David Stanovský    //   

ALGEBRA I, II (2017/18)



Výsledky domácích cvičení ZS
Výsledky domácích cvičení LS
Výsledky prosemináře

Program ZS:

  1. Abstraktní teorie dělitelnosti - číselné obory, obory polynomů, základní věta aritmetiky pro obecné obory integrity, Eukleidův algoritmus, obory hlavních ideálů
  2. Algebra polynomů - vícenásobné kořeny, polynomy více proměnných, symetrické polynomy, kořenová a rozkladová rozšíření, základní věta algebry
  3. Tělesová rozšíření - rozšíření konečného stupně, algebraické a transcendentní prvky, konstrukce pravítkem a kružítkem
Program LS:
  1. Teorie grup - Lagrangeova věta, působení na množině a Burnsideova věta, cyklické grupy a výměna klíče
  2. Homomorfismy - isomorfismus, faktorobjekty a řešitelnost, grupy automorfismů a Galoisovy grupy tělesových rozšíření
  3. Galoisova teorie - řešení polynomiálních rovnic vs. tělesová rozšíření vs. vlastnosti Galoisových grup, Abel-Rufiniho věta: neexistuje vzorec pro kořeny polynomů stupně 5 a více

témadoporučené čtení domácí cvičení
4.10.Quo vadis mathematica. Definice a příklady oborů integrity.
Cv.: podobory, rozšíření R[a], R(a)
skripta 4.1, 4.2
$1M problems, Fieldsovy medajle
historie algebry
11.10.Elementární teorie čísel: základní věta aritmetiky, Eukleidův algoritmus, kongruence.
Cv.: kongruence, Eulerova věta
skripta 3.2, 3.3 DCV do 18.10. 10:40
18.10.Elementární teorie čísel: Eulerova věta, čínská věta o zbytcích.
Cv.: Eukleidův algoritmus
skripta 3.4, 3.5
25.10.Polynomy: definice, dělení se zbytkem, kořeny a dělitelnost.
Cv.: čínská věta o zbytcích
skripta 4.2, 10.1 DCV do 8.11. 10:40
1.11.Připomenutí oborů integrity, základní vlastnosti. Norma v kvadratických rozšířeních. Základní pojmy dělitelnosti.
Cv.: rozklady polynomů
skripta 4.1, 5, 8
8.11.---děkanský den---
15.11.Gaussovské obory, zobecnění základní věty aritmetiky.
Cv.: dělitelnost v Z[i]
skripta 5, 6 DCV do 29.11. 10:40
22.11.Důkaz zobecnění z.v.a., eukleidovské obory.
Cv.: dělitelnost v kvadratických rozšířeních Z
skripta 6, 7.1
29.11.Řešení diofantických rovnic v rozšířeních Z. Podílové těleso. Gaussova věta (úvod).
Cv.: dělitelnost pro polynomy více proměnných
skripta 8.2, 4.3, nový text o polynomech DCV do 13.12. 10:40
6.12.Gaussova věta (důkaz), Eisensteinovo kritérium. Konstrukce těles počítáním modulo polynom.
Cv.: konečná tělesa
nový text o polynomech
13.12.Kořenová a rozkladová nadtělesa. Symetrické polynomy (úvod).
Cv.: Eisenstein, kořenová a rozkladová nadtělesa
nový text o polynomech DCV do 3.1. 10:40
20.12.Symetrické polynomy (důkaz základní věty). Základní věta algebry.
Cv.: symetrické polynomy
nový text o polynomech,
ZVA na wikipedii
3.1.Základní věta algebry (dokončení důkazu). Tělesová rozšíření - algebraická čísla, stupeň, minimální polynom
Cv.: tělesová rozšíření
nový text o rozšířeních DCV do 12.1. 12:00
10.1.Stupeň rozšíření a konstrukce pravítkem a kružítkem.
Cv.: tělesová rozšíření
nový text o rozšířeních, skripta 26
19.2.Quo vadis algebra. Definice a příklady grup.
Cv.: podgrupy
nový text o grupách 1.1
26.2.Základní vlastnosti grup, řád prvku. Generátory podgrup. Lagrangeova věta.
Cv.: permutační grupy, generátory podgrup
nový text o grupách 1.2, 2.1, 2.2 DCV do 12.3. 10:40
5.3.Důkaz Lagrangeovy věty, vlastnosti rozkladů. Homomorfismy a izomorfismus grup.
Cv.: generátory podgrup
nový text o grupách 2.2, 2.3, 3.1, 3.2
12.3.Cayleyova a maticová reprezentace grup. Úvod cyklických grup.
Cv.: homomorfismy
skripta 14.4, nový text o grupách 3.4, 3.5 DCV do 26.3. 10:40
19.3.Struktura cyklických grup.
Cv.: izomorfismus
nový text o grupách 4
26.3.Výpočetní aspekty diskrétního logaritmu. Působení grupy na množině a Burnsideova věta.
Cv.: Burnsideova věta
nový text o grupách 5 DCV do 9.4. 10:40
2.4.---velikonoce---
Cv.: Burnsideova věta
Projděte si v novém textu
sekce 1.3, 3.3 a doučte se vše, co neznáte.
9.4.Faktorgrupy, řešitelné grupy.
Cv.: Faktorgrupy
skripta 22, nový text o grupách 6 DCV do 23.4. 10:40
16.4.Dokončení řešitelných grup. Okruhové homomorfismy a faktorokruhy.
Cv.: Řešitelnost, Faktorokruhy
nový text o grupách 6, skripta 23.1, 23.2
23.4.Faktorokruhy podle maximálního ideálu a prvoideálu. Kořenová a rozkladová nadtělesa.
Cv.: Faktorokruhy
nový text o grupách 6, skripta 23.1, 23.2 DCV do 9.5. 10:40
30.4.---přednáška se přesouvá na 7.5. 9:00---
Cv.: Grupy automorfismů
7.5.Izomorfismus kořenových a rozkladových nadtěles. Galoisova grupa polynomu a její výpočet (2 přednášky).
Cv.: Galoisova grupa
nový text o Galoisově teorii 2.1, 2.2 NOVÉ!!!
14.5.Řešitelnost polynomů v radikálech, Galoisova věta.
Cv.: Galoisova grupa
nový text o Galoisově teorii 3.1, 3.2
skripta 10.4, nový text o grupách 7
21.5.Neřešitelnost polynomů v radikálech (dokončení důkazu Galoisovy věty). Klasifikace konečných těles.
Cv.: asi Cardanovy vzorce
nový text o Galoisově teorii 3.3, skripta 28 DCV do 29.5. 14:00


Proseminář z algebry (NMAG261, LS) bude obsahovat různá témata prohlubující, doplňující a rozšiřující probíranou látku - teorie i aplikace. Proseminář je zvlášť doporučen všem studentům, kteří se v dalším studiu setkají s algebrou (tj. zejména studenti struktur a MIT).

témadoporučené čtení domácí cvičení
19.2.(DS) Kvaterniony, oktoniony, projektivní roviny. wikipedia: rotace, Hurwitzova věta
pěkná prezentace o kvaternionech a oktonionech
26.2.(DS) Projektivní rovina, Bézoutova věta, grupová operace na eliptické křivce. wikipedia: Bézoutova věta, eliptické křivky DCV do 12.3. 12:20
5.3.(JŠ) Elementární vlastnosti grup a pologrup
12.3.(JŠ) Volné grupy a pologrupy. DCV do 26.3. 12:20
19.3.(JŠ) Konečně prezentované grupy
26.3.(DS) Aplikace cyklických grup v kryptografii. Šifra AES. Ruohonenova učebnice sekce 5,8, AES na wikipedii
9.4.(DS) Úvod do algebraické topologie: fundamentální grupy fundamentální grupa, Poincarého domněnka, Kleinova lahev
16.4.(DS) Fundamentální grupa uzlu. fundamentální grupa uzlu, barvení uzlů, kniha Carter: How surfaces intersect DCV do 14.5. 12:20
23.4.(JŠ) Obory hlavních ideálů.
30.4.(JŠ) Čínská věta o zbytcích pro polynomy. Zornovo lemma a rozšíření do maximálního ideálu. DCV do 14.5. 12:20
7.5.(DS) Konstrukce algebraického uzávěru. skripta 27.2
14.5.(DS) Aplikace interpolace v konečných tělesech: sdílení tajemství a Reed-Solomonovy samoopravné kódy. Shamirovo sdílení tajemství, Hammingův kód, Reed-Salomonovy kódy DCV do 15.6. 14:00
21.5.(JŠ) Dovětek ke Galoisově teorii


Hromadné konzultace: každou středu 12:20 v posluchárně K9. Ukážu řešení posledních domácích cvičení a poté bude čas na vaše dotazy.

Domácí cvičení: Během semestru bude zadáno 6 sad domácích cvičení, průměr z 5 nejlepších sad se započítá jako bonusové body ke zkoušce. Budou tvořit cca 15% z celkového počtu bodů u zkoušky. Úkoly se odevzdávají do schránky u vchodu na katedru algebry (preferovaná varianta), případně přednášejícímu osobně nebo elektronicky na email ve formátu PDF. Úlohy podepisujte jménem nebo přezdívkou a označením cvičení (cvičící, hodina); na první domácí úkol napište přezdívku, pod kterou budou zveřejňovány výsledky na webu. Je povolené (dokonce doporučené) konzultovat řešení se spolužáky, nicméně řešení musí sepsat každý sám a sepsané řešení není dovoleno ukazovat ostatním studentům.

Zkouška:

Zkouška je písemná, 120 minut. V případě nerozhodné známky může následovat ústní diskuse (spíše výjimečně). Budou se zkoušet příklady i teorie. Požadavkem jsou jak znalosti, tak porozumění tématu, hodnotí se také korektní matematický zápis. Termíny zkoušek a přihlašování je v SISu.

Za test je možné získat max. 100 bodů, za domácí úkoly lze získat bonus max. 20 bodů. K úspěšnému složení zkoušky je třeba aspoň 65 bodů. Výsledné hodnocení v rozsahu výborně až dobře rozhodnu individuálně (mimo jiné v závislosti na obtížnosti testu). Studenti, kteří nebudou souhlasit s tímto hodnocením, se mohou nechat ústně přezkoušet. V testu najdete
  • krátké úlohy na znění definic a vět, znalost příkladů a jednoduché typové úlohy,
  • delší úlohy, jak početní, tak teoretické, zpravidla podobné těm ze cvičení, domácích úkolů a sbírky úloh.
  • zeptám se i na nějaké důkazy.
Zde je vzorový test ze ZS (tj. test z předtermínu).
Zde je vzorový test z LS (tj. test z předtermínu).
Podrobný rozpis probrané, a tedy zkoušené, látky najdete ve výše uvedené tabulce. Doporučuji se učit ze zápisků z přednášky i ze skript, styl výkladu se může mírně lišit (skripta mají možná horší řazení látky, ale zase jsou psaná pečlivěji). Doporučuji propočítat reprezentativní část příkladů ze sbírky. Zimního semestru se týká celá kapitola II kromě intervalu 102-125, a část kapitoly VI, cvičení 636-652, 659-683, 693-713. Letního semestru se týká celá kapitola III a sekce IV.3, IV.4 a VI.4.
Pokud něčemu nerozumíte, nebojte se přijít zeptat. Nezapomeňte se naučit i témata z konce semestru.

Zápočet z prosemináře:

Aspoň 66% bodů z proseminářových domácích úloh. Během semestru bude zadáno 5 sad domácích cvičení, počítá se průměr z 4 nejlepších sad. Úkoly se odevzdávají na začátku prosemináře, případně jednomu z přednášejících osobně nebo elektronicky na email ve formátu PDF. Úlohy podepisujte jménem nebo přezdívkou, na první domácí úkol napište přezdívku, pod kterou budou zveřejňovány výsledky na webu. Úkoly můžete řešit ve dvojici, v takovém případě odevzdávejte jedno řešení se dvěma podpisy.

Základní literatura:

Další užitečné prameny:

  • existuje řada pěkných učebnic v angličtině, doporučuji například:
    • J. Rotman, A First Course in Abstract Algebra (2ks v knihovně)
    • L. Rowen, Algebra: Groups, Rings, and Fields (zdarma online)
    • víceméně jakákoliv kniha obsahující "abstract algebra" v názvu a "undergraduate level" v popisu bude pokrývat větší část látky přístupnou formou
  • texty ostatních kolegů z katedry - Robert Bashir, Jan Trlifaj, Aleš Drápal, Jan Žemlička
  • pěkná učebnice zaměřená na výpočetní aspekty algebry a teorie čísel: V. Schoup, A Computational Introduction to Number Theory and Algebra (zdarma online)
  • podnětné články obsahuje wikipedia
  • pokud se vám moje přednáška nelíbí, můžete zkusit štěstí s přednáškou z Harvardu