Základní poznatky z matematiky

Ve výrazu \(2 \pi r\) rozliš konstanty a proměnné. Následně urči obor proměnné.

Řešení

Pomocí výrazu \(2 \pi r\) lze vypočítat obvod kruhu.
Konstantami jsou čísla \(2\) a \(\pi\) (jejich hodnota je stále stejná, konstantní).
Proměnnou je v tomto případě písmeno \(r\), vyjadřující poloměr daného kruhu (poloměr se pro různé kruhy může měnit, proměňovat, a s ním i obvod kruhu).

A jaký je obor proměnné \(r\) pro výraz \(2 \pi r\)? Díváme-li se na tento výraz jako na vztah pro výpočet obvodu kruhu, tak obor proměnné je tvořen všemi kladnými reálnými čísly (poloměr kruhu, tedy proměnná \(r\), nemůže nabývat záporných hodnot ani nuly). Jestliže však výraz \(2 \pi r\) chápeme obecněji, jako výraz se dvěma konstantami a jednou proměnnou, pak do oboru proměnné zahrnujeme všechna reálná čísla.

Urči hodnotu výrazu pro dané hodnoty proměnných:

a) \(\displaystyle \frac {a + 5}{4 - a}\), pro \(a = 3\)	b) \(\displaystyle x^2 \cdot \sqrt {y - 2\;}\), pro \(x = -\,2\), \(y = 6\)
c) \(\displaystyle \frac {|k - 5|}{(l + 1)^2 \cdot \sqrt {k\;}}\), pro \(k = 4\), \(l = 2\)	d) \(\displaystyle \frac {\sqrt {6 - p\;}}{|-2 + q|}\), pro \(p = 5\), \(q = 2\)

Řešení

a) Po dosazení \(a = 3\) do výrazu dostaneme:
\(\displaystyle \; \; \; \frac {3 + 5}{4 - 3} = \frac {8}{1} = 8\)

b) Po dosazení \(x = - \,2\), \(y = 6\) do výrazu dostaneme:
\(\displaystyle \; \; \; (-\,2)^2 \cdot \sqrt {6 - 2\;} = 4 \cdot \sqrt {4} = 4 \cdot 2 = 8\)

c) Po dosazení \(k = 4\), \(l = 2\) do výrazu dostaneme:
\(\displaystyle \; \; \; \frac {|4 - 5|}{(2 + 1)^2 \cdot \sqrt {4\;}} = \frac {|-1|}{3^2 \cdot 2} = \frac {1}{9 \cdot 2} = \frac {1}{18}\)

d) Pro zadané hodnoty proměnných nelze určit hodnotu výrazu. Po dosazení za proměnnou \(q\) ve jmenovateli by nastala nepřípustná operace, a to dělení nulou.

Urči definiční obor proměnné \(r\) ve výrazu \(2 \pi r\).

Řešení

Pokud výraz \(2 \pi r\) chápeme jako vztah pro výpočet obvodu kruhu, pak je definiční obor proměnné \(r\) tvořen všemi kladnými reálnými čísly.
Jestliže však výraz \(2 \pi r\) chápeme obecněji, jako výraz se dvěma konstantami a jednou proměnnou, pak do definičního oboru patří všechna reálná čísla.
Do definičního oboru proměnné v tomto příkladu tedy patří všechny hodnoty z oboru proměnné, což ovšem neplatí vždy.

Urči podmínky, za kterých má daný výraz smysl:

a) \(\displaystyle V_1 = \frac {1 + x}{2 - x}\)

b) \(\displaystyle V_2 = \frac {x \cdot \sqrt{x - 5\;}}{y^2 - 9}\)

c) \(\displaystyle V_3 = \frac {\sqrt {x^2 + 2\;}}{\sqrt {y + 3\;} \cdot \left(|z - 6| - 2\right)}\)

Řešení

a) Výraz \(V_1\) obsahuje proměnnou \(x\).

• Výraz má smysl, pokud je jmenovatel nenulový (v opačném případě by nastala nepřípustná operace dělení nulou).
  Výraz tedy má smysl pro všechna \(x \in \mathbb R\), pro která je \(2 - x \neq 0\), tj. \(x \neq 2\).
• Podmínky: \(x \in \mathbb R - \{2\}\)

b) Výraz \(V_2\) obsahuje proměnné \(x\) a \(y\).

• Pro proměnnou \(x\) musí platit, že \(x - 5 \geq 0\), tj. \(x \geq 5\).
  Zaručíme tím, že odmocňujeme nezáporné číslo.
• Zároveň pro proměnnou \(y\) musí platit, že \(y^2 - 9 \neq 0\), tedy \(y^2 \neq 9\), tj. \(y \neq \pm 3\).
  Tím vyloučíme případ dělení nulou.
• Podmínky: \(x \in \mathbb R \wedge x \geq 5\), \(y \in \mathbb R - \{\pm 3\}\)

c) Výraz \(V_3\) obsahuje proměnné \(x\), \(y\) a \(z\).

• Pro proměnnou \(x\) musí platit, že \(x^2 + 2 \geq 0\), tj. \(x^2 \geq -\,2\).
  V opačném případě bychom odmocňovali záporné číslo, což je v oboru reálných čísel nepřípustná operace.
  Uvedenou podmínku splňují všechna \(x \in \mathbb R\), protože druhá mocnina libovolného čísla je vždy větší nebo rovna nule.
• Zároveň musí pro proměnnou \(y\) platit, že \(y + 3 > 0\), tj. \(y > -\,3\).
  Musíme totiž zaručit, že výraz pod odmocninou je nezáporné číslo a zároveň že je jmenovatel nenulový (přitom platí, že součin je roven nule právě tehdy, když alespoň jeden z činitelů je roven nule). Výraz pod odmocninou tedy musí být kladné číslo.
• Také druhý činitel ve jmenovateli musí být různý od nuly, aby měl výraz smysl.
  Pro proměnnou \(z\) tedy musí platit, že \(| z - 6 | - 2 \neq 0\), tj. \(|z - 6| \neq 2\), tedy \(z \neq 4 \wedge z \neq 8\).
• Podmínky: \(x \in \mathbb R\), \(y \in \mathbb R \wedge y > -\,3\), \(z \in \mathbb R - \{4,8\}\)

Zapiš jako výraz se zvolenými proměnnými (např. \(x\), \(y\), \(z\)):
a) součet šestinásobku třetí mocniny prvního čísla a třetiny absolutní hodnoty druhého čísla
b) rozdíl druhé odmocniny z dvojnásobku prvního čísla a druhé mocniny čtyřnásobku druhého čísla
c) součin dvojnásobku prvního čísla a čtvrtiny druhé odmocniny z druhého čísla
d) podíl čtvrté mocniny prvního čísla a absolutní hodnoty dvojnásobku druhého čísla
e) rozdíl \(25\, \%\) ze základu \(z\) a trojnásobku \(18 \, \%\) z tohoto základu

Řešení

a) \(\displaystyle 6x^3 + \frac {1}{3}|y|\)

b) \(\displaystyle \sqrt {2x\;} - (4y)^2\)

c) \(\displaystyle 2x \cdot \frac {1}{4} \sqrt {y}\)

d) \(\displaystyle \frac {x^4}{|2y|}\)

d) \(\displaystyle 0,25z - 3 \cdot 0,18z\)

Slovní úloha
Třída 2.B, do které chodí 24 žáků, měla naplánovanou školní exkurzi. Uvažujme, že pokladník na dopravu dohromady vybral \(k\) Kč (což je cena za 24 zpátečních obyčejných jízdenek) a předal je učiteli. V den exkurze se 3 žáci nedostavili. Učitel využil množstevní slevu a koupil pro přítomné žáky hromadnou zpáteční jízdenku. Tím ušetřil čtvrtinu z celkové vybrané částky, přičemž každý zúčastněný žák ušetřil 9 Kč oproti původnímu plánu. Jakou částku vybral celkově pokladník? Jakou částku vybíral od každého spolužáka?

Řešení

Počet žáků ve třídě \(\dots\) 24
Celková cena za dopravu \(\dots\) \(k\) Kč
Původní cena za dopravu na žáka \(\dots\) \(\frac {k} {24}\) Kč
Celková cena za dopravu po slevě \(\dots\) \(0,75k\) Kč
Skutečná cena za dopravu na žáka \(\dots\) \(\frac {0,75k} {21}\) Kč
Rozdíl původní a skutečné ceny za dopravu na žáka \(\dots\) \(9\) Kč, tedy
\(\displaystyle \; \; \; 9 = \frac {k} {24} - \frac {0,75k} {21}\)

\(\displaystyle \; \; \; 9 = \frac {21k - 24 \cdot \frac {3} {4}k} {504} = \frac {21k - 18k} {504} = \frac {3k} {504} = \frac {k} {168}\)

\(\displaystyle \; \; \; k = 168 \cdot 9 = 1\,512\)

Původní cena na žáka \(\dots \) \(\displaystyle \frac {k} {24} = \frac {1\,512} {24} = 63\) Kč.

Pokladník celkově vybral \(1\,512\) Kč. Od každého spolužáka vybíral \(63\) Kč.