Logika a teorie množin (NMTM503/NMUM505)


Informace (aktualizováno 11.10.2021):

  • Z důvodu říjnových pedagogických praxí se předmět začíná učit až v 6. týdnu semestru, první přednáška tedy bude 2.11. 9:50 v učebně K12 (3. patro, Karlín). (Proběhl pokus domluvit začátek o týden dřív, někteří z vás však mají praxe ještě v úterý 26.10.
  • Předmět Logika a teorie množin je poměrně náročný v tom smyslu, že od vás nejspíš bude vyžadovat jiný způsob přemýšlení, než jste dosud byli zvyklí. I když tomuto faktu přizpůsobuji sylabus a snažím se naučit aspoň to základní pořádně (tj. s vaším porozuměním), není to snadné ve skráceném semestru. Nemohu tedy bohužel vyloučit, že si jednu (možná i dvě) přednášky budeme muset přidat. Dosud se to bez toho nikdy neobešlo.
  • Budeme probírat především teorii množin, logice se budeme věnovat spíše okrajově při vhodných příležitostech. Níže uvedené zkouškové požadavky jsou z minulých let a koncem semestru se možná trochu změní podle toho, co stihneme.
  • Teď poprvé budu psát stručný doprovodný text pro tento předmět. Ten musí být hotový cca do konce kalendářního roku, takže se z něj budete moci učit na zkoušku (i tak si ale na přednáškách pište poznámky). Nejspíš ho však nebudu schopen dát dohromady včas, abyste ho mohli sledovat v průběhu přednášky (znáte mě).


Zkouška: Rozsah zkoušené látky se bude držet přednášky, maximálně se může objevit něco ze skript (která budete ode mě mít), co se na přednášce nestihlo; každopádně nebudete muset hledat nikde jinde. Při zkoušce Vám dále můžu zadat nějakou jednoduchou úlohu na rozmyšlení (typicky se snadným důkazem z definice) nebo prostě "zvídavou otázku". Zkouška bude probíhat formou ústního zkoušení s přípravou; dostanete tedy otázky, které si budete moci předem rozmyslet a poté si o nich popovídáme.
Případná online zkouška: Preferovaný způsob bude prezenční; nebude-li to však možné (ať už obecně, nebo v konkrétních závažnýc případech), zkouška proběhne přes Zoom. V tom případě bude pravděpodobně minimální čas na přípravu a zkouška proběhne spíše formou rozhovoru, během nějž se budu snažit poznat, jestli se v problematice orientujete.

Požadavky (koncem semestru mohou být upraveny): Obecně vzato se mohu ptát na cokoliv, co bylo na přednášce, ale je několik klíčových věcí, na které je potřeba se zaměřit. Jde především o následující: Axiomy TM (komentář k jejich významu); rozdíl mezi třídou a množinou; univerzální třída; Russellův paradox (případně další paradoxy); relace ekvivalence a uspořádání (různé typy a příklady); uspořádání inkluzí na potenční množině; úplný svaz; Věta o pevném bodě (s důkazem); mohutnost (subvalence, ekvipotence); Cantorova-Bernsteinova věta (s důkazem); přirozená čísla v teorii množin, jejich uspořádání a operace; princip matematické indukce i s jeho (velmi jednoduchým) důkazem; další číselné obory; Věta o konstrukci rekurzí (bez důkazu); Cantorova věta o mohutnosti potence (potence množiny má vždy ostře větší mohutnost než množina sama); konečné množiny (stačí definice a základní vlastnosti); spočetné a nespočetné množiny a jejich základní vlastnosti; "omega krát omega" je spočetná; množina racionálních čísel je spočetná; množina reálných čísel je nespočetná (Cantorovou diagonální metodou i pomocí ekvipotence s "dvě na omega"); hypotéza kontinua a její nerozhodnutelnost (co to znamená?); axiom výběru; základy o ordinálech a kardinálech.


Doporučené materiály:

  • Bohuslav Balcar, Petr Štěpánek: Teorie množin (Academia). Tato výborná kniha pokrývá veškerou teorii množin v sylabu, tedy větší část kurzu. Není to však snadná úvodní kniha a bude tedy možná vhodnější číst jen některé její části; rozhodně však knihu můžete začít číst už nyní. V knize je obsáhlý a čtivý úvod, který vysvětluje některé historické souvislosti a dává motivaci pro vznik a studium teorie množin. V následujících kapitolách je teorie množin postupně budována velmi rigorózním způsobem.
  • Slidy kolegy Petra Glivického jsou ke stažení zde. Stejně jako výše uvedená kniha obsahují více látky, než budeme potřebovat, dají se však použít jako přehledné shrnutí.

Ideální učební materiál pro tento předmět neexistuje. Proto se budeme spoléhat především na přednášku.


Online přednášky z loňska ke stažení: POZOR, každý rok to dělám trochu jinak; tyto záznamy tedy v žádném případě nepovažujte za náhradu přednášky.