-1, n=1, 2,...
Funkci f' umíme sečíst (geometrická řada s posunutým indexováním). Máme tedy
f(x)=1/(1-x).

Zintegrováním pak najdeme f - až na konstantu.
f=-ln|1-x|+K.
Pro dopočet konstanty dosoadíme nějaký bod, ve kterém umíme řadu sečíst (např. střed). Tedy
f(0)=-ln|1-0|+K=K
a
0=f(0)= ∑ 0ⁿ/n, n=1, 2...
Dohromady K=0.
Celkem tedy
f(x)=-ln|1-x| pro x∈ (-1,1).

Krok 4 - Součet v krajích

Zatím jsme sčítali (a derivovali a integrovali) na otevřeném poloměru konvergence. Některé řady ale lze sečíst i v krajních bodech/jednom krajním bodě. K tomu budeme potřebovat Abelovu Větu 3:
6. Sčítání mocninných řad
Myšlenka: jestliže se součet řady dá vyjádřit jako funkce na vnitřku intervalu, nefungovala by ta stejná funkce i v krajním bodě?
Dle Abelovy věty je to pravda za předpokladu, že daná řada v krajním bodě konverguje. Tak tedy:

1. ∑ (n+1)xⁿ v bodech 1 a -1 sčítat nebudeme, protože tam řada diverguje (nutná podmínka konvergence).
2. ∑ xⁿ/n diverguje v bodě 1 (harmonická řada), ale konverguje v -1 (Leibnizovo kritérium), tam ji tedy sčítat můžeme

Už víme, že ∑ xⁿ/n = f(x)=-ln|1-x| pro x∈ (-1,1).
Dle Abelovy věty platí, že ∑ (-1)ⁿ/n = lim_{x→ -1+} -ln|1-x| = - ln 2. A pak už jen napíšeme závěr.

Poznámky

1. Pokud je to nutné, řadu upravíme - např. ∑ xⁿ/(n-1)
2. Kontrolujeme posuny indexů. Např. je rozdíl mezi řadou ∑ xⁿ, n=0,1,2... a řadou ∑ xⁿ, n=1,2,3...
3. U integrálů nezapomínáme na konstanty.
4. Derivace ani integrace nemění poloměr konvergence.
5. Dáváme pozor na interval, kde pracujeme a kde sčítáme (např. geometrická řada má součet jen na (-1,1).

Něco málo dalších příkladů:
Diplomová práce M. Dížková
Bakalářská práce E. Složilová
Bakalářská práce K. Bábíčková

Krok 1

5. týden (pondělí 29.3.) - Mocninné řady - poloměr konvergence

Vítejte u mocninných řad. Jde o speciální typ řad funkcí, které jsou tvaru ∑ a_n (x-x₀)ⁿ.
Mají plno fajn vlastností a nás bude dnes zajímat, kde konvergují. Z Věty 14.1. z přednášky plyne, že stačí najít tzv. poloměr konvergence - číslo, značíme ρ nebo R. Mocninná řada pak absolutně konverguje na |x-x₀|<R a diverguje na |x-x₀|>R. Na |x-x₀|=R pak může řada konvergovat absolutně i neabsolutně nebo divergovat, navíc v každém bodě jinak.
Nalezení R pak popisuje uvedená Věta.

Celý postup pak vypadá následovně:

1. Identifikujeme a_n a sestavíme limsup pro nalezení R. Limsup spočteme.
2. Najdeme hraniční body: x₀+R a x₀-R. Dosadíme je do mocninné řady. Získáme tím dvě řady (číselné řady). Vyšetříme je pomocí znalostí z loňska.
3. Napíšeme závěr.

Kratší verze

Můžeme počítat:
5. Poloměr konvergence mocninné řady
5. řešení
Teorie k řadám

Delší verze

Pár poznámek k jednotlivým krokům:

Krok 1 - určení a_n

V případě, že v řadě se nevyskytuje jen xⁿ, ale například x²ⁿ nebo xⁿ², je třeba správně vyjádřit n-tý člen. Vyzkoušejte si příklad (1e). Položí se k=n² a najde se n a a_n.
5. Poloměr konvergence mocninné řady
5. řešení

Krok 2 - Poloměr konvergence

Na poloměr konvergence máme vzoreček - musíme spočítat limsup. Obvykle stačí spočítat limitu, limsup použijeme, zejména pokud jsou nějaké členy nulové (1e) nebo nějak oscilují (1d,1g). To pak roztrhneme limsup na liché a sudé členy (nebo na nulové a nenulové) a spočteme limitu.
Dva jednoduché výpočty limity ukazuje video
Poloměr konvergence na Isibalo

Jelikož počítáme s n-tou odmocninou, často se používají dva policajti a známé limity (1. stránka cvičení dole):
5. Poloměr konvergence mocninné řady

Místo n-té odmocniny lze použít poměr členů a_n a a_n+1. Jde o Větu 3:
5. Poloměr konvergence mocninné řady

Pozor, funguje, jen když daná limita existuje (speciálně ji nelze použít na výpočet limsup).

Krok 3 - Konvergence na hranici

Když máme poloměr konvergence, je třeba dovyšetřit konvergenci v krajních bodech, tedy v bodech x₀+R a x₀-R. Body dosadíme a vyšetříme dvě řady - absolutní i neabsolutní konvergenci. Mohou nastat různé situace (v obou bodech konverguje absolutně, v obou diverguje, v jednom neabsolutně konverguje, ve druhém diverguje...)
Jde o převedení na úlohu: vyšetřete konvergenci řady z loňska. Může se hodit připomenutí kritérií:
Teorie k řadám
Speciálním případem je R=∞ - pak řada konverguje na celé reálné ose a konvergenci na krajích nemusíme vyšetřovat. Druhým případem R=0 - pak řada konverguje jen ve svém středu (a konvergenci v krajích nemusíme vyšetřovat).

Krok 4 - Závěr

Pak už se jen napíše závěr. Pěknou zábavu:
5. Poloměr konvergence mocninné řady
5. řešení
Teorie k řadám

Další příklady třeba tu:
Bc. práce L. Janoušková
Bc. práce E. Složilová
FEL ČVUT

4. týden (pondělí 22.3.) - Řady funkcí podruhé

Kratší verze

4. Derivace a integrace řad funkcí
4. řešení - opravená verze

3. týden (pondělí 15.3.) - Řady funkcí

Kratší verze

3. Stejnoměrná konvergence řad funkcí
3. řešení
Geogebra k řadě xⁿ

2. týden (pondělí 8.3.) - Posloupnosti funkcí podruhé

Kratší verze

První příklad se řeší stejně jako minule. Jedinou novinkou je Diniho věta - když je posloupnost funkcí monotónní na kompaktu a funkce f_n i f jsou spojité, jde o stejnoměrnou konvergenci. (Většina příkladů půjdu nejspíš vyřešit i bez ní.)
V příkladech 3-5 pak řešíme, kdy lze prohodit derivaci a limitu a integrál a limitu. Tuhle otázku budeme řešit spíš u řad, takže zatím spíš takové seznámení s větami a ověření důležitosti předpokladů.
Pěknou zábavu:
2. Stejnoměrná konvergence posloupností funkcí 2
2. řešení
Geogebra ke cvičení
Geogebra Dini
Řešení příkladu 4
Řešení příkladu 5

Delší verze

Krok 1 - další příklady

Pokračujeme se stejnoměrnou konvergencí. Algoritmus je stejný jako minule. Novinkou je Diniho věta. Tedy si pročtěte Větu 2 - má hodně podmínek. Ta o monotonii říká: zafixuj x₀ a prohlédni si posloupnost f_n(x₀). Je monotónní? Jestliže je monotónní pro všechna zafixovaná x, tak můžeme použít Diniho kritérium (samozřejmě po splnění ostatních podmínek).
Ukázka je tu: Geogebra Dini
Jeho použití ovšem není příliš široké, takže na většinu příkladů bude stejně potřeba kritérium se supremem z minula.
Novinkou v zadání je také nejen ověření stejnoměrné a lok. stejnoměrné konvergence, ale i nalezení intervalů, kde ta stejnoměrná konvergence funguje. Pěknou zábavu s 1. cvičením:
2. Stejnoměrná konvergence posloupností funkcí 2
2. řešení
Geogebra ke cvičení
Geogebra Dini

Krok 2 - Dini

Zpět k Diniho větě. Ve 2. příkladu se řeší, co se stane, jestliže vypustíme nějakou podmínku z Diniho věty - úkolem je ukázat, že věta přestane platit. (Stačí najít vhodný protipříklad z přednášky nebo z minula, stačí to i obrázkem). Kdyby se Vám nedařilo takovou posloupnost najít, na konci cvika je návod.

Poznámka: Diniho kritérium se objevuje v různých verzích.
Věta 13.8. I. Černý
Věta 12.1.17 - analýza pro studenty

Krok 3 - Derivace a integrály

Z míry víme, že za určitých podmínek lze prohodit limitu posloupnosti funkcí a (Lebesgueův) integrál. (Pracuje s tím i Lukeš skripta, 4. kapitola.) Věta 4 pak říká, že stejnoměrná konvergence mezi tyto podmínky patří také.
V 5. příkladu pak ověřujeme, jak to je s podmínkami věty. Vyzkoušejte.
2. Stejnoměrná konvergence posloupností funkcí 2
2. řešení
Řešení příkladu 5

Nabízí se pak otázka, jesti se dá prohodit i derivace a limita a za jakých podmínek. Obecně se ukazuje, že pouze stejnoměrná konvergence nestačí. Míří na to pak Věta 3 a Věta 3 a příklad 3 a 4. Prozkoumejte.
2. Stejnoměrná konvergence posloupností funkcí 2
2. řešení
Řešení příkladu 4

Pokud by Vás zajímaly další příklady, kdy bodová nebo stejnoměrná konvergence selhává (zda se zachová spojitost, diferencovatelnost, limity...), koukněte na
J. Veselý od str. 5, pak od str. 26

Pěknou zábavu!
2. Stejnoměrná konvergence posloupností funkcí 2
2. řešení
Geogebra ke cvičení
Geogebra Dini
Řešení příkladu 4
Řešení příkladu 5

1. týden (pondělí 1.3.) - Posloupnosti funkcí

Vítejte ve světě f_n - ve světě posloupností funkcí (takový ten objekt známý z Míry). Dnešním tématem je zjistit, k čemu funkce (bodově) konvergují a zda tam konvergují stejnoměrně.

Kratší verze

Držíme se algoritmu ze zadání. Tedy

1. Zafixujeme x a spočteme lim_n f_n(x). Výslednou funkci pojmenujeme f(x). Zkontrolujeme definiční obor f_n i f.
2. Zafixujeme n a sestavíme σ_n=sup_x{|f_n-f|}.
3. Spočteme lim_n σ_n. Posloupnost konverguje stejnoměrně právě tehdy, když limita vyjde 0.
4. Nemáme-li stejnoměrnou konvergenci, zkusíme lokálně stejnoměrnou - budeme stejným způsobem vyšetřovat konvergenci na menších intervalech.
5. Uděláme závěr.

1. Stejnoměrná konvergence posloupností funkcí
1. řešení
Geogebra ke cvičení
Geogebra arctan(nx)

Delší verze

Krok 1 - Bodová konvergence

Prve musíme najít funkci, která je bodovou limitou posloupnosti funkcí.
Konkrétně zafixujeme x a spočteme lim_n f_n(x). Výslednou funkci pojmenujeme f(x).
Zkontrolujeme definiční obor f_n i f.
V příkladu 2 zhavaruje definiční obor
Jediným zádrhelem může být počítání limity s parametrem - je třeba nezapomenout na žádný případ.

Příklad: Mějme posloupnost f_n=arctan (xn). Pro pevné x je lim_n arctan(nx) rovna π/2 na (0,∞), -π/2 na (-∞,0) a 0 pro x=0.
Geogebra arctan(nx)
Jiný příklad: Mějme posloupnost f_n=arctan (x/n). Pro pevné x je lim_n arctan(nx) rovna 0.
V obou příkladech jsou f_n i f definovány na celém R.

Krok 2 - Stejnoměrná konvergence

Když máme bodovou limitu, je načase vyšetřit, zda daná posloupnost konverguje stejnoměrně.
Zafixujeme n (pozor, tady je změna) a sestavíme σ_n=sup_x{|f_n-f|}. Pár poznámek:

1. supremum počítáme přes interval, který nás zajímá - obvykle to bývá celé D_f, příp. interval ze zadání.
2. Supremum hledáme v bodem maxima a minima funkce f_n-f. (Nezapomeňme na to minimum - abs. hodnota z něj může udělat maximum.) A pak taky v krajních bodech intervalu - tam spočteme limitu.
3. Někdy lze popužít vhodných odhadů, např. |sin x|<|x|.

Spočteme lim_n σ_n. Posloupnost konverguje stejnoměrně právě tehdy, když limita vyjde 0. Uděláme závěr a jsme hotovi.
Video Isibalo - bodová konvergence + představa stejnoměrné konvergence.
Příklad 3 a 4 pomocí derivace ukazuje nalezení suprema + animace

Krok 3 - Lokálně stejnoměrná konvergence

Nemáme-li stejnoměrnou konvergenci, zkusíme lokálně stejnoměrnou. Podíváme se na definiční obor a zkusíme z něj vyndat problematické body z předchozího Kroku.
Např. jestliže se supremum realizovalo v nekonečnech, budeme pracovat na omezených intervalech [-a,a].
Jestliže se body maxima nalézaly v bodech 1-1/n, které jdou k 1, budeme se pohybovat na intervalech [0;1-δ], abychom byli dost daleko od 1.

Na našich nových intervalech aplikujeme předchozí krok (test se supremem). Dostaneme tak stejnoměrnou konvergenci na nových intervalech (nebo taky ne).

Krok 4 - Závěr

Napíšeme závěr - zda posloupnost konverguje stejnoměrně na svém Df/daném intervalu.
Pokud nekonverguje stejnoměrně, pak napíšeme, kde všude (na kterých intervalech) jsme stejnoměrnou konvergenci našli.
Aplikujeme Větu 5: 1. Stejnoměrná konvergence posloupností funkcí
a uděláme závěr o lokálně stejnoměrné konvergenci.
Jak dobře rozebrat lok. stejnoměrnou konvergenci ukazuje Příklad 2 O. Bouchaly

Poznámky

1. Stejnoměrná konvergence zachovává spojitost. Jestliže je tedy limitní funkce f nespojitá, zatímco f_n spojité jsou, konvergence není stejnoměrná. Body nespojitosti nám pak dávají tip na problémová místa.
   Příkladem je arctan(nx).
   Matematika.cuni.cz - obrázek k arctan(nx) + příklady na funkcích více proměnných
   
2. Spojitost se týká i lokálně stejnoměrné konvergence - lze ji tak v nějakých bodech vyvrátit.
3. Jestliže jsme ukázali lokálně stejnoměrnou konvergenci na každém podintervalu v intervalu (0,1), ještě to neznamená, že lze lok. stejnoměrnou konvergenci roztáhnout až na krajní body. Pořád ještě posloupnost nemusí lok. stejnoměrně konvergovat i na [0,1].
4. Krom spojitosti zachovává stejnoměrná konvergence i limity, Věta 6 ze zadání. Lze ji tak vyvrátit.

Pěknou zábavu:
1. Stejnoměrná konvergence posloupností funkcí
1. řešení
Geogebra ke cvičení
Geogebra arctan(nx)