\begin{align} \end{align}


2.1 Mocniny s přirozeným mocnitelem

V matematice se setkáváme se složitými výpočty, přesto se matematici snaží zapisovat své výsledky a výpočty co nejelegantněji, aby byly stručné a přehledné. Proto se místo zápisu \(2+2+2+2\) používá elegantnější zápis \(2 \cdot 4\). Obdobně místo součinu \(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2\) píšeme \(2^4\), tedy zápis pomocí mocniny.

A jak vlastně mocninu s přirozeným mocnitelem definujeme?

Definice

Pro každé reálné číslo \(a\) a každé přirozené číslo \(n\) je:

\(\displaystyle a^n = \underbrace {a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \; činitelů}\)

Číslo \(a\) nazýváme základ mocniny (mocněnec), \(n\) je mocnitel (exponent) a \(a^n\) je mocnina.
mocnina

Říkáme, že "umocníme číslo \(a\) na \(n\)-tou".

Tedy \(2^4 = \underbrace {2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}_{4 \; činitelé} = 16\).

Z uvedené definice dále vyplývá, že:

1. pro každé reálné číslo \(a\) platí \(a^1 = a\)
Zobrazit

2. pro každé přirozené číslo \(n\) platí \(1^n = 1\) a \(0^n = 0\)
Zobrazit

Příklad 2.1

Umocni:
a) \(3^3\) b) \((-\,2)^5\) c) \((5,7)^1\) d) \(0^4\) e) \(1^7\)

Řešení

a) \(3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27\)
b) \((-\,2)^5 = (-\,2) \cdot (-\,2) \cdot (-\,2) \cdot (-\,2) \cdot (-\,2)= -\,32\)
c) \((5,7)^1 = 5,7\)
d) \(0^4 = 0 \cdot 0 \cdot 0 \cdot 0 = 0\)
e) \(1^7 = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1\)


Nyní se podíváme, kdy je mocnina reálného čísla \(a\) s přirozeným mocnitelem \(n\) kladné a kdy záporné číslo.

  • Je-li základ mocniny kladné reálné číslo (\(a > 0\)), tak je mocnina vžy kladná, což vidíme přímo z definice (součin kladných čísel je kladné číslo).
  • Je-li základ mocniny záporné reálné číslo (\(a < 0\)), tak mohou nastat dva případy.
    • Pokud je mocnitel sudé číslo, mocnina je číslo kladné (součin sudého počtu záporných čísel je číslo kladné), např. \((-\,3)^4 = (-\,3) \cdot (-\,3) \cdot (-\,3) \cdot (-\,3) = 81\).
    • Je-li však mocnitel liché číslo, pak mocnina je číslo záporné (součin lichého počtu záporných čísel je číslo záporné), např. \((-\,3)^3 = (-\,3) \cdot (-\,3) \cdot (-\,3) = -\,27\).
  • Je-li základ mocniny číslo nula, pak je mocnina rovna nule.

\(a > 0\) \(a^n > 0\)
\(a < 0\) \(a^n > 0\) pro \(n\) sudé
\(a^n < 0\) pro \(n\) liché
\(a = 0\) \(a^n = 0\)

Pozor! Je rozdíl mezi zápisem \((-\,2)^4\) a \(-\,2^4\). V prvním případě je \(a = -\,2\), tj. \(a < 0\), a zároveň \(n\) je sudé, proto je tato mocnina číslo kladné. Druhý případ lze přepsat jako \((-\,1) \cdot 2^4 = -\,1 \cdot 16 = -\,16\), tudíž výsledek je číslo záporné.

Příklad 2.2

Rozhodni, zda se jedná o kladné číslo:
a) \(\displaystyle 25^{13}\) Ano, protože \(a > 0\).
b) \(\displaystyle (-\,5)^{3}\) Ne, protože \(a < 0\) a \(n\) je liché.
c) \(\displaystyle \left(\frac{1}{8}\right)^{201}\)
\(\; \;\) Řešení \(\; \;\)
 Ano, protože \(a > 0\).
d) \(\displaystyle (-\,7)^{126}\) Ano, protože \(a < 0\) a \(n\) je sudé.
e) \(-\,6^{12}\) Ne, protože mocnina \(\displaystyle 6^{12}\) je kladné číslo, které pak vynásobíme \(-1\).
f) \(\displaystyle (-\,0,2)^{9}\) Ne, protože \(a < 0\) a \(n\) je liché.
g) \(-\,8^{15}\) Ne, protože mocnina \(\displaystyle 8^{15}\) je kladné číslo, které pak vynásobíme \(-1\).


Abychom mohli počítat i o něco složitější příklady, uvedeme si pravidla pro počítání s mocninami s přirozeným exponentem, které lze odvodit z definice mocniny.

Pro každá dvě reálná čísla \(a\), \(b\) a pro každá přirozená čísla \(k\), \(l\) platí:
1. \(\displaystyle a^k \cdot a^l = a^{k\,+ \,l}\) 2. \(\displaystyle \left(a^k\right)^l = a^{k \, \cdot \, l}\) 3. \(\displaystyle \frac {a^k}{a^l} = a^{k \, - \, l}\), \(a \neq 0\), \(\; k > l\)
4. \(\displaystyle (a \cdot b)^k = a^k \cdot b^k\) 5. \(\displaystyle \left(\frac {a}{b}\right)^k = \frac {a^k}{b^k}\), \(\; \; b \neq 0\)
Důkaz:

1. Zobrazit

2. Zobrazit

3. Zobrazit

4. Zobrazit

5. Zobrazit


Příklad 2.3

Vypočítej s využitím výše uvedených pravidel:
a) \(\displaystyle (-\,2)^3 \cdot (-\,2)^2\) b) \(\displaystyle \left(5^3 \right)^1\) c) \(\displaystyle \frac {7^6}{7^4}\) d) \(\displaystyle (-\,2 \cdot 3)^2\) e) \(\displaystyle \left(\frac {1}{2}\right)^4\)

Řešení

a) \(\displaystyle (-\,2)^3 \cdot (-\,2)^2 = (-\,2)^{3\,+\,2} = (-\,2)^5 = -32\)

b) \(\displaystyle \left(5^3\right)^1 = 5^{3 \,\cdot 1} = 5^3 = 125\)

c) \(\displaystyle \frac {7^6}{7^4} = 7^{6-4} = 7^2 = 49\)

d) \(\displaystyle (-\,2 \cdot 3)^2 = (-\,2)^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36\)

e) \(\displaystyle \left(\frac {1}{2}\right)^4 = \frac {1^4}{2^4} = \frac {1}{16}\)


A jakým způsobem sčítáme a odčítáme mocniny?

Sčítat a odčítat můžeme jen ty mocniny, které mají stejný základ a stejného mocnitele.

Příklad 2.4

Vypočítej:
a) \(\displaystyle 6 \cdot 4^2 - 5 \cdot 4^2 + 2 \cdot 4^2\) b) \(\displaystyle (-\,2)^3 + 3 \cdot (-\,2)^3\)
c) \(\displaystyle 2^2 + 2^3 + 3 \cdot 2^2\) d) \(\displaystyle 5^2 - 3^2 + 5^3 + 3^4 - 2 \cdot 5^3\)

Řešení

a) \(\displaystyle 6 \cdot 4^2 - 5 \cdot 4^2 + 2 \cdot 4^2 = (6 - 5 + 2) \cdot 4^2 = 3 \cdot 4^2 = 3 \cdot 16 = 48\)

b) \(\displaystyle (-\,2)^3 + 3 \cdot (-\,2)^3 = (1 + 3) \cdot (-\,2)^3 = 4 \cdot (-\,2)^3 = 4 \cdot (-\,8) = -\,32\)

c) \(\displaystyle 2^2 + 2^3 + 3 \cdot 2^2 = 4 \cdot 2^2 + 2^3 = 4 \cdot 4 + 8 = 24\)

d) \(\displaystyle 5^2 - 3^2 + 5^3 + 3^4 - 2 \cdot 5^3 = 5^2 - 3^2 - 5^3 + 3^4 = 25 - 9 - 125 + 81 = -\,28\)


Cvičení k této části.