Kombinatorika

Počet bodů za otázku: 2

Otázka

Kolika způsoby je možné dojít po vyznačených úsečkách z bodu $A$ do bodu $B$, pokud se můžeme pohybovat pouze nahoru nebo vpravo?

Přiřaďte obrázky zadání k správným počtům možností.

Odpověď

Možnost Vaše odpověď Možné odpovědi

$$ {6 \choose 3} $$

$$ {6 \choose 4} $$

$$ {7 \choose 4} $$

$$ {8 \choose 4} $$

Poznámka

Počet bodů za otázku: 1

Otázka

Na matematiku je ve třídě nadaných $8$ z žáků. Na český jazyk je ve třídě nadaných $10$ žáků. Na matematiku i český jazyk jsou nadáni $2$ žáci. Všichni žáci ve třídě jsou nadaní na alespoň jeden z těchto předmětů.

Kolik je žáků ve třídě?

Odpověď

Poznámka

Do pole odpovědi můžete psát i jednoduché aritmetické výrazy. Můžete používat sčítání (+), odčítání (-), násobení (*), dělení (/) a kulaté závorky.

Počet bodů za otázku: 1

Otázka: Máme $n$ kuliček. Chceme je uspořádat do řady. Seřaďte možnosti podle počtu způsobů, kterými to můžeme udělat od největšího po nejmenší. Uvažujte $n$ dělitelné čtyřmi.
Možnosti: Polovina kuliček je jednoho typu. Zbylé kuličky jsou navzájem rozdílné.

Všechny kuličky jsou navzájem rozdílné.

Polovina kuliček je jednoho typu. Zbylé kuličky jsou druhého typu.

Polovina kuliček je jednoho typu. Čtvrtina kuliček je druhého typu. Zbylé kuličky jsou třetího typu.

Všechny kuličky jsou stejné.
Poznámka: Do polí vedle možností vyplňte čísla od 1 do 5 podle pořadí prvků.

Počet bodů za otázku: 1

Otázka

Máme k dispozici

$5$ stejných jídelních vagonů,
$2$ stejné vagony první třídy,
$4$ stejné vagony druhé třídy.

Kolik existuje různých způsobů, jak sestavit vagony vlaku za sebe, pokud musí být oba vagony první třídy vedle sebe?

Možnosti

$$ {10 \choose 5} (= 252) $$

$$ \frac{11!}{5!\,4!\,2!} (= 6\,930) $$

$$ \frac{10!}{5!\,4!} (=1\,260) $$

$$ 5! + 4! + 2! (= 146) $$

$$ 5! \cdot 4! (= 2\,880) $$

Počet bodů za otázku: 3

Otázka

Přiřaďte k sobě kombinatorické pojmy s jejich vyjádřeními.

Možnosti

Počet permutací z $n$ prvků, v jichž se jednotlivé prvky opakují $k_1, k_2, \ldots , k_n$-krát

$k$-členná kombinace s opakováním z $n$ prvků

$k$-členná variace s opakováním z $n$ prvků

Přiřazení

$$ {n \choose k} $$
$$ { {k_1 \cdot k_2 \ldots k_n} \choose { k_1 + k_2 + \ldots + k_n } } $$
$$ n^k $$
$$ \frac{(k_1 + k_2 + \ldots + k_n)!}{k_1!\,k_2!\,\ldots\,k_n!} $$
$$ {n + k - 1 \choose k} $$

Poznámka

Přiřazení provedete tak, že do vyplňovacího pole napíšete písmenko dané možnosti.

Počet bodů za otázku: 2

Otázka: Vyberte všechny výrazy, které jsou rovny $$ {n \choose k } \cdot (k-1)! $$
Možnosti: $$ \frac{n!}{(n - k + 1)!} $$

$$ \frac{n!}{(n - k - 1)!} $$

$$ {n - 1 \choose k} \cdot \frac{n \cdot (k - 1)!}{n - k} $$

$$ \frac{n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot \ldots \cdot (n - k + 1)}{k} $$

$$ {n \choose n - k} \cdot (k - 1)! $$

Počet bodů za otázku: 1

Otázka: K večeři můžeme vybrat oblohu z pěti druhů zeleniny. Každý druh zeleniny můžeme a nemusíme do oblohy přidat. Kolik máme možností, z jakých druhů bude obloha sestavena?
Odpověď
Poznámka: Do pole odpovědi můžete psát i jednoduché aritmetické výrazy. Můžete používat sčítání (+), odčítání (-), násobení (*), dělení (/) a kulaté závorky.

Kombinatorika

Souhrnný test

Titulní strana

Úvod

Základní kombinatorická pravidla

Variace, permutace, kombinace

Variace, permutace, kombinace s opakováním

Kombinační čísla

Souhrnný test

Literatura a zdroje