4.4 Vyjádření neznámé ze vzorce
Vzorce se využívají nejen v matematice či fyzice, ale v podstatě ve všech vědních oborech.
Ne vždy jsou ovšem uvedeny ve tvaru, který potřebujeme, proto je musíme vhodně upravit.
Chceme-li např. zjistit délku strany \(b\) obdélníku, jehož obsah \(S\) a délku
strany \(a\) známe (např. \(S = 20\) \(\rm cm^2\), \(a = 4\) cm),
nelze vzorec pro obsah \(S = ab\) přímo použít. Můžeme ovšem do tohoto vzorce dosadit konkrétní hodnoty a následnými
úpravami dojít k požadovanému výsledku:
\(\displaystyle 20 \; \rm cm^2\) \(\displaystyle = 4\) cm \(\displaystyle \cdot b\) \(\displaystyle \; \Rightarrow \; \frac {20} {4}\) cm \(\displaystyle = b \; \Rightarrow \; b = 5\) cm
Druhou možností je nejprve ze vzorce vyjádřit hledanou neznámou a až poté dosadit konkrétní hodnoty. Při vyjadřování neznámé ze vzorce přitom považujeme všechny ostatní proměnné za konstanty. V našem příkladě se tedy snažíme vyjádřit neznámou proměnnou \(b\) ze vzorce \(S = ab\), ve kterém všechny další proměnné, tj. \(S\) a \(a\), bereme jako konstanty:
\(\displaystyle S = ab \; \Rightarrow \; b = \frac {S} {a}\)
Po dosazení zadaných hodnot dostáváme:
\(\displaystyle b = \frac {20} {4}\) cm \(\displaystyle \; \Rightarrow \; b = 5\) cm
Druhá možnost je výhodnější, a to z několika důvodů. Za prvé, při změně konkrétních vstupních hodnot lze snadno přepočítat hodnotu hledané neznámé, např. pro \(S = 28\) \(\rm cm^2\), \(a = 7\) cm rychle zjistíme, že
\(\displaystyle b = \frac {28} {7}\) cm \(\displaystyle \; \Rightarrow \; b = 4\) cm.
V mnoha případech máme také od počátku zadané různé varianty
konkrétních hodnot proměnných a vyjádření neznámé ze vzorce nám ušetří čas řešení. V neposlední řadě je také
mnohdy užitečné vidět a zkoumat, jaká závislost platí mezi neznámou a ostatními proměnnými ve vzorci.
Při vyjadřování neznámé ze vzorce využíváme pouze dříve získané matematické znalosti, zejména z kapitoly týkající se výrazů a lomených výrazů. Důležité je uvědomit si prioritu matematických operací. Při úpravách vzorců však platí stejná pravidla, jako při úpravách výrazů.
Příklad 4.15
Řešení
V uvedeném vzorci považujeme povrch \(S\) a poloměr podstavy \(r\) kužele za konstanty. Iracionální číslo \(\pi\), jehož přibližná hodnota činí \(3,14\), je také konstantou (viz téma Výrazy). Pomocí postupných, matematicky korektních úprav, se snažíme osamostatnit neznámou \(s\).
\(\begin{eqnarray} S &= & \pi r(r + s) \\ S &= & \pi r^2 + \pi rs \\ S - \pi r^2 &= & \pi rs \\ \frac {S - \pi r^2} {\pi r} &= & s \end{eqnarray}\)
Poloměr \(r\) podstavy rotačního kužele je vždy kladné číslo, proto lze bez omezení dělit.
Vyjádření neznámé \(s\) ze vzorce pro povrch \(S\) kužele má tvar
\(\displaystyle s = \frac {S - \pi r^2} {\pi r}\).
Příklad 4.16
\(\displaystyle V = \frac {1} {3}S_p \cdot v\),
kde \(S_p\) značí obsah podstavy a \(v\) výšku jehlanu. Za předpokladu, že podstavu jehlanu tvoří pravidelný šestiúhelník o straně \(a\), jehož obsah lze vyjádřit vztahem
\(\displaystyle S = \frac {3\sqrt{3}} {2}a^2\),
doplň chybějící údaje v následující tabulce:
| výška \(v\) (cm) | \(\; \sqrt{3} \;\) | \(\; \sqrt{3} \;\) | \(2 \sqrt{3}\) | \(2 \sqrt{3}\) |
| objem \(V\) (\(\bf cm^3\)) | \(1,5\) | \(6\) | \(27\) | \(75\) |
| strana \(a\) (cm) | \(\) | \(\) | \(\) | \(\) |
Řešení
Nejprve si vyjádříme ze vzorce neznámou \(a\). Stačí si uvědomit, že dle zadání platí \(S_p = S\). Poté upravujeme:
\(\begin{eqnarray} V &= & \frac {1} {3}S_p \cdot v = \frac {1} {3}S \cdot v\\ V &= & \frac {1} {3} \cdot \frac {3\sqrt{3}} {2}a^2v \\ V &= & \frac {\sqrt{3}} {2}a^2v \\ a^2 &= & \frac {2V} {\sqrt{3}v} \\ a &= & \sqrt{\frac {2V} {\sqrt{3}v}} \end{eqnarray}\)
Nyní dopočítáme délku strany \(a\) pro konkrétní zadané hodnoty. Například pro výšku \(v = \sqrt{3}\) cm a objem jehlanu \(V = 1,5\) \(\rm cm^3\) platí pro délku strany \(a\):
\(\displaystyle a = \sqrt{\frac {2 \cdot 1, 5} {\sqrt{3} \cdot \sqrt {3}}}\) cm
\(\displaystyle = \sqrt {\frac {3} {3}}\) cm
\(a = 1\) cm
| výška \(v\) (cm) | \(\; \sqrt{3} \;\) | \(\; \sqrt{3} \;\) | \(2 \sqrt{3}\) | \(2 \sqrt{3}\) |
| objem \(V\) (\(\bf cm^3\)) | \(1,5\) | \(6\) | \(27\) | \(75\) |
| strana \(a\) (cm) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(5\) |
Cvičení k této části.
