Existenční kvantifikátor
Značkou existenčního kvantifikátoru je symbol \(\exists\) a čteme jej „existuje…“ nebo „existuje alespoň jedno…“. Zatímco obecný kvantifikátor naznačuje, že vlastnost (vztah apod.) uváděná ve výrokovém vzorci musí platit pro všechny přípustné hodnoty jím vázané proměnné, exitenční kvatifikátor nám umožňuje říci, že tato vlastnost platí alespoň pro jednu přípustnou hodnotu. Neboli:
Definice
Obsahuje-li výrok proměnnou vázanou existenčním kvantifikátorem, je pravdivý pouze platí-li následující: Existuje alespoň jedna přípustná hodnota zmíněné proměnné, po jejímž dosazení do výrokového vzorce (vzniklého z výroku odebráním kvantifikátoru) získáme pravdivý výrok.
Tedy, má-li být výrok s existenčním kvantifikátorem naopak nepravdivý, nesmí z výrokového vzorce (vzniklého odebráním kvantifikátoru) vzejít pravdivý výrok pro žádnou přípustnou hodnotu vázané proměnné. Pokud existuje byť jen jediná hodnota, se kterou by pravdivý výrok vznikl, bude i celý výrok s kvantifikátorem pravdivý.
Použijme již známý příklad výrokového vzorce, tentokrát však budeme volnou proměnnou vázat pomocí existenčního kvantifikátoru:
\(\exists (x \in \mathbb{R}): x < 5\).
Takový výrok bychom mohli přečíst následovně: „Existuje reálné číslo \(x\) takové, že je menší než pět.“ Je tento výrok pravdivý? Ano, takové číslo totiž určitě existuje, vezměme třeba číslo 1. To je jistě číslo reálné, takže je to přípustná hodnota proměnné \(x\). Zároveň je také menší než pět, neboli po jeho dosazení do výrokového vzorce získáme výrok „\( 1 < 5\)“, což je samozřejmě výrok pravdivý. Tím jsme splnili definici pravdivosti výroku s existenčním kvatifikátorem – tento výrok je pravdivý. Všimněme si, že ze stejného výrokového vzorce jsme pomocí dvou různých kvantifikátorů vytvořili dva výroky s odlišnou pravdivostní hodnotou.
Nyní, než se podíváme na konkrétní příklady, na kterých si kvantifikátory pro lepší objasnění ukážeme, zbývá uvést několik dodatků. První se týká názvosloví: Procesu vázání volných proměnných se někdy říká kvantifikování proměnných, vzniká jím kvantifikovaný výrok. Dále bychom si měli uvědomit, že výrokový vzorec nemusí obsahovat pouze jedinou volnou proměnnou (např. „\(x > y\)“). Obsahuje-li výrokový vzorec více volných proměnných, je pro vytvoření výroku nutné kvantifikovat všechny tyto proměnné (výrok bude obsahovat více kvantifikátorů)!
