\begin{align}
\end{align}
Cvičení - Rozklad mnohočlenu na součin
V následujících cvičeních vždy předpokládáme, že proměnné jsou z oboru reálných čísel.
Cvičení 3.18
Přiřaď odpovídající si výrazy:
Cvičení 3.19
Rozlož mnohočlen na součin vhodným vytknutím před závorku:
a) \(4t- 2tu - 12t^2 = \;\)
\(2t(2 - u - 6t)\)
b) \(3t^2 - t = \;\)
\(t(3t - 1)\)
c) \(t^3 - 4t^2 - 3t + 12 = \;\)
\(t^2(t - 4) - 3(t - 4) = \;\)\((t - 4)(t^2 - 3) = \;\)\((t - 4)\left(t - \sqrt{3\;}\right)\left(t + \sqrt{3\;}\right)\)
d) \(2t^2 - tu - 12t + 6u = \;\)
\(t(2t - u) - 6(2t - u) = \;\)\((2t - u)(t - 6)\)
Cvičení 3.20
Rozhodni, zda platí:
Cvičení 3.21
Rozlož mnohočlen na součin s využitím vzorců:
a) \(9x^2 + 6x + 1 = \;\)
\((3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 1 + 1^2 = \;\)\((3x + 1)^2\)
Využili jsme vzorec \(a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\),
kde \(a = 3x\), \(b = 1\).
b) \(x^4 - 25 = \;\)
\(\left(x^2\right)^2 - 5^2 = \;\)\(\left(x^2 - 5\right)\left(x^2 + 5\right)\)
Využili jsme vzorec \(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\),
kde \(a = x^2\), \(b = 5\).
c) \(27z^3 + 8 = \;\)
\((3z)^3 + 2^3 = \,\)\((3z + 2)\left[(3z)^2 - 3z \cdot 2 + 2^2 \right] = \;\)\((3z + 2)(9z^2 - 6z + 4)\)
Využili jsme vzorec \(a^3 + b^3= (a + b)(a^2 - ab + b^2)\),
kde \(a = 3z\), \(b = 2\).
d) \(125y^3 - 1 = \;\)
\((5y)^3 - 1^3 = \;\)\((5y - 1)\left[(5y)^2 + 5y \cdot 1 + 1^2 \right] = \;\)\((5y - 1)(25y^2 + 5y + 1)\)
Využili jsme vzorec \(a^3 - b^3= (a - b)(a^2 + ab + b^2)\),
kde \(a = 5y\), \(b = 1\).
e) \(64x^3 - 48x^2y + 12xy^2 - y^3 = \;\)
\((4x)^3 - 3 \cdot (4x)^2 \cdot y + 3 \cdot 4x \cdot y^2 - y^3 = \;\)\((4x - y)^3\)
Využili jsme vzorec \(a^3 -3a^2b + 3ab^2 - b^3 = (a - b)^3\),
kde \(a = 4x\), \(b = y\).
Cvičení 3.22
Přiřaď odpovídající si výrazy:
Cvičení 3.23
Rozlož kvadratický trojčlen na součin dvou lineárních dvojčlenů s celočíselnými
koeficienty:
a) \(x^2 - 10x + 24\)
- Hledáme čísla \(r\), \(s \in \mathbb Z\) taková, že:
\(24 = r \cdot s \wedge -\,10 = -\,(r + s)\)
- První podmínce vyhovují následující kombinace:
\(24 = 24 \cdot 1 = (-\,24)(-\,1) = 12 \cdot 2 = (-\,12)(-\,2) = 8 \cdot 3 = (-\,8)(-\,3) = 6 \cdot 4 = (-\,6)(-\,4)\)
- Nyní postupně dosazujeme jednotlivé kombinace do druhé podmínky a zjišťujeme, zda platí.
Vidíme, že druhá podmínka je splněna pro \(-\,10 = -\,(6 + 4)\),
tj. \(r = 6\), \(s = 4\).
- Výsledek je tedy \(x^2 - 10x + 24 = (x - 6)(x - 4)\).
b) \(k^2 - k - 2\)
- Hledáme čísla \(r\), \(s \in \mathbb Z\) taková, že:
\(-\,2 = r \cdot s \wedge -\,1 = -\,(r + s)\)
- První podmínce vyhovují následující kombinace:
\(-\,2 = (-\,2) \cdot 1 = 2 \cdot (-\,1)\)
- Druhá podmínka je splněna pro kombinaci \(r = 2\), \(s = -\,1\),
protože \(-\,1 = -\,(2 - 1)\).
- Výsledek je tedy \(k^2 - k - 2 = (k - 2)\left(k - (-\,1)\right) = (k - 2)(k + 1)\).
c) \(m^2 + 9m + 14\)
- Hledáme čísla \(r\), \(s \in \mathbb Z\) taková, že:
\(14 = r \cdot s \wedge 9 = -\,(r + s)\)
- První podmínce vyhovují následující kombinace:
\(14 = 14 \cdot 1 = (-\,14)(-\,1) = 7 \cdot 2 = (-\,7)(-\,2)\)
- Druhá podmínka je splněna pro kombinaci \(r = -\,7\), \(s = -\,2\),
protože \(9 = -\,(-\,7 - 2)\).
- Výsledek je tedy \(m^2 + 9m + 14 = \left(m - (-\,7)\right)\left(m - (-\,2)\right) = (m + 7)(m + 2)\).
d) \(p^2 - 5p + 12\)
- Hledáme čísla \(r\), \(s \in \mathbb Z\) taková, že:
\(12 = r \cdot s \wedge -\,5 = -\,(r + s)\)
- První podmínce vyhovují následující kombinace:
\(12 = 12 \cdot 1 = (-\,12)(-\,1) = 6 \cdot 2 = (-\,6)(-\,2) = 4 \cdot 3 = (-\,4)(-\,3)\)
- Žádná kombinace ovšem nesplňuje druhou podmínku.
- Tento kvadratický trojčlen proto nelze rozložit na součin dvou lineárních dvojčlenů s celočíselnými koeficienty.
Cvičení 3.24 
Rozlož následující mnohočleny na součin:
a) \((3x + 2)^2 + 3x = \;\)
\(9x^2 + 12x + 4 + 3x = \;\)\(9x^2 + 3x + 12x + 4 = \;\)\(3x(3x + 1) + 4(3x + 1) = \;\)
\(= (3x + 1)(3x + 4)\)
b) \(-\,27x^2 - 12y^2 + 36xy = \;\)
\(-\,3(9x^2 + 4y^2 - 12xy) = \;\)\(-\,3(9x^2 - 12xy + 4y^2) = \;\)\(-\,3(3x - 2y)^2\)
c) \(4x^2 - 4 + 6x = \;\)
\(4x^2 - 1 - 3 + 6x = \;\)\((2x - 1)(2x + 1) + 3(-1 + 2x) = \;\)\((2x - 1)(2x + 1 + 3) = \;\)
\(= (2x - 1)(2x + 4)\)
d) \(x^2 - 15 - 2x = \;\)
\(x^2 - 9 - 6 - 2x = \;\)\((x - 3)(x + 3) - 2(3 + x) = \;\)\((x + 3)(x - 3 - 2) = \;\)\((x + 3)(x - 5)\)
Cvičení 3.25
Jaké nejmenší hodnoty může nabývat výraz \(p^2 + 4p + q^2 - 6q + r^2\) ?
Upravíme výraz tak, aby se v něm objevovaly druhé mocniny (ty jsou vždy nezáporné).
\(p^2 + 4p + q^2 - 6q + r^2 = p^2 + 4p + 4 - 4 + q^2 - 6q + 9 - 9 + r^2 = \;\)
\(= (p + 2)^2 - 4 + (q - 3)^2 - 9 + r^2 = \;\)\((p + 2)^2 + (q - 3)^2 + r^2 - 13\)
Výraz může nabývat nejmenší hodnoty \(- \,13\),
protože druhá mocnina libovolného čísla
je vždy větší nebo rovna nule.
