$\begin{align} \end{align}$

Kombinační čísla

Úlohy

Odkazy na úlohy podle témat:
Kombinační čísla
Pascalův trojúhelník
Binomická věta

Kombinační čísla

Úloha 4.1

Vypočítejte:

$\displaystyle{8 \choose 2}$

$\displaystyle{8 \choose 6}$

$\displaystyle{10 \choose 7}$

$\displaystyle{15 \choose 12}$

Zobrazit řešení

Výsledky:
a) $\boldsymbol{28}$
b) $\boldsymbol{28}$
c) $\boldsymbol{120}$
d) $\boldsymbol{455}$

Úloha 4.2

Jediným kombinačním číslem vyjádřete tyto součty:

$\displaystyle{10 \choose 4} + \displaystyle{10 \choose 5}$

$\displaystyle{13 \choose 2} + \displaystyle{13 \choose 10}$

$\displaystyle{6 \choose 3} + \displaystyle{6 \choose 4} + \displaystyle{7 \choose 5}$

Zobrazit řešení

Výsledky:

$\boldsymbol{\displaystyle{11 \choose 5}}$

$\boldsymbol{\displaystyle{14 \choose 3}}$

$\boldsymbol{\displaystyle{8 \choose 5}}$

Použijeme vlastnosti

$\displaystyle{n \choose k} + \displaystyle{n \choose k+1} = \displaystyle{n+1 \choose k+1}$

$\displaystyle{n \choose k} = \displaystyle{n \choose n-k}$

Úloha 4.3

Vyjádřete jediným kombinačním číslem:

$\displaystyle{5 \choose 5} + \displaystyle{6 \choose 5} + \displaystyle{7 \choose 5} + \displaystyle{8 \choose 5} + \displaystyle{9 \choose 5}$

Zobrazit řešení

Výsledek:

$\boldsymbol{\displaystyle{10 \choose 6}}$

$\displaystyle{5 \choose 5} = 1 = \displaystyle{6 \choose 6}$ , dále použijeme vlastnost

$\displaystyle{n \choose k} + \displaystyle{n \choose k+1} = \displaystyle{n+1 \choose k+1}$

Úloha 4.4

Určete součet:

$\displaystyle{2 \choose 2} + \displaystyle{3 \choose 2} + \displaystyle{4 \choose 2} + \displaystyle{5 \choose 2} + \ldots + \displaystyle{19 \choose 2} + \displaystyle{20 \choose 2}$

Zobrazit řešení

Výsledek:

$\displaystyle{21 \choose 3} = \boldsymbol{1\,330}$

Úloha 4.5

V množině přirozených čísel řešte rovnice s neznámou

$x$ :

$\displaystyle{9 \choose 4} \cdot x = \displaystyle{10 \choose 5}$

$\displaystyle{x \choose 2} + \displaystyle{x-1 \choose 2} = 4$

$\displaystyle{x \choose 2} + \displaystyle{x+3 \choose 2} = 4$

$\displaystyle{x-1 \choose x-3} + \displaystyle{x-2 \choose x-4} = 9$

$\displaystyle{x+1 \choose 2} + \displaystyle{x \choose 2} = 4 \displaystyle{n \choose n}$ ,

$n$ je přirozené číslo

$\displaystyle{x-1 \choose 2} - \displaystyle{x \choose 0} = \dfrac{n!}{2n(n-1)(n-2)!} \cdot \displaystyle{x \choose 2}$ ,

$n \geq 2$ je přirozené číslo

Zobrazit řešení

Výsledky:

a) $\boldsymbol{\{2\}}$ Zobrazit řešení

b) $\boldsymbol{\{3\}}$ Zobrazit řešení

c) $\boldsymbol{\{\}}$ Zobrazit řešení

d) $\boldsymbol{\{5\}}$ Zobrazit řešení

e) $\boldsymbol{\{2\}}$ Zobrazit řešení

f) $\boldsymbol{\{5\}}$ Zobrazit řešení

$\displaystyle{9 \choose 4} \cdot x = \displaystyle{10 \choose 5}$

$126 x = 252$

$x = 2$

$\displaystyle{x \choose 2} + \displaystyle{x-1 \choose 2} = 4$

$\dfrac{x(x-1)}{2} + \dfrac{(x-1)(x-2)}{2} = 4$

$x^2-2x-3 = 0$

$x_1 = -1$ ,

$x_2 = 3$

Řešením je pouze

$x_2$ .

$\displaystyle{x \choose 2} + \displaystyle{x+3 \choose 2} = 4$

$\dfrac{x(x-1)}{2} + \dfrac{(x+3)(x+2)}{2} = 4$

$x^2+2x-1 = 0$

$x_1 = -1-\sqrt{2}$ ,

$x_2 = -1+\sqrt{2}$

Řešením mohou být pouze přirozená čísla, úloha tedy nemá řešení.

$\displaystyle{x-1 \choose x-3} + \displaystyle{x-2 \choose x-4} = 9$

$\dfrac{(x-1)(x-2)}{2} + \dfrac{(x-2)(x-3)}{2} = 9$

$x^2-4x-5 = 0$

$x_1 = -1$ ,

$x_2 = 5$

Řešením je pouze

$x_2$ .

$\displaystyle{x+1 \choose 2} + \displaystyle{x \choose 2} = 4 \displaystyle{n \choose n}$ ,

$n$ ,

$n$ je přirozené číslo

$\dfrac{(x+1)x}{2} + \dfrac{x(x-1)}{2} = 4$

$x^2-4 = 0$

$x_1 = -2$ ,

$x_2 = 2$

Řešením je pouze

$x_2$ .

$\displaystyle{x-1 \choose 2} - \displaystyle{x \choose 0} = \dfrac{n!}{2n(n-1)(n-2)!} \cdot \displaystyle{x \choose 2}$ ,

$n \geq 2$ je přirozené číslo

$\displaystyle{x-1 \choose 2} - 1 = \dfrac{1}{2} \cdot \displaystyle{x \choose 2}$

$\dfrac{(x-1)(x-2)}{2} - 1 = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{x(x-1)}{2}$

$x^2-5x = 0$

$x_1 = 0$ ,

$x_2 = 5$

Řešením je pouze

$x_2$ .

Úloha 4.6

V množině přirozených čísel řešte nerovnice:

$\displaystyle{y+1 \choose 2} + \displaystyle{y+4 \choose 2} + \displaystyle{y+7 \choose 2} < 93$

$\displaystyle{y \choose 2} + \displaystyle{y+3 \choose 2} + \displaystyle{y+6 \choose 2} < 100$

$\displaystyle{y+2 \choose 2} \geq \displaystyle{y \choose 2} + 1$

Zobrazit řešení

Výsledky:

a) $\boldsymbol{\{1,2,3\}}$ Zobrazit řešení

b) $\boldsymbol{\{2,3,4,5\}}$ Zobrazit řešení

c) $\boldsymbol{\{y \in \mathbb{N};\ y \geq 2\}}$ Zobrazit řešení

$\displaystyle{y+1 \choose 2} + \displaystyle{y+4 \choose 2} + \displaystyle{y+7 \choose 2} < 93$

$\dfrac{y(y+1)}{2} + \dfrac{(y+4)(y+3)}{2} + \dfrac{(y+7)(y+6)}{2} < 93$

$y^2+7y-44 < 0$

$y \in (-11;\, 4)$

Řešením jsou jen přirozená čísla, tedy čísla

$1,2,3$ .

$\displaystyle{y \choose 2} + \displaystyle{y+3 \choose 2} + \displaystyle{y+6 \choose 2} < 100$

$\dfrac{y(y-1)}{2} + \dfrac{(y+3)(y+2)}{2} + \dfrac{(y+6)(y+5)}{2} < 100$

$3y^2+15y-164 < 0$

$y \in (-10{,}3049;\, 5{,}3049)$

Řešením jsou jen přirozená čísla větší než jedna, tedy čísla

$2,3,4,5$ .

$\displaystyle{y+2 \choose 2} \geq \displaystyle{y \choose 2} + 1$

$\dfrac{(y+2)(y+1)}{2} \geq \dfrac{y(y-1)}{2} + 1$

$y^2+3y+2 \geq y^2-y+2$

$y \geq 0$

Řešením jsou přirozená čísla větší než jedna, tedy čísla

$2,3,4,5,\ldots$

Pascalův trojúhelník

Úloha 4.7

Napište devátý řádek Pascalova trojúhelníku (oba tvary).

Zobrazit řešení

Výsledek:

$\boldsymbol{\displaystyle{8 \choose 0}}$

$\boldsymbol{\displaystyle{8 \choose 1}}$

$\boldsymbol{\displaystyle{8 \choose 2}}$

$\boldsymbol{\displaystyle{8 \choose 3}}$

$\boldsymbol{\displaystyle{8 \choose 4}}$

$\boldsymbol{\displaystyle{8 \choose 5}}$

$\boldsymbol{\displaystyle{8 \choose 6}}$

$\boldsymbol{\displaystyle{8 \choose 7}}$

$\boldsymbol{\displaystyle{8 \choose 8}}$

$\boldsymbol{1}$

$\boldsymbol{8}$

$\boldsymbol{28}$

$\boldsymbol{56}$

$\boldsymbol{70}$

$\boldsymbol{56}$

$\boldsymbol{28}$

$\boldsymbol{8}$

$\boldsymbol{1}$

Úloha 4.8

Desátý řádek Pascalova trojúhelníku má tvar
$1 \quad 9 \quad 36 \quad 84 \quad 126 \quad 126 \quad 84 \quad 36 \quad 9 \quad 1$
Odvoďte z něj následující (jedenáctý) řádek Pascalova trojúhelníku.

Zobrazit řešení

Výsledek: $\boldsymbol{1 \quad 10 \quad 45 \quad 120 \quad 210 \quad 252 \quad 210 \quad 120 \quad 45 \quad 10 \quad 1}$

Binomická věta

Úloha 4.9

Podle binomické věty rozveďte:
a) $(a+b)^5$
b) $(a-b)^5$

Zobrazit řešení

Výsledky:

a) $\boldsymbol{a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5}$

b) $\boldsymbol{a^5 - 5a^4b + 10a^3b^2 - 10a^2b^3 + 5ab^4 - b^5}$

Úloha 4.10

Vypočtěte podle binomické věty:
a) $\left( x^2-1 \right)^5$
b) $\left( \sqrt{3} + \sqrt{2} \right)^4$
c) $\left( \sqrt{3} - i\sqrt{3} \right)^6$
d) $(2a-3b)^5 + (2a+3b)^5$

Zobrazit řešení

Výsledky:

a) $\boldsymbol{x^{10} - 5x^8 + 10x^6 - 10x^4 + 5x^2 - 1}$

b) $\boldsymbol{49 + 20\sqrt{6}}$

c) $\boldsymbol{216\,i}$

d) $\boldsymbol{64\,a^5 + 1\,440\,a^3b^2 + 1\,620\,ab^4}$

Úloha 4.11

Užitím binomické věty vypočítejte
a) $1{,}02^5$
b) $0{,}98^5$

Nápověda

$1{,}02 = (1 + 0{,}02)^5$
b)

$0{,}98 = (1 - 0{,}02)^5$

Zobrazit řešení

Výsledky:

a) $\boldsymbol{1{,}104\,080\,803\,2}$

b) $\boldsymbol{0{,}903\,920\,796\,8}$

Úloha 4.12

Užitím binomické věty vypočítejte s přesností na tři desetinná místa $1{,}05^7$ .

Zobrazit řešení

Výsledek: $\boldsymbol{1{,}407}$

Úloha 4.13

Určete:

a) třetí člen binomického rozvoje výrazu

$(x-10)^9$

b) předposlední člen binomického rozvoje výrazu

$\left( t+10^{-2} \right)^{20}$

c) pátý člen binomického rozvoje výrazu

$\left( y - \dfrac{2}{\sqrt{y}} \right)^8$

Zobrazit řešení

Výsledky:

a) $\boldsymbol{3\,600\,x^7}$

b) $\boldsymbol{2t \cdot 10^{-37}}$

c) $\boldsymbol{1\,120\,y^2}$

Úloha 4.14

Určete koeficient pátého členu výrazu $\left( x^2 + \sqrt{y} \right)^{8}$ .

Zobrazit řešení

Výsledek: $\boldsymbol{70}$

Úloha 4.15

Vypočtěte dva prostřední členy rozvoje výrazu $\left( \sqrt[3]{x} - 2x\sqrt{x} \right)^{19}$ .

Zobrazit řešení

Výsledek:

desátý člen

$\ldots -2^9 \cdot \displaystyle{19 \choose 9}x^{16} \sqrt[6]{x^5}$

jedenáctý člen

$\ldots 2^{10} \cdot \displaystyle{19 \choose 10}x^{18}$

Úloha 4.16

Vypočítejte kladné číslo $x$ , je-li
a) pátý člen rozvoje výrazu $\left( 1+\sqrt{x} \right)^{10}$ roven $840$ ,
b) sedmý člen rozvoje výrazu $\left( x - i\sqrt[3]{2} \right)^{10}$ roven $-8{,}4$ .

Zobrazit řešení

Výsledky:

$\boldsymbol{\{2\}}$

$\boldsymbol{\left\{\dfrac{\sqrt{10}}{10}\right\}}$

a) pátý člen rozvoje výrazu

$\left( 1+\sqrt{x} \right)^{10}$ má tvar

$\displaystyle{10 \choose 4}1^{10-4}\left(\sqrt{x}\right)^4$ , po úpravě

$210x^2$

$210x^2 = 840$

$x^2 = 4$

$(x-2)(x+2) = 0$

$x_1=2$ , $x_2=-2$

$x$ má být kladné číslo, řešením je proto jen číslo $2$ .

b) sedmý člen rozvoje výrazu

$\left( x - i\sqrt[3]{2} \right)^{10}$ má tvar

$\displaystyle{10 \choose 6}1^{10-4}x^{10-6}\left(-i\sqrt[3]{2}\right)^6$ , po úpravě

$-840x^4$

$-840x^4 = -8{,}4$

$x^4 = 0{,}01$

$\left( x^2+0{,}1 \right) \left( x^2-0{,}1 \right) = 0$

$x$ má být kladné číslo, proto dále hledáme kořeny rovnice

$x^2-0{,}1 = 0$

$\left( x+\sqrt{0{,}1} \right) \left( x-\sqrt{0{,}1} \right) = 0$

$x$ má být kladné číslo, řešením je proto jen číslo $\sqrt{0{,}1} = \sqrt{1/10} = \sqrt{10}/10$ .

Úloha 4.17

Kolikátý člen binomického rozvoje výrazu

$\left( 3x^2 - \dfrac{1}{x} \right)^{10}$ obsahuje

$x^8$ ,

$\left( x^3 + \dfrac{1}{x} \right)^{12}$ neobsahuje

$x$ ? (Jde o tzv. absolutní člen.)

Zobrazit řešení

Úloha 4.18

Vypočítejte ten člen binomického rozvoje výrazu

$\left( \sqrt{x} + \dfrac{1}{x} \right)^{21}$ , který neobsahuje

$x$ .

Zobrazit řešení

Výsledek:

$\displaystyle{21 \choose 7} = \boldsymbol{116\,280}$

$k$ -tý člen binomického rozvoje daného výrazu má tvar

$\displaystyle{21 \choose k-1}\left( \sqrt{x} \right)^{21-(k-1)} \left( \dfrac{1}{x} \right)^{k-1}$

po úpravě

$\displaystyle{21 \choose k-1}x^{12-3k/2}$

Hledáme člen, který neobsahuje

$x$ :

$x^{12-3k/2} = x^0$

$12 - 3k/2 = 0$

$k=8$ .

Člen, který neobsahuje

$x$ , je tedy osmý člen binomického rozvoje daného výrazu.
Hodnota osmého členu je:

$\displaystyle{21 \choose 8-1} = \displaystyle{21 \choose 7} = 116\,280$ .

Úloha 4.19

Určete všechny členy binomického rozvoje výrazu $\left( \sqrt[7]{7} + \sqrt[5]{5} \right)^{24}$ , které jsou racionálními čísly.

Zobrazit řešení

Výsledek:

$\boldsymbol{\displaystyle{24 \choose 10} \cdot 7^2 \cdot 5^2}$

Úloha 4.20

V binomickém rozvoji výrazu

$\left( x\sqrt{x} + \dfrac{1}{x^4} \right)^n$

je koeficient u třetího členu o

$54$ větší než koeficient u členu posledního. Určete absolutní člen, tj. člen, který neobsahuje proměnnou

$x$ .

Zobrazit řešení

Výsledek: $n=11$ , absolutní člen má hodnotu $\boldsymbol{165}$ .

* Úloha 4.21

Určete člen, který obsahuje $x^{14}$ v rozvoji výrazu
$\left( 1-x^3 \right)^9 \cdot \left( 1+x^2 \right)^{10}$ .

Nápověda

Exponenty u mocnin

$x$ se při násobení sčítají. Najděte člen rozvoje výrazu

$\left( 1-x^3 \right)^9$ a člen rozvoje výrazu

$\left( 1+x^2 \right)^{10}$ , které lze mezi sebou vynásobit tak, aby výsledek byl

$c \cdot x^{14}$ pro nějaké číslo

$c$ .

Zobrazit řešení

Výsledek: $\boldsymbol{8\,940\,x^{14}}$ Zobrazit řešení

Všechny členy rozvoje výrazu

$\left( 1-x^3 \right)^9$ obsahují v exponentu mocniny

$x$ číslo dělitelné třemi, můžeme tedy tyto exponenty zapsat symbolicky

$3k$ ,

$k=0,1,\ldots,9$ .
Všechny členy rozvoje výrazu

$\left( 1+x^2 \right)^{10}$ obsahují v exponetu mocniny

$x$ sudé číslo, můžeme tedy tyto exponenty zapsat symbolicky

$2l$ ,

$l=0,1,\ldots,10$ .
Všechny členy v prvním rozvoji se násobí se všemi členy druhého rozvoje, exponenty u mocnin

$x$ se při násobení sčítají. Zjistíme tedy, jaké hodnoty můžeme dosadit za

$k$ a

$l$ tak, aby platilo

$3k + 2l = 14$ :

$14 = 3 \cdot 0 + 2 \cdot 7$

$14 = 3 \cdot 2 + 2 \cdot 4$

$14 = 3 \cdot 4 + 2 \cdot 1$

Hledáme tedy první, třetí a pátý člen rozvoje výrazu

$\left( 1-x^3 \right)^9$ a osmý, pátý a druhý člen rozvoje výrazu

$\left( 1+x^2 \right)^{10}$ . Každé dva odpovídající členy vynásobíme a vzniklé tři výsledky sečteme.

$\displaystyle{9 \choose 0}\left(x^3\right)^0 \cdot \displaystyle{10 \choose 7} \left( x^2 \right)^7 = 120\,x^{14}$

$\displaystyle{9 \choose 2}\left(x^3\right)^2 \cdot \displaystyle{10 \choose 4} \left( x^2 \right)^4 = 7\,560\,x^{14}$

$\displaystyle{9 \choose 4}\left(x^3\right)^4 \cdot \displaystyle{10 \choose 1} \left( x^2 \right)^1 = 1\,260\,x^{14}$

$120\,x^{14} + 7\,560\,x^{14} + 1\,260\,x^{14} = 8\,940\,x^{14}$

Úloha 4.22

Vypočítejte:

$\displaystyle{18 \choose 0} + \displaystyle{18 \choose 1} + \displaystyle{18 \choose 2} + \ldots + \displaystyle{18 \choose 17} + \displaystyle{18 \choose 18}$

Zobrazit řešení

Výsledek: $\boldsymbol{2^{18} = 262\,144}$

Úloha 4.23

Dokažte, že číslo $11^{10}-1$ je dělitelné číslem $100$ .

Zobrazit řešení

Důkaz:

$11^{10}-1$	$=(10+1)^{10}-1=$
	$= \displaystyle{10 \choose 0}10^{10} + \displaystyle{10 \choose 1}10^9 + \displaystyle{10 \choose 2}10^8 + \ldots + \displaystyle{10 \choose 8}10^2 + \displaystyle{10 \choose 9}10 + \color{red}{\displaystyle{10 \choose 10}} - 1 =$
	$= \displaystyle{10 \choose 0}10^{10} + \displaystyle{10 \choose 1}10^9 + \displaystyle{10 \choose 2}10^8 + \ldots + \displaystyle{10 \choose 8}10^2 + \displaystyle{10 \choose 9}10 + \color{red}{1} - 1 =$
	$= \displaystyle{10 \choose 0}10^{10} + \displaystyle{10 \choose 1}10^9 + \displaystyle{10 \choose 2}10^8 + \ldots + \displaystyle{10 \choose 8}10^2 + \color{green}{\displaystyle{10 \choose 9}}10 =$
	$= \displaystyle{10 \choose 0}10^{10} + \displaystyle{10 \choose 1}10^9 + \displaystyle{10 \choose 2}10^8 + \ldots + \displaystyle{10 \choose 8}10^2 + \color{green}{10} \cdot 10 =$
	$= 10^2 \left[ \displaystyle{10 \choose 0}10^{8} + \displaystyle{10 \choose 1}10^7 + \displaystyle{10 \choose 2}10^6 + \ldots + \displaystyle{10 \choose 8} + 1 \right] =$
	$= 100k$ , kde $k$ je přirozené číslo.

Úloha 4.24

Užitím binomické věty dokažte, že číslo $6^{2n}-1$ je pro každé přirozené číslo $n$ dělitelné sedmi.

Zobrazit řešení

Důkaz:
1. způsob

$6^{2n}-1$	$= (7-1)^{2n} - 1 =$
	$= \displaystyle{2n \choose 0}7^{2n} - \displaystyle{2n \choose 1}7^{2n-1} + \displaystyle{2n \choose 2}7^{2n-2} - \displaystyle{2n \choose 3}7^{2n-3} + \ldots + \displaystyle{2n \choose 2n-1}7 \cdot (-1)^{2n-1} + \color{red}{\displaystyle{2n \choose 2n}(-1)^{2n}} - 1 =$
	$= \displaystyle{2n \choose 0}7^{2n} - \displaystyle{2n \choose 1}7^{2n-1} + \displaystyle{2n \choose 2}7^{2n-2} - \displaystyle{2n \choose 3}7^{2n-3} + \ldots + \displaystyle{2n \choose 2n-1}7 \cdot (-1)^{2n-1} + \color{red}{1} - 1 =$
	$= \displaystyle{2n \choose 0}7^{2n} - \displaystyle{2n \choose 1}7^{2n-1} + \displaystyle{2n \choose 2}7^{2n-2} - \displaystyle{2n \choose 3}7^{2n-3} + \ldots + \displaystyle{2n \choose 2n-1}7 \cdot (-1)^{2n-1} =$
	$= 7 \left[ \displaystyle{2n \choose 0}7^{2n-1} - \displaystyle{2n \choose 1}7^{2n-2} + \displaystyle{2n \choose 2}7^{2n-3} - \displaystyle{2n \choose 3}7^{2n-4} + \ldots + \displaystyle{2n \choose 2n-1} (-1)^{2n-1} \right] =$
	$= 7k$ , kde $k$ je celé číslo.

Pro každé přirozené číslo

$n$ tedy platí

$6^{2n} - 1 = 7k$ , daný výraz je tedy pro každé přirozené číslo

$n$ dělitelný sedmi.

2. způsob

$6^{2n}-1$	$= 36^n - 1 = (35+1)^n - 1 =$
	$= \displaystyle{n \choose 0}35^n + \displaystyle{n \choose 1}35^{n-1} + \displaystyle{n \choose 2}35^{n-2} + \ldots + \displaystyle{n \choose n-1}35 + \color{red}{\displaystyle{n \choose n}} - 1 =$
	$= \displaystyle{n \choose 0}35^n + \displaystyle{n \choose 1}35^{n-1} + \displaystyle{n \choose 2}35^{n-2} + \ldots + \displaystyle{n \choose n-1}35 + \color{red}{1} - 1 =$
	$= \displaystyle{n \choose 0}35^n + \displaystyle{n \choose 1}35^{n-1} + \displaystyle{n \choose 2}35^{n-2} + \ldots + \displaystyle{n \choose n-1}35 =$
	$= 35 \left[ \displaystyle{n \choose 0}35^{n-1} + \displaystyle{n \choose 1}35^{n-2} + \displaystyle{n \choose 2}35^{n-3} + \ldots + \displaystyle{n \choose n-1} \right] =$
	$= 35k_1$ , kde $k_1$ je celé číslo.

$35k_1 = 7 \cdot 5 k_1 = 7k_2$ , kde

$k_2$ je celé číslo.
Pro každé přirozené číslo

$n$ tedy platí

$6^{2n} = 7k_2$ daný výraz je tedy pro každé přirozené číslo

$n$ dělitelný sedmi.

Úloha 4.25

Pomocí binomické věty dokažte, že platí:

$\displaystyle{n \choose 0} - \displaystyle{n \choose 1} + \displaystyle{n \choose 2} - \displaystyle{n \choose 3} + \ldots + (-1)^{n-1}\displaystyle{n \choose n-1} + (-1)^n\displaystyle{n \choose n} = 0$

Zobrazit řešení

Důkaz:

Úloha 4.26

Kolik sčítanců dostaneme po umocnění $(a+b+c)^7$ ?
(Úlohu neřešte rozepisováním binomického rozvoje, ale kombinatorickou úvahou.)

Zobrazit řešení

Výsledek: $K'(7,3) = \boldsymbol{36}$

Kombinatorika

Kombinační čísla

Úlohy