Matematika I pro IES FSV UKInformace ve Studijním informačním systému Základní informace o přednáškách a cvičeních Seminář z matematické analýzy I Obsah jednotlivých přednášek a superseminářů Cvičná písemka na limity proběhla v pátek 29.11.2019 od 14:00 v posluchárně M1. Cvičná písemka na derivace a průběhy funkcí byla v pátek 10.1.2020 od 12:20 v posluchárně M1. Ke stažení:
Upozornění: Udělování zápočtů bylo ukončeno. Výsledky jsou zapsány v SISu. Statistika výsledků zápočtových písemek Poznámky k první opravné písemce Informace ke zkouškám
Průběžná statistika výsledků zkoušek Zadání a výsledky zkouškových písemek |
Obsah jednotlivých přednášek a superseminářůPřednáška č. 1 - 4.10.2019Úvodní informace - cíl kurzu, předpokládané znalosti, organizační informace o cvičeních, zápočtech, Semináři z matematické analýzy 1 atp., doporučená literatura, Začátek Kapitoly I (Úvod) - oddíl I.1 (O čem a k čemu je matematika, a také nějaké značení a opakování) - předmět studia matematiky, příklady použití a modelu; množiny a jejich prvky, výroky - co je a co není výrok. Superseminář č. 1 - 4.10.2019 Geometrický význam absolutní hodnoty, příklady 1-3, princip matematické indukce, příklady 4 a 5. Přednáška č. 2 - 7.10.2019 Dokončení oddílu I.1 - logické spojky, tautologie jako logické zákony, výrokové formy, kvantifikátory a jejich negace. Začátek oddílu I.2 (Matematické věty a základní metody důkazů) - dva příklady chybných důkazů, přímý a nepřímý důkaz, Věta 1 včetně důkazu. Přednáška č. 3 - 11.10.2019 Dokončení oddílu I.2 - důkaz sporem, Věta 2 včetně důkazu, princip matematické indukce, Věta 3 nebyla dokázána (přesunuta na superseminář), důkaz rovnosti množin a inkluze mezi nimi, Věta 4 včetně důkazu. Začátek oddílu I.3 (Číselné množiny) - připomenutí přirozených, celých a racionálních čísel, zavedení množiny reálných čísel pomocí vlastností (tj. axiomatické), axiom infima - dolní závora, zdola omezená množina, horní závora, shora omezená množina, omezená množina, infimum jako největší dolní závora, supremum jako nejmenší horní závora, racionální čísla jako podmnožina reálných čísel; stručná zmínka o komplexních číslech a o Větě 5, Věta 6 včetně důkazu. Superseminář č. 2 - 11.10.2019 Princip matematické indukce, příklady 6 a 7 (příklad 7 = Věta 3 z přednášky). Práce s výroky a kvantifikátory - příklady 8 a 9. Přednáška č. 4 - 14.10.2019 Pokračování oddílu I.3 - maximum a minimum množiny; existuje-li minimum, infimum je mu rovno; podobně pro maximum a supremum; interval (0,1) nemá minimum ani maximum, přitom infimum je 0 a supremum je 1. Dále Věty 7,8,9 včetně důkazů. Zavedení značení [x] pro celou část čísla x∈R. Přednáška č. 5 - 18.10.2019 Dokončení oddílu I.3 - n-tá odmocnina z nezáporného čísla, pro liché n i ze záporného čísla. Existence iracionálních čísel, Věta 10, neplatnost axiomu infima v oboru racionálních čísel. Začátek Kapioly II (Posloupnosti reálných čísel), oddíl II.1 (Pojem posloupnosti), včetně příkladů posloupností. Začátek oddílu II.2 (Vlastní limita posloupnosti) - definice limity, lim(1/n)=0, vyjádření pomocí existence vítězné strategie ve hře pro dva hráče. Posloupnost {(-1)n} nemá limitu. Superseminář č. 3 - 18.10.2019 Práce s kvantifikátory - příklady 10 a 11. Suprema a infima - příklad 13. (Příklad 12 byl probrán v rámci přednášky.) Přednáška č. 6 - 21.10.2019 Pokračování oddílu II.2 - poznámka o tom, že an→a, právě když an-a→0, právě když |an-a|→0. Okolí bodu, značení B(a,ε), příklady n√n→1 a qn→0 pro q∈(0,1), Věty 1 a 2, definice vybrané posloupnosti, Věta 3, aplikace na důkaz toho, že 1/n2→0, 1/2n→0 a na důkaz neexistence lim (-1)n. Dále Věta 4(i). Přednáška č. 7 - 25.10.2019 Dokončení oddílu II.2 - “Lemma Kε”, Věta 4 - důkaz bodu (iii); příklady, že Věta 4 nic neříká o situaci, kdy limity neexistují; Věta 5 včetně příkladů, že v ní ostré nerovnosti nelze nahradit neostrými ani neostré ostrými, Věta 6, aplikace na důkaz, že lim n√a=1 pro a∈(1,∞), Věta 7, aplikace na důkaz, že lim sin(n)/n=0. Začátek oddílu II.3 (Nevlastní limity) - definice toho, co znamená lim an=+∞ či lim an=-∞, důkaz, že lim n =+∞. Superseminář č. 4 - 25.10.2019 Ještě suprema a infima - příklad 14. Dále počítání limit - příklady 15(a)-(f), 19(a). Přednáška č. 8 - 1.11.2019 Dokončení oddílu II.3 - rozšíření Věty 1 a Věty 3 pro nevlastní limity, aplikace na důkaz neexistence lim (-1)n (ani vlastní ani nevlastní), neplatnost Věty 2, místo ní Věta 2', rozšířená reálná osa R*, rozšíření aritmetických operací a uspořádání, některé výrazy zůstávají nedefinované, Věta 4', důkaz jednoho případu, upozornění a příklady, že pokud výraz na pravé straně není definován, pak věta nic neříká, platnost Věty 5 a Věty 6 pro nevlastní limity, navíc Věta 6', aplikace na důkaz, že lim zn=+∞ pro z>1, Věta 8, důkaz bodů (1), (3) a (4), poznámka o verzích (3) a (4) pro jiné kombinace znamének. Začátek oddílu II.4 (Hlubší výsledky o limitách) - Věta 9 včetně důkazu. Superseminář č. 5 - 1.11.2019 lim n+(-1)n=+∞ (pomocí Věty 8(1)), příklad, že když lim an=+∞ a lim bn=-∞, pak lim (an+bn) nemusí existovat. Dále příklady 19(b), 15(g)-(i), 16, 17(a)-(c), 18(a). Přednáška č. 9 - 4.11.2019 Dokončení oddílu II.4 - Věta 10, její důsledek a Věta 11. Dále kapitola III (Zobrazení) - zobrazení, definiční obor, příklady, zobrazení prosté, zobrazení na, bijekce, obraz množiny, vzor množiny, obor hodnot, zúžení (restrikce), inverzní zobrazení. Přednáška č. 10 - 8.11.2019 Dokončení kapitoly III - skládání zobrazení, definice a příklady, identické zobrazení, charakterizace inverzního zobrazení pomocí skládání (g:B→A je inverzní k f:A→B, právě když g∘f=idA a f∘g=idB). Začátek kapitoly IV (Funkce jedné reálné proměnné), oddíl IV.1 (Spojitost a limity funkcí reálné proměnné) - funkce, příklady, různé druhy mononotonie, omezenost, definice spojitosti, spojitost konstantní funkce, spojitost funkce x↦x, nespojitost funkce sgn v nule, definice spojitosti zprava a zleva, funkce sgn není v nule spojitá ani zleva ani zprava, pravá a levá okolí, prstencové okolí, též pravá a levá verze, definice limity. Superseminář č. 6 - 8.11.2019 Limity posloupností - příklady 18(a) [dokončení],(b),(c), 20(a)-(c). Přednáška č. 11 - 11.11.2019 Dokončení oddílu IV.1 - připomenutí definice spojitosti (i zprava, zleva), definice limity, dále definice limity zprava a zleva, poznámka o tom, že existence limity implikuje, že funkce je definována na nějakém prstencovém okolí příslušného bodu, že spojitost v bodě implikuje, že funkce je definována na nějakém okolí onoho bodu. Dálě Větička 1 (podrobný důkaz bodů (1) a (3)), Věta 2, poznámka o existenci disjunktních okolích různých bodů v R*, pak důkaz Věty 2, Věta 3 a její důsledek. Začátek oddílu IV.2 (Další vlastnosti limit funkcí) - Věta 4 (důkaz jednoho případu pro podíl) a její důsledek. Přednáška č. 12 - 15.11.2019 Pokračování oddílu IV.2 - spojitost polynomů (v každém bodě R) a racionálních funkcí (v každém bodě definičního oboru) jako aplikace Důsledku Věty 4, Věta 5 (důkaz bodu (i)), Věta 6 a Věta 7 - znění vět, důkaz je analogický důkazu příslušných vět pro posloupnosti, složená funkce a její limita, příklad, že to nefunguje tak snadno, Věta 8 a její důkaz, poznámka o platnosti Vět 2-7 pro jednostranné limity, poznámka o verzích Věty 8 pro jednostranné limity. Superseminář č. 7 - 15.11.2019 Příklady 20(d,e), 21, 22, 23(a,b). Přednáška č. 13 - 18.11.2019 Dokončení oddílu IV.2 - Věta 9 (důkaz pro limitu neklesající funkce v levém krajním bodě), Věta 10 a následující poznámky. Začátek oddílu IV.3 (Derivace funkce - definice a početní technika) - definice derivace funkce v bodě (zleva, zprava, vlastní, nevlastní), geometrický význam - derivace jako limita směrnic sečen ke grafu, definice tečny ke grafu, poznámka o tečnosti tečny. Je-li funkce konstatní na okolí nějakého bodu, má v něm derivaci rovnou nule, derivace funkce x↦xn. Přednáška č. 14 - 22.11.2019 Dokončení oddílu IV.3 - Větička 11, Věta 12, příklady - funkce signum není v nule spojitá, ale má tam derivaci +∞, funkce |x| je v nule spojitá, ale nemá tam derivaci, Věta 13 (důkaz bodů (i) a (iii)), následující poznámka, Věta 14. Začátek oddílu IV.4 (Funkce spojité na intervalu) - definice spojitosti na intervalu, Věta 15 a důkaz jedné implikace. Superseminář č. 8 - 22.11.2019 Příklady 23(c-j,l-m,p). Bylo řečeno, že funkce sin, cos a exp jsou spojité na R, funkce log je spojitá na (0,+∞). Dále byly vyjmenovány základní limity limx→0sin(x)/x=1, limx→1log(x)/(x-1)=1 a limx→0(exp(x)-1)/x=1 a uvedena definice obecné mocniny ab=exp(b.log(a)) pro a>0 a b∈R. Přednáška č. 15 - 25.11.2019 Pokračování oddílu IV.4 - důkaz druhé implikace z Věty 15, Věty 16-20. Přednáška č. 16 - 29.11.2019 Dokončení oddílu IV.4 - příklady, že ve Větách 19 a 20 je podstatná uzavřenost intervalu, dále Věty 21 a 22. Začátek oddílu IV.5 (Elementární funkce - logaritmus a exponenciála) - Věta 23 (bez důkazu, který bude asi v Matematice II, jen s komentářem o významu) a Věta 24 včetně důkazu. Superseminář č. 9 - 29.11.2019 Neexistence limity funkce sin(1/x) v nule zprava jako aplikace Heineho věty. Dále počítání limit - příklady 23(k,n,o,q) a 24(a-c). Přednáška č. 17 - 2.12.2019 Dokončení oddílu IV.5 - definice exponenciální funkce, Věta 25 včetně důkazu, definice obecné mocniny a logaritmu o obecném základu, Větička 26 (všechny body okomentovány, bez podrobného důkazu, bylo doporučeno, aby si studenti důkaz zkusili samostatně), poznámka vysvětlující, proč je přirozený logaritmus přirozený. Začátek oddílu IV.6 (Elementární funkce - goniometrické a cyklometrické funkce) - Věta 27 (bez důkazu, metoda důkazu bude zmíněna v Matematice III), Věta 28 včetně důkazu, definice funkcí kosinus, tangens, kotangens, Věta 29 (bod (i) včetně důkazu; začátek bodu (ii)). Přednáška č. 18 - 6.12.2019 Dokončení oddílu IV.6 - Věta 29 (bod (ii) s důkazem, bod (iii) s poznámkou, že je analogický bodu (ii)), definice cyklometrických funkcí, Větička 30 včetně důkazu. Začátek oddílu IV.7 (Derivace funkce - aplikace) - definice lokálních extrémů, Věta 31, příklad na neplatnost opačné implikace (funkce x3 v nule). Superseminář č. 10 - 6.12.2019 Počítání limit - příklady 24(d-i). Přednáška č. 19 - 9.12.2019 Pokračování oddílu IV.7 - od Věty 32 do Věty 35 včetně. Mimo to příklad na neplatnosti opačné implikace ve Větě 34(ii) (funkce x3 na R). Dále příklad na použití Věty 35 (arcsin'+(-1)=arcsin'-1=+∞); příklad, že ve Větě 35 je potřebný předpoklad spojitosti (funkce sgn v nule); příklad, že, i když neexistuje limita derivace, derivace sama existovat může (funkce x2sin(1/x) dodefinovaná nulou v bodě nula). Přednáška č. 20 - 13.12.2019 Dokončení oddílu IV.7 - l'Hospitalovo pravidlo (tj. Věta 36), bez důkazu, ilustrace použití (limity xn/exp(x) a log(x)/xα [pro α>0] v +∞ a limita xαlog(x) [pro α>0] v nule zprava - všechny jsou rovny nule), ilustrace potřebnosti předpokladů (limita (2x+1)/(3x+1) v nule a limita (x2sin(1/x))/x v nule). Začátek oddílu IV.8 (Konvexní a konkávní funkce) - konvexní kombinace a její geometrický význam, definice konvexních, konkávních, ryze konvexních a ryze konkávních funkcí, Větička 37 včetně důkazu. Superseminář č. 11 - 13.12.2019 Spojitost a derivace funkcí - příklady 25(a-d,f,h). Přednáška č. 21 - 16.12.2019 Dokončení oddílu IV.8 - Věta 38, definice druhé derivace, derivace vyšších řádů, Věta 39, poloha bodů na grafu vůči tečně, inflexní body, Věty 40 a 41 (důkaz Věty 41 jen stručně). Oddíl IV.9 (Průběh funkce) - definice asymptoty, Věta 42, ilustrace části vyšetření průběhu funkce pro funkci f(x)=(x2+2x)exp(x). Přednáška č. 22 - 20.12.2019 Začátek Kapitoly V (Funkce více reálných proměnných), oddíl V.1 (Rn jako metrický a lineární prostor) - prostor Rn, operace na něm (sčítání prvků, násobení prvku reálným číslem) a jejich geometrická interpretace, význačné body (počátek a kanonické vektory ei, vzdálenost bodů (včetně geometrické interpretace a vztahu k Pythagorově větě), Věta 1 včetně důkazu, otevřená koule, vnitřní bod, otevřená množina, vnitřek množiny. Otevřená koule je otevřená množina. Množina je otevřená, právě když se rovná svému vnitřku; vnitřek množiny M je největší otevřená množina obsažená v M. Vlastnosti otevřených množin (Věta 2 včetně důkazu), průnik nekonečně mnoha otevřených množin nemusí být otevřená množina. Superseminář č. 12 - 20.12.2019 Spojitost a derivace funkcí - příklady 25(i,j,l). Průběh funkce - příklad 26(a). Přednáška č. 23 - 6.1.2020 Dokončení oddíli V.1 - konvergence posloupnosti v Rn, Věta 3, hraniční bod, hranice, uzávěr, uzavřená množina, příklad - hranice otevřené koule je příslušná sféra (povrch koule), uzávěr je nejmenší uzavřená množina obsahující danou množinu, Věta 4, Věta 5. Začátek oddílu V.2 - pojem parciální derivace. |