|
|
Poznámky k druhé zápočtové písemcePísemku psalo 137 studentů, 85 studentů písemku napsalo (z toho 24 studentů mělo správně všechny tři příklady a 61 studentů mělo správně dva příklady) a 52 studentů písemku nenapsalo (z toho 11 nemělo správně žádný příklad a 41 mělo správně jeden příklad).
Alespoň jednu písemku psalo 140 studentů (6 z nich tedy jednu vynechalo).
56 studentů úspěšně napsalo obě písemky, tuto podmínku pro zápočet tedy mají splněnou.
60 studentů úspěšně napsalo jednu písemku a 24 nenapsalo úspěšně žádnou písemku.
Poznámky k řešením a častým chybám:
- Platí 92=81, 91/2=√9=3 a 9-2=1/92=1/81. Objevila se trvrzení, že 91/2=1/81
nebo dokonce 91/2=±3. Ani jedno z nich není správné.
- Rovnice log9x=1/2 má za řešení x=91/2=3 (viz předchozí bod), -3 nemůže být řešením, například proto, že funkce log9 je definována pouze na (0,+∞).
- Ve druhém příkladu se měla hledat řešení v intervalu <0,2π>, tedy v řešení se nemá vyskytovat výraz tvaru +2kπ, k∈Z.
- [Připomenuto již po první písemce.] Pokud nerovnost násobím či dělím nějakým číslem, je rozdíl, zda toto číslo je kladné (pak se znaménko nerovnosti zachová) nebo záporné (pak se znaménko nerovnosti změní na opačné). Pokud tedy nerovnost násobím nebo dělím nějakým výrazem (jako třeba x+1, cos(x), sin(x), tg(x)), musím rozlišit dva případy podle znaménka výrazu (vlastně tři případy - třetí případ je, když ten výraz, kterým násobím či dělím, nabývá nuly). To může řešení výrazně prodloužit, proto je dobré se násobení nerovnosti výrazem spíše vyhýbat, lépe je převést vše na jednu stranu a vytknout, co jde.
- [Připomenuto již po první písemce.] Je zbytečné, ba škodlivé, roznásobovat to, co není nutné roznásobit. Například, mám-li výraz
(x-1)-(x-1)(x+5)2, pak je nesmysl ho roznásobovat (zvláště, pokud mne zajímá znaménko, jako v této písemce). Potřebuji ho naopak rozložit, tedy správný postup je vytknout
x-1, například tedy takto: (x-1)(1-(x+5)2). Druhou závorku pak již mohu roznásobit, dostanu kvadratický trojčlen, který snadno rozložím na kořenové činitele.
Kdybych to roznásobil na začátku celé, dostanu mnohočlen třetího stupně, jehož rozkládání je zdlouhavé (ovšem proveditelné, musel bych uhodnout kořen 1, pak ho vydělit x-1 a dostal bych kvadratický trojčlen jako při vytknutí, ale výrazně delším a komplikovanějším postupem).
Dokonce však závorku nemusím roznásobovat, stačí si uvědomit, že 1-(x+5)2=(1+x+5)(1-(x+5))=-(x+6)(x+4).
- Při řešení nerovnic, kdy výsledkem bývá sjednocení několika intervalů, je třeba dávat pozor na to, o jaký typ intervalů jde - otevřené, uzavřené, polouzavřené. To, zda do něj má příslušný bod patřit či nikoli, závisí mimo jiné na tom, zda v zadání je ostrá či neostrá nerovnost, a na tom, zda daný bod vůbec patří do definičního oboru výrazů vyskytujících se v nerovnosti.
- Umocňování není standardní úprava nerovnosti. Je to ekvivalentní úprava pro nezáporná čísla, jinak ne. Tedy, pokud a≥0 a b≥0, pak a<b, právě když a2<b2. Pokud ale nevím předem, že a,b jsou nezáporná, pak
mezi nerovnostmi a<b a a2<b2 není žádný vztah, neplatí mezi nimi implikace ani jedním směrem, jako úprava je tedy umocňování nepoužitelné.
- Je pravda, že tg(x)=sin(x)/cos(x), ale ne vždy je vhodné funkci tangens nahradit uvedeným podílem. Mám-li nerovnici cotg(x)≥2.cos(x), je zcela na místě nahradit cotg(x) podílem cos(x)/sin(x) a dále upravovat. Ale třeba pro nerovnici
tg2x>√3.tg(x) to namístě není, jen to výpočet komplikuje.
- Hodnoty úhlů, v nichž tg(x)=√3 patří k tabulkovým hodnotám (je to x=π/3+kπ), řešení nerovnic typu tg(x)>√3, tg(x)<√3
nebo 0<tg(x)<√3 se nejsnáze provede s použitím znalosti tabulkových hodnot
a tvaru grafu funkce tangens.
- Podobně hodnoty úhlů v nichž cos(X)=1/2 patří k tabulkovým hodnotám (v intervalu <0,2π> jsou to π/3 a 5π/3) a řešení nerovnic typu
cos(x)>1/2 či cos(x)<1/2 se nejsnáze provede s použitím znalosti tabulkových hodnot a tvaru grafu funkce kosinus.
- Pokud a>0, pak ax+y=ax.ay a (ax)y=axy. Jiné jednoduché vztahy nejspíš nebudou platit,
například neplatí axy=axay.
- Pokud a>0, pak funkce loga je definována na intervalu (0,+∞). Pro kladná x,y platí loga(x.y)=logax+logay, speciálně například logax10=10.logax nebo log3(81x3)=log381+log3x3=4+3.log3x.
- Pro výrazy typu loga(x+y) nebo logax.logay jednodušší vyjádření neexistuje. Zejména je třeba rozlišovat (loga x)2
=logax.logax a loga x2=2.logax.
Není to totéž.
|
