Principy hamonicke analyzy 2022/23
Zapis prednasek. Stale plati, ze aktualni jsou prednasky.
Letos vycnechana neuplnst Q_p pro p>3. Orientujte se e-mailem o tom, co zkousim.
Zaslete, zda chcete pro zkousku vynechat kap. 3 nebo 6 nebo ani jednu. Motivaci (prolog a historii nezkousim...). Vetu o spektralnim polomeru jsem v poznamkach upravil oproti
lonskym podle prednasek, kdybyste lonske cetli a nechodili na prednasky. Casti o maximalnich idealech muze byt udelana mirne jinak, viz Deitmar, Echterhoff: Principles... ,
kdyby Vam to vyhovovalo; tato publikace muze byt i doplnkem pro vetu Gelfand-Najmark.
Priklad ze strany 47 nezkousim.
[1]
Matematika pro fyziky 1 2021/22 (3. semestr M pro f)
Zadani priklady na "procviceni":
[1],
[2],
[3],
[4],
[5],
[6],
[7],
Reseni domacich uloh: 1. DU 17. listopadu, 2. DU (pocatkem prosince)
Matematicka analyza I - 2020/2021
Zakladni kurz analyzy pro studenty fyziky: zaklady matematiky, limity, derivace, primitivni funkce, prubehy funkci, Riemannuv integral. Prednasejici
dr. Dusan Pokorny.
Priklady na procvicovani: [a], [b], [c],
[d], [e], [f] (vice mene tabulkove integraly, intervaly nemusite urcovat),
[g] (zde aspon nejake, ne nutne maximalni, intervaly), [h], [i],
[j], [k], [l],
[m] (procviceni mezikroku pri vysterovani prubehu; jde o prohloubeni pro zajemce)
Priklady ze cviceni: [1], [2], [3],
[4], [5],[6], [7],
[8], [9],[10], zoom nenahral nic po 14:05[11],
[12],[13]
vzor DU2, vzor DU4, vzor DU5
vzor pisemka 1, vzor pisemka 2, vzor pisemka 3
Tabulka s body
Zpetna vazba
Tabulka s derivacemi a integraly
Tabulka se substitucemi
Tabulka s Taylorovymi radami
Principy harmonicke analyzy - 2020/2021
Poznamky z prednasek (prestal jsem oznacovat odpadlou prednasku a dodal zapisky z hodiny o GN-vete, jako prednasku 10): [P1], [P2] (vc. cviceni) [P2-dodatek],
[P3], [P4], [P5], [P6]
[P7][P8], [P9] mnoho poznamek - ty jsou jen na whiteboard, [P10],
[P11], [P12]
Introduction: History and Motivation: Heat equation, Fourier series (L^2-convergence, uniform convergence, limiting operation exchange), Schwartz space, Fourier transform; transform
<--> series, exponential (homomorphism), convolution - associativity; Gelfand transform and commutative algebras; I. Kaplansky, Rieffel, I. Segal, A. Connes approchaes to models of
mathematical quantum physics
Recalling of Topology and Measure: topological group, local compactness, Borel sigma-algebras, Radon measure, Haar measure, Euclidean, subset, discrete, co-countable topology;
(R,+), two (Q,+), (R^+, .), GL(n, R), O(n,R) - topol. groups, topological group of p-adic numbers
Existence of the Haar measure (using Tychonov thm., Weil construction), uniqueness (hint to a proof); existence on Lie groups; modular factors
Basics on (topological) representation thy: irreducibility, abelian groups irred. reps, Schur lemma for fin. dim. reps., Peter--Weyl thm. (without proof, applications), irred. reps of
S^1, Z, R
C*-algebras and Gelfand thm.: Fourier transform on L^1(G), Banach *-algebras, C^*-algebras, invertible elements, spectras, spectral radius, state space and maximal ideals,
Gelfand thm.
Pontryagin thm. (partial proof)
Poisson summation for theta functions
Poznamky ze cviceni: [C1]; cviceni 2 je s prednaskou 2 a Dodatky vyse; prednasky 3 - 5 obsahuji priklady (byt poskrovnu);
zapisy ze cviceni soucasti prednasky 6, tvorilo znacnou cast prednasky; zapisky cviceni 7 soucasti zapisku prednasky - predevsim nearchimedovskost Q_p
(maxima na whiteboradu, spise trivialni, netreba jej cist), zapisky
cviceni 8 jsou podrobne, s komentarem, na bile tabuli a v nahravce na zoomu; zde jsou zapisky z nej [C8];
cviceni 9 soucasti prednasky, i zoomu a whiteboardu, kde slo hlavne slo o souvislosti F. t. a F. koef.; cviceni 10 soucasti zapisku z prednasky;
zapisky cviceni 11 (ne prilis) a 12 jsou soucasti poznamek z prislusnych prednasek
Linearni algebra I - 2019/2020
Zakladni kurz linearni algebry pro studenty obecne fyziky: vektorove prostory, linearni zobrazeni, souradnice vektoru, matice a operace s nimi,
vlastni cisla a vektory linearnich zobrazeni a determinanty
Domaci stranka prednasek a cviceni, kde najdete 1. informace o zkousce, 2. o zapoctech, 3. cviceni, 4. kvizy a 5. seznamy bodu k zapoctu
a) z pisemek ze cviceni (dva + jeden test), i tech pridelovanych prubezne, tj. za b) kvizy a c) domaci ulohy popr. bonusovych bodu
Linearni algebra I - 2018/2019
Zakladni kurz linearni algebry pro studenty obecne fyziky: vektorove prostory, linearni zobrazeni, souradnice vektoru, matice a operace s nimi,
vlastni cisla a vektory linearnich zobrazeni a aplikace
Domaci stranka prednasky, kde najdete informace o zkousce, zapoctech, kvizy a seznamy bodu z a) pisemek i tech pridelovanych prubezne za b) kvizy a c) domaci ulohy
Matematicka analyza pro fyziky II - cviceni, 2017/18
Podminky: 2 pisemky po 20 bodech, aktivni ucast 5; na zapocet staci 20; opakovani zapoctu jen pri ucasti 75 procent nebo vice
Pokrocile partie z teorie grup pro fyziky, 2017/18
Lieovy grupy - topologie a mira, Haarova veta o mire na lokalne kompaktnich grupach: priklady
Zaklady teorie reprezentaci (predevsim kompaktnich) Lieovych grup, Weylova veta
Superalgebry - superprostory, End, super-Lieovy algebry
Heisenbergova grupa a Stonova-Neumannova veta, reprezentace Segala-Shalea-Weila
Literatura: M. Sepanski - Compact Lie Groups; S. Sternberg - Group Theory and Physics;
R. Goodman, N. Wallach - Invariants and Representation Theory of Classical Groups;
N. Vilenkin, A. Klimyk - Representation Theory and Special Functions; A. Deitmar, S. Echterhoff - Principles of Harmonic Analysis;
G. Warner, Harmonic Analysis on Semi-Simple Lie Groups I
Odprednasena latka
Riemannova geometrie 1 - 2017/18
Riemannovy plochy, 2017/18
Teorie invariantu (2/2)
Predevsim pro studenty matematickych struktur nebo sifrovani a pro vsechny, kdo se zajimaji o invarianty z teoretickeho hlediska -
napr. studenty teoreticke a jaderne fyziky nebo geometrie. Budeme se zabyvat reprezentacemi polojednoduchych algeber (zejmena grupove algebry konecnych grup).
Prostor invariantu ztotoznime s prostorem P(P_n(V))^G, V = C^2. Napr. jeste v soucasnsti nejsou zname (byt jen projektivni!)
invarianty algebraickych krivek stupne 12 ve dvou promennych. Dokazeme Hilbertovu vetu o konecne dimenzi invariantu, spocteme dimenzi jejich
prostoru stupne k a rekneme par vet
o jejich konstrukci a podle ajmu posluchacu o invariantech v prostorech modulu v geometrii a invariantech v teorii cisel.
- Motivace: Historie, Co je invariant?, binarni kvadriky a jejich projektivni invarianty
- Zaklady reprezentaci asociativnich algeber (shrnuti zakladnich vysledku, opakovani)
- Reprezentace jednoduchych asociativni algeber
- Reprezentace grupovych algeber konecnych grup
- Zakladni fakta o reprezentacich Lieovych grup, zejmena grupy SL(2,C)
- Invarianty binarnich n-ik: dimenze jejich prostoru, nektere konstrukce
- Prehled kombinatoricky struktur pro GL- a SO-invarianty (Schur, Weyl, Young)
- Pokud se stihne: Prostory modulu, invarianty v komutativni algebre, grupa protinani a Chowuv okruh
Harmonicka analyza I (3/1) - 2016/2017
Fourierova analyza ma sve zobecneni pro jine grupy nez translacni grupu (R^n,+) , na jejichz L^2-funkcich Fourierova transformace pusobi.
Gelfandova transformace je jejim zobecnenim na abstraktni C*-algebru. Naucime se jak z obecne lokalne kompaktni grupy vytvorit
Banachovu algebru, jak se reprezentuje a jake ma spektrum. Teorie bude ilustrovana priklady znamymi z realne a komplexni matematicke analyzy.
- Lokalne kompaktni topologicke grupy.
- Tychonovova veta o soucinu kompaktu.
- Modifikovana Weilova konstrukce Haarovy miry na lokalne kompaktnich topologickych grupach.
- Zaklady C*-algeber.
- Gelfandova transformace. Spektrum C*-algebry.
- Pontryaginova dualita.
- Priklady aplikace Pontryaginovy duality.
- Unitarni dualy podle Segala.
Matematika pro fyziky III ZS (5. semestr)
Organizacni zalezitosti vc. informaci pro komb. studenty, prubehu zkousky a hodnoceni
Obsah prednasky vc. sylabu, akt. probranych temat a literatury
Cviceni priklady a informace obecnejsi povahy: viz organ. zal. nebo stranky dr. Doubka na karlinskem serveru
Matematika pro fyziky II LS (4. semestr)
Matematika pro fyziky I ZS (3. semestr)
Matematicka analyza II LS (2. semestr)
Matematicka analyza I ZS (1. semestr)
Pokrocile partie teorie grup pro fyziky
Prednaska je urecena predevsim pro studenty teoreticke a jaderne fyziky, matematicke analyzy (toerie miry)
a matematickych struktur (teorie grup, geometrie, moduly), ale i vsem zajemcum o pocatky teorie reprezentaci, a jeji aplikace
v jinych oblastech matematiky (napr. tzv. specialni funkce) a ve fyzice (moderni pojem castice).
Predpokladaji se znalosti linearni algebry, zaklady variet (matematici: definice, tecne zobrazeni, integrace na varietach, fyzici: plochy, tecne zobrazeni,
integrace na plochach) a povedomi z teorie Lebesguova integralu (pojem miry).
Znalosti fyziky nejsou predpokladany, ale usnadni porozumeni v aplikacich.
Temata:
- Priklady Lieovych grup, Haarova mira na kompaktni Lieove grupe
- Zaklady reprezentaci kompaktnich L. grup v konecne dimenzi: uplna reducibilita, Schurovo lemma
- Zaklady reprezentaci kompaktnich L. grup na Hilbertovych prostorech:
Schurovo lemma, uplna reducibilita, Peter-Weyluv teorem (event. Plancharelova formule)
- Odvozeni nekterych znamych formuli z Fourierovych rad a Fourierovych transformaci pomoci aplikace vyse uvedene
teorie na grupu S^1 a na R^n
- Aplikace na teorii specialnich funkci: definice, rekurentni formule, diferencialni rovnice
pro Besselovy fce 1. druhu, Legendreovy polynomy (event. i pro Hermiteovy funkce)
- Klasifikace reprezentaci semidirektnich soucinu grup (Wigner) aneb unitarni dual Poincareho grupy (Harish-Chandra)
Odtud definice castice a klasifikace castic v ramci kvantove mechaniky invariantni vuci STR - hmotne castice (daneho spinu), nehmotne castice (dane helicity), vakua, nepripustnych stavu.
Matematici se nemusi bat...Fyzici se dozvi dukaz klasifikace.
- Klasicke super Lieovy algebry: priklady super Lieovych algeber (zneni klasifikacni vety V. Kace); pokud zbyde cas, klasifikacni veta Victora Kace.
Literatura:
- M. Siepanski, Compact Lie groups, Springer
- H. Weyl, Gruppentheorie und Quantummechanik, Leipzig; existuje anglicky preklad
- M. Vilenkin, K. Klimyk, Specialnyje funkcije i predstavljenia; existuje anglicky preklad
- S. Sternberg, Group Theory and Physcs - velmi doporucuji, neb se z teto muzete dozvedet nejen
mnohe z Lieovych (vc. konecnych) grup, ale i ze spektroskopie, krystalografie
a i z klasickych kalibracnich teorii (osmi dilna cesta, hon na kvarky aj. objevy fyziky castic vysokych energii)
- V. Kac, Classification of simple Lie super algebras, Annals of Mathematics
Cteni z ruznych partii teorie cisel spolecne s L. Krizkou, zajemci z rad studentu
matematicke struktur, matematicke analyzy, popr. teoreticke a jaderne fyziky a dalsich jsou srdecne zvani
- Cteme knihu From Arithmetics to Physics a Introduction to the Langlands programme, doplnky zakladnejsich neznalosti z Bundschuh: Einfuehrung in die Zahlentheorie
- Cteni se v LS 07/08 kona o utercich od 16. hod. v ucebne K12, o ctvrtcich v sem. mist MU UK od 16. hod. kazdy lichy tyden a v teze mistnosti od 17:30 kazdy sudy tyden (po skonceni Cteni z teorie strun)
- Cteni autmofnich a modularnich forem, LS 10/11, termin zatim nestanoven
Cteni z matematickych aspektu teorie strun - mimo rozvrh fakulty
- Zakladnim textem jsou Dijkgraafovy lekce "Les Houches Lectures on Fields, Strings and Duality"
ze zimni skoly v Les Houches; vhled do fyzikalnich aspektu - ruzne texty na webu.
Text lekci
- Terminy
- Aktualni terminy: seminare se budou konat ve ctvrtek 16:10 -17:40 v sem. mist.MUUK v tertim patre na Karline.
- LS 04/05: 2 dimenzionalni kvantova teorie pole - klasifikace teorii pomoci Frobeniovych algeber
- Prazdniny 04/05: svazkove kohomologie[1],[2];
divizory, Riemann-Rochova veta na Riemannovych plochach [3];
navod na reseni prikladu na rod Fermatovy krivky nakryvajici Riemannovu sferu, spocteny pomoci
Riemann-Hurwitzovy formule je mozno v ponekud nestd. cestine najit zde [4]
- ZS 05/06 dimenze regularizovaneho Teichmuellerova prostoru (dokonceni z min. semestru);
konformni teorie pole, vertexove algebry; text (bohuzel v nj, ale velmi dobry) [CQFT],
Seiberg-Wittenova teorie - viz T. Friedrich: Dirac Operators on Riemannian manifolds, Teubner-Verlag.
- O zkouskovem a prazdninach by mel cist L. Krizka na tema Homologicka zrcadlita symetrie and Fukayovy kategorie
- Stav: tento semestr jsme probrali zaklady Osterwald-Schraderovy axiomatiky CFT; nestihli jsme prvni exkurzi do
4dQTF - tj. Seiberg-Wittenovu teorii
- ZS 06/07 Libor mluvil o vertexovych algebrach a o 2dCQFT
- LS 06/07 Homologicka zrcadlita symetrie a Fukayovy kategorie. Einsteinovy variety: homogenni variety vs. Kaehlerovy variety jako zakl. priklady
Einsteinovych variet, Calabi-Yau variety: nadplochy v projektivnim prostoru, projektivni prostory nejsou (vypocet pomoci Chernovych trid),
nekompaktni kvadrika v C^3, Morseho teorie: zaklady - Morseho polynom dominuje Poincareove polynomu, slabe Morseovy nerovnosti
a veta o alternujici sume. Pokracujeme Floerovymi kohomologiemi, formulaci hypotezy o zrcadlite symetrii bez Morseho a Floerovy teorie (lagrangeovske
fibrace), pomoci techto teorii, algebraicka verze: Fukayovy kategorie (znalost derivovanych kategorii na urovni oprednasek M. Markla vitana)
- ZS 07/08 seminar se bude konat v sem. mist MU UK na Karline o ctvrtcich od 16. hodiny;
liche tydny (pocinaje 4.10.07): Supersymetrie a supervariety; sude tydny: Floerovy homologie a zrcadlita symetrie, derivovane kategorie a D-brany, uvod do dzeta funkci
- LS 07/08 seminar se bude konat v sem. mist MU UK o ctvrtcich od 16. hod.; liche tydny: supersymetrie a supervariety; sude tydny
aritmeticky Langlandsuv program.
- ZS 08/09 opet v sem. mist. MUUK o ctvrtcich od 16. h. Pokracujeme v supersymetriich, tentokrate uvazovanych vice fyzikalne; zakladnimi texty jsou Deligneovy texty ze supersymetrickeho roku na Princetonu.
- LS 08/09 opet v sem. mist MUUK o ctvrtcich od 16.h. Prestali jsem cist Deligneovy texty, ktere jsme vlastne cist temer ani nezacali.
Cteme clanek Tsygan, Dolgushev
o formalite (DG-algebry, DGL-algebry, BV-algebry, Gerstenhaberovy algebry a Kontsevichova veta).
Budeme pokracovat ruznymi aspekty deformacniho kvantovani.
- ZS 09/10 opet. v sem. kst. MUUK, ale o stredach v 16.30. Tentokrate se venujeme spise (alespon formou) matematickemu tematu, a sice
Derivovanym kategoriim a jejich aplikacim v teorii ekvivariantnich D-modulu dle Weibela, Bernsteina-Luntse a bruselskych lekci
Schmida, doplnek o kvazikoherentnich svazcich z Poncina.
Cviceni z Matematicke analyzy II LS
Cviceni z matematicke analyzy I ZS 08/09 - neaktualni
Cviceni z matematiky pro fyziky IV (5. semestr) ZS
Doporucuji sbirku/skripta prikladu doc. Kopacka (M pro F V) a ke cteni knihu Cihak a kol. (vydanou v Matfyzpressu) jako referenci,
byt doc. Prazak bude postupovat v jinem poradi a nekdy volit jine pristupy nez tam uvedene. Celkem vhodna je stud.
text prof. Soucka na jeho webu, byt drobne chyby.
- Zacali jsem opakovanim Fourierovy transformace funkci z L^1 a L^2. Musime dodelat tranformaci maticove exponencialy
- gaussovskeho baliku, resp. "vlnove funkce lokalizovane castice"; jde o jisty prechod mezi p a x reprezentaci, ale v kvantovce mate navic i
- tj. tam jde o distribuci, viz pozdeji na cviceni.
- Probrali jsme zaklady Laplaceovy transformace, spocitali priklad na Besselovy funkce (separace p.d.r. vlnoveho typu do
cylidrickych souradnic)
- Nyni pociteme s distribucemi: derivace, nasobeni; bude Fourierova transformace, Gelfandovy distribuce; zrejme
i sfericky symetricke distribuce, meli bychom pocitat s v.p. 1/x distribuci
- Byla: Gama-funkce, dzeta funkce a Mellinova transformace
- Hlavnim tematem bude jeste reseni prisl. parcialek
Cviceni z matematiky pro fyziky II ZS
- Cvici se podle sbirek doc. Kopacka
- k Matematice pro fyziky III
(temata: Lebesgueuv integral, krivkovy a plosny integral)
- k Matematice pro fyziky II
(variacni pocet)
- k Matematice pro fyziky IV (Fourierovy rady) - pokud zbyde cas
Reprezentace Lieovych grup 1 ZS
- Pouzivame knihu Goodman, Wallach: Invariants and Representation theory of Classical Groups
- Odkaz na stranku prof. Goodmana
- a knihu Sternberg: Group theory and physics
- Temata
- Asociativni algebry a jejich reprezentace: jedn., polojedn. alg. a konecne grupy a jejich reprezentace,
abstraktni tvrzeni o dvojitem komutantu
- Schurova dualita pro symetrickou grupu - explicitni realizace reprezentaci symetricke a obecne
linearni grupy bez pouziti teorie nejvyssich vah (Weylovy moduly a Youngovy symetrizatory)
- Rozklady tenzorovych soucinu pro GL (Gelfanduv integralne geometricky pristup) pomoci indukce na symetricke grupe
- [Text prednasky]
Cviceni z linearni algebry II LS
- odkaz na stranky prof. Soucka, kde je mozne nalezt text prednasek
- cvici se podle sbirek:
- Matematika pro fyziky II
- Vyborny a kol: Cvicime lin. algebru
- Vybranym specialnim tematem je Lorentzova grupa, tj. symetrie Specialni teorie relativity;
jeji geometricke a topologicke vlastnosti
- Regulerni temata: vl. cisla, vl. vektory; Jordanuv tvar; kvadraticke formy a jejich normalni tvary; kuzelosecky a jejich klasifikace
Reprezentace Lieovych grup 2 LS 06, LS 07, LS 08
- Pouzivam knihu Dixmier: Enveloping algebras, Knapp: Cohomology of Lie algebras a Vogan: Unitary representations of reductive Lie groups
- Temata:
- 1. Univerzalni obalujici algebra: Poincare-Birkhoff-de Witt teorem, noetherovskost, Nullteilerfreiheit
- 2. Verma moduly (borelsovske): injektivnost homomorfizmu, klasifikace homomorfizmu, Hasseho graf
- 3. Analyticka verze Bott-Borel-Weil vety
- 4. Kostantova verze BBW vety a kohomologie Lieovych algeber
- 5. Pokud zbyde cas, trocha strukturni teorie jednoduchych a parabolickych Lieovych grup a algeber]
- Zkouska: Univ. obal algebra (definice abstraktni a pomoci faktoru tenzorove algebry), PBW teorem, Verma moduly (vlastnosti Verma modulu, injektivnost homomorfizmu a jejich pocet,
BGG teorem pro Bruhatove usporadani),
BBW teorem pro GL(n,C), U(n) (bez reference k komplexifikaci, souvislost s holomorfnosti, holomorfni homogenni vahy na sfere), pro obecnou Borelovu podgrupu (alespon schematicky bez reference k strukturni teorii),
Kohomologie Lieovych algeber (interpretace 1. kohomologie pomoci extenzi, Kostantova veta pro borelovsky pripad)
Reprezentace Lieovych grup 3
Charakterove formule; homogenni symetricke prostory a Satakeho diagramy; duality Schur-Weyl-Howe-Wallachova typu
Reprezentace Lieovych grup 4
Prednaska je postavena na nekt. kapitolach knihy
A. W. Knapp, Represtenations of Lie Groups: On Overview based on Examples (tzv. cerveny Knapp)
Probrali jsme a probereme:
Pojmy: Vsechny admisibilni reprezentace SL(2,R), resp. C;
K-konecne a hladke vektory a vety s nimi souvisejici; Iwasawuv rozklad, Cartanovu involuci, kompaktni a nekompaktni koreny,
Langlandsuv rozklad, indukovane reprezentace; sferecke funkce, Harish-Chandruv prostor S,
"rychle mizet podel sten Weylovych komor".
Vety: irreducibilita holo. pro Sl(2); ireduc. unit. pro sl(2); unitarni irr. ==> admis.; admis. irr. ==> admis.;
Vety "kolem" Gardingovych prostoru; Langladsova veta
Pripravte se na to, ze vse, co bylo predpovezeno (tj. i casti dukazu), muze byt zkouseno.
Ty casti dukazu, ktere jsme neudelali, zkouseny nebudou.
Premyslejte nad datu zkousky - jednotnem, prosim. Zapsanao ma Vitek a Tomas.
Linearni algebra I ZS
- Obecne informace o prednasce, cviceni, zapoctu a zkousce [1]
- Texty pana Psena, Formanka a ostatnich studentu (po me kontrole): [2]
Zapis 12. a 13. prednasky nebyl zkontrolovan
- Gaussova eliminace [3]; rotace [4] oboji od Petra Franka
- Probrana temata
- Vektorovy prostor: zakladni pojmy
- Homomorfizmy vektorovych prostoru
- Vektorove prostory se skalarnim soucinem
- Reseni linearnich rovnic - konkretni (Gaussuv) algoritmus na cvicenich
- Determinanty
- Stopa a ortogonalni projektory
- Zkouska
- Byt se jedna z kapitol textu nazyva "Zbytky", je predmetem zkousky. Dukaz o projektorech nebude zkousen, veta samotna ano.
Veta o tom, ze O(n,R)={A| (Ax,Ax)=(x,x)} je grupa se muze objevit jako cast zkousky.
Nejsou zkouseny pouze probrane vety, ale i jejich drobne aplikace a dusledky, kterymi se zkousi Vase schopnost tvorive porozumet probirane latce
(dukaz o O(n,R) mezi tyto patri).
Veta o stope bude zkousena i s dukazem (napr. s tim ktery jsme probrali).
- Pocetni dovednosti: Gaussova eliminace (dimenze lin. obalu, reseni soustav rovnic, inverzni matice), Gramm-Schmidtova ortonormaliazce, vypocet determinantu (rozvojem, z definice), vypocet inverzni matice pomoci alg. doplnku, vypocet reseni rovnic n x n Cramerovym pravidlem, vypocet ortog. projektoru, matice l.z. vzhledem k bazim.
- Pojmy: Definice v.p., lin. zavislost, generovat, baze, dimenze, matice prechodu, slozky vektoru, linearni zobrazeni, matice linearniho zobrazeni, jadro ( = kernel) a obraz ( = image), rank ( = hodnost),
skalarni soucin (nad R i nad C), ortog. doplnek, soucet vektorovych ptrostoru, direktni soucet vektorovych prostoru, grupa, symetricka ( = permutacni) grupa, znamenko permutace, determinant, alg. doplnek, ortogonalni projektor, stopa.
- Zejmena se jedna o nasl. dulezite vety: Steinitzova, doplneni na bazi, o transformaci slozek vektoru a matice lin. zobrazeni, o jadre a obrazu, Cauchy-Schwartzova veta, trojuhelnikova nerovnost, o ortogonalnim doplnku, Frobeniova,
rank(A)=rank(A^T), vety o permutacni grupe, det(A)=det(A^T), det(AB)=det(A)det(B), rozvoj podle radku/sloupce, Crammerovo pravidlo a vzorec pro inverzi pomoci alg. doplnku.
Diferencialni geometrie krivek a ploch LS 06/07
Temata
- Zakladni vlastnosti afinnich a vektorovych prostoru; opakovani funkci vice promennych.
- Eukleidova geometrie krivek v R^n: Frenetuv reper, Frenetovy rovnice, krivky v R^2 (tecna, normala, krivost), krivky v R^3 (tecna, normala, binormala, krivost, torze).
Veta o shodnosti krivek.
- Eukleidova geometrie ploch v R^3: tecna (nad)rovina, normala, Gaussovo zobrazeni, 1. fundamentalni forma, 2. fundamentalni forma, normalni forma plochy,
hlavni smery krivosti, Gaussova, stredni a hlavni krivost, izometrie, izovolumina, konformni zobrazeni, Gaussova a Codazzi-Meinardiova rovnice,
Gauss-Bonnetuv teorem, Gaussova Theorema Egregium a dusledky, geodetiky a jejich rovnice, paralelni prenos, vektorova pole, primkove plochy, asymptoticke smery.
Literatura
- Klingenberg, W.: A Course in Differential Geometry, Springer-Verlag, New York-Heidelberg-Berlin, 1978.
- Bures, J., Hrubcik, K.: Diferencialni geometrie krivek a ploch, Karolinum, Praha, 1998.
- Poznamky doc. Rataje
Reprezentace Lieovych grup 2 LS 05
- Pouzivame knihu Goodman, Wallach: Invariants and Representation theory of Classical Groups
- Odkaz na stranku prof. Goodmana
- Temata ke zkousce (navrh):
- 1. Charakterove formule (Weyl, Klimyk, dimenze, Kostant, Freudenthal) - pouziti formuli pro urceni multiplicit vah a rozklad tenzorovych soucinu
- 2. Symetricke prostory - involuce klasickych grup, theta admisibilni vahy, anizotropni tory, Satakeho diagramy, grassmanniany, vlajkove variety, borelovske podgrupy, zobecnene uplne vlajkove variety
- 3. Rozklad afinniho okruhu regularnich funkci afinni variety s akci reduktivni grupy - spektrum afinni variety, jeho charakterizace pro sfericky par a G x G akci na Aff(G)
- 4. Kostant-Rallisuv teorem o separaci promennych vuci reduktivni grupe na invariantni a harmonickou cast (1971) a jeho dusledky (bez dukazu)
- 5. Opakovani: Hilbertuv Nullstellensatz a Basissatz
- 6. Zkouska: jedna veta z 5, tema 2-3, priklad na 1 a pr. Satakeho diagramu vc. theta admisibilni vahy
Cviceni z kalkulu IIb LS
- cvici se podle sbirek doc. Kopacka k
- Matematice pro fyziky IV (funkce komplexni promenne; Laplaceova a Fourierova transformace)
- Matematice pro fyziky II (variacni pocet pro klasicky funkcional)
Proseminar z diferencialni geometrie krivek a ploch LS
- Obsah proseminare je zameren na procvicovani temat probiranych
v odpovidajici prednasce, a to jak rutinnich vypoctu, tak i k dokazovani drobnych tvrzeni; k referatum studentu; a specialnimu tematu, kterym
letos jsou izometrie eukleidovskeho prostoru - popis grupy E(2) a jejich diskretnich podgrup (krystalografie); dokazeme, ze kazda diskretni podgrupa
grupy izometrii, neobsahujici translace je izomorfni dihedralni nebo cyklicke grupe (Leonardo da Vinci - kolem 1500); a bez dukazu
7 frizovych grup a 17 plakatovych grup.
Cviceni z kalkulu IIa ZS
- cvici se podle sbirek doc. Kopacka
- k Matematice pro fyziky III (integralni pocet)
- k Matematice pro fyziky II (extremy funkci vice promennych, konvergence rad a posloupnosti funkci)
- k Matematice pro fyziky IV (Fourierovy rady)
Cviceni z linearni algebry I ZS
- odkaz na stranky prof. Soucka, kde je mozne nalezt text prednasek
- cvici se podle sbirek:
- Matematika pro fyziky II
- Vyborny a kol: Cvicime lin. algebru
- vybranym spc. tematem jsou rotace v R^3, tj. grupa SO(3), vc. jejich topologickych vlastnosti