|
|
Poznámky k první opravné zápočtové písemcePísemku psalo 30 studentů, 15 studentů ji úspěšně napsalo (z nich 1 student měl
správně 3 příklady a 14 studentů mělo správně dva příklady). 15 studentů písemku nenapsalo
(z nich 9 studentů mělo správně jeden příklad a 6 studentů nemělo správně žádný příklad).
Poznámky k řešením a častým chybám:
- [Zmíněno již po třetí písemce.] První příklad byl nerovnice, tedy nestačí spočítat příslušné kořeny.
- Definiční obor funkce log5 je interval (0,+∞). To je třeba při řešení zohlednit.
- [Podobné poznámky byly již po třetí písemce.] (log5x)2 není rovno 2.log5x.
log55x je rovno log55+log5x, nikoli
(log5x)5.
- Nerovnici z prvního příkladu je jistě možno ekvivalentně vyjádřit jako
log525.log5x.log5x+log525≥log555.log55x, byť k této úpravě nevidím důvod. Nicméně upravit tuto nerovnici škrtnutím všech výskytů log5
na 25x2+25≥55.5x je naprostý nesmysl. Toto není odlogaritmování nerovnice, jeho výsledkem by byla nerovnice x2log5x.25≥ (5x)5, což nikam nevede. Správný a standardní postup je substitucí y=log5x převést na řešení kvadratické nerovnice.
- Pokud nerovnici z prvního příkladu převedeme substitucí y=log5x na kvadratickou nerovnici, kořeny příslušné kvadratické rovnice vyjdou 3 a -1/2.
Pak příslušné kořeny původní rovnice získáme z rovnic log5x=3 a
log5x=-1/2, budou to tedy x1=53=125
a x2=5-1/2=1/√5; nikoli log53 a
log5(-1/2).
- Ve druhém příkladu je nejjednodušší nejprve rozlišit případy x≥-1/3 a x<-1/3. Tak se odstraní vnitřní absolutní hodnota (v každém z případů jiným způsobem) a dále je již řešení velmi jednoduché.
Jsou i jiné (delší) způsoby řešení: Například lze nejprve odstranit vnější absolutní hodnotu - výraz uvnitř se musí rovnat buď 2 nebo -2. Tím dostaneme dvě rovnice, z nichž každou vyřešíme zvlášť (odstraněním zbývající absolutní hodnoty pomocí rozlišení případů
x≥-1/3 a x<-1/3) a jejich řešení pak sjednotíme.
Druhý uvedený postup je mírně delší a komplikovanější. Podstatné ovšem je, že při odstraňování vnější absolutní hodnoty jednu rovnici nahradím dvěma (jejichž řešení se sjednotí), ale nerozlišujeme případy podle hodnoty x. Není totiž snadno vidět, jak by se to mělo udělat,
zejména hodnota 1/3 z tohoto hlediska není nijak významná.
- Pokud ve druhém příkladu nejprve rozlišíme případy x>-1/3 a x<-1/3, vynecháváme tím případ x=-1/3. Ten musíme buď přiřadit k jednomu z předchozích
(tj. uvažovat neostrou nerovnost) nebo vyšetřit zvlášť. Nelze ho jen tak vynechat.
- [Podrobnější poznámky byly již po třetí písemce.] Správný postup pro třetí příklad vychází z podrobného vysvětlení po druhé písemce. Začneme s funkcí tg(x). Graf funce tg(x-π/3) vznikne posunutím o π/3 vpravo. Graf funkce tg(π/3-x) pak vznikne osovou souměrností podle osy x, protože tg je lichá funkce, a tak
tg(π/3-x)=-tg(x-π/3). Nakonec část nalevo od osy y nahradíme zrcadlovým obrazem části napravo od této osy.
Zejména je zřejmé, že funkce ze zadání je sudá, čemuž graf v řadě řešení neodpovídal.
|
