|
|
Poznámky k třetí zápočtové písemcePísemku psalo 82 studentů, 56 studentů písemku napsalo (z toho 22 studentů mělo správně všechny tři příklady a 34 studentů mělo správně dva příklady) a 26 studentů písemku nenapsalo (z toho 9 nemělo správně žádný příklad a 17 mělo správně jeden příklad).
Alespoň jednu písemku psalo 141 studentů.
97 studentů úspěšně napsalo (alespoň) dvě písemky, tuto podmínku pro zápočet tedy mají splněnou.
31 studentů úspěšně napsalo jednu písemku a 13 nenapsalo úspěšně žádnou písemku.
Z oněch 13 studentů, kteří nenapsali úspěšně žádnou z písemek, 9 studentů alespoň jednu
vynechalo. Předpokládám, že k tomu měli vážný důvod, tedy zápočet mohou ještě získat, pokud úspěšně napíší obě opravné písemky. 4 studenti psali všechny tři řádné písemky a přitom ani jednu z nich úspěšně nenapsali. Někteří z nich se na mne obrátili s tím, že měli nějaké závažné osobní
problémy. Jelikož tyto věci nemohu kontrolovat či posuzovat, rozhodl jsem, že i tito čtyři se mohou zúčastnit opravných písemek, přičemž k získání zápočtu je nutné, aby úspěšně napsali obě.
Poznámky k řešením a častým chybám:
- Je třeba rozlišovat, zda řešíme rovnici nebo nerovnici. Pokud máme kvadratickou nerovnici, pak jistě součástí řešení je nalezení kořenů příslušné kvadratické rovnice; nicméně řešením nerovnice nejsou tyto dva kořeny, ale jimi určený interval či intervaly.
- Je potřeba pečlivě a správně upravovat výrazy, rovnice a nerovnice. Pokud jsou v pěti úpravách rovnice dvě chyby, je něco špatně.
- Prvním příklad bylo třeba vhodnou substitucí převést na kvadratickou nerovnici. Například použít, že 4x=(2x)2. Úpravy typu 2x+1=4x-1 jsou zcela nesmyslné.
- Správné úpravy jsou log2(8x5)=log28 + log2(x5)=3+5log2x. Rovnost log2(8x5)=5log2(8x) neplatí.
- [Připomenuto již po druhé písemce.] Při řešení nerovnic, kdy výsledkem bývá sjednocení několika intervalů, je třeba dávat pozor na to, o jaký typ intervalů jde - otevřené, uzavřené, polouzavřené. To, zda do něj má příslušný bod patřit či nikoli, závisí mimo jiné na tom, zda v zadání je ostrá či neostrá nerovnost, a na tom, zda daný bod vůbec patří do definičního oboru výrazů vyskytujících se v nerovnosti.
- [Zmíněno již po druhé písemce.] Je potřeba znát tabulkové hodnoty funkcí sinus a kosinus a umět využívat jejich symetrií a periodičnosti. Například:
sin(x)=0 právě když x je celočíselný násobek π. V intervalu <0,2π> jsou to tedy čísla 0,π,2π. (Někteří vynechali π, některým chybělo 2π.)
sin(x)=-1/2 má v intervalu <0,2π> dvě řešení - 7π/6 a 11π/6 (nikoli například 11π/9 nebo 15π/6 - poslední číslo je navíc mimo interval).
sin(x)=√3/2 má v intervalu <0,2π> dvě řešení - π/3 a 2π/3 (někomu chyběla druhá hodnota).
cos(x)=-1/2 má v intervalu <0,2π> dvě řešení - 2π/3 a 4π/3 (někdo tam psal 5π/3 či π/3).
cos(x)=0 má v intervalu <0,2π> dvě řešení - 0 a 2π (někomu chybělo druhé).
- Při řešení rovnic zmíněných v předchozím bodě je, jak bylo řečeno výše, třeba znát tabulkové hodnoty a symetrie goniometrických funkcí. Konkrétněji, máme-li číslo c∈(0,1), pak platí:
Rovnice sin(x)=c má v intervalu <0,2π> dvě řešení, a to tvaru x a π-x pro vhodné x∈(0,π/2).
Rovnice sin(x)=-c má v intervalu <0,2π> dvě řešení, a to tvaru 2π-x a π+x, kde x∈(0,π/2) je stejné jako v předchozím případě.
Rovnice cos(x)=c má v intervalu <0,2π> dvě řešení, a to tvaru x a 2π-x pro vhodné x∈(0,π/2).
Rovnice cos(x)=-c má v intervalu <0,2π> dvě řešení, a to tvaru π-x a π+x, kde x∈(0,π/2) je stejné jako v předchozím případě.
- [Připomenuto již po druhé písemce.] Ve druhém příkladu se měla hledat řešení v intervalu <0,2π>, tedy v řešení se nemá vyskytovat výraz tvaru +2kπ, k∈Z.
- Grafem funkce musí být opravdu graf - jednomu bodu může příslušet pouze jedna hodnota, nikoli více.
- Mám-li funkci f(x) a znám její graf, pak můžeme dělat následující operace s grafy:
Graf funce |f(x)|: Část grafu, která je pod osou x se “zrcadlí nahoru” (tj. nahradí se svým obrazem při osové souměrnosti podle osy x).
Graf funkce f(|x|): Část grafu, která je nalevo od osy y se nahradí zrcadlovým
obrazem části, která je napravo od osy y. (Výsledná funkce bude sudá.)
Graf funkce f(x-a): Graf se posune doprava o a (pomůcka: v bodě a je hodnota f(0), v bodě 0 je hodnota f(-a)).
Graf funkce f(x+a): Graf se posune doleva o a (pomůcka: v bodě -a je hodnota f(0), v bodě 0 je hodnota f(a)).
Graf funkce f(|x+a|): Nejprve načrtneme graf funkce f(|x|) (viz výše) a ten posuneme doleva o a. Bude osově souměrný podle přímky x=-a.
Graf funkce f(|x|+a): Nejprve graf funkce f posuneme doleva o a, tím dostaneme graf funkce g(x)=f(x+a). Nyní načrtneme graf funkce g(|x|)=f(|x|+a) (viz výše - část grafu, která je nalevo od osy y se nahradí zrcadlovým
obrazem části, která je napravo od osy y). Výsledná funkce bude sudá, její graf bude osově souměrný podle osy y.
- Někteří studenti zaměňovali f(|x|) a |f(x)|, případně f(|x+a|) a f(|x|+a).
|
