Matematická logika

1. Výrok (\(\mathrm{\mathbf{A}}\vee \mathrm{\mathbf{B}}\)) \(\wedge\) \(\mathbf{C}\) je pravdivý, jestliže:

 v(\(\mathbf{A}\)) = 1, v(\(\mathbf{B}\)) = 1, v(\(\mathbf{C}\)) = 1

 v(\(\mathbf{A}\)) = 0, v(\(\mathbf{B}\)) = 1, v(\(\mathbf{C}\)) = 1

 v(\(\mathbf{A}\)) = 1, v(\(\mathbf{B}\)) = 1, v(\(\mathbf{C}\)) = 0

2. Výrok (\(\mathrm{\mathbf{A}}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{B}}\)) \(\vee\) (\(\mathrm{\mathbf{B}}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{C}}\)) je pravdivý, jestliže:

 v(\(\mathbf{A}\)) = 0, v(\(\mathbf{B}\)) = 0, v(\(\mathbf{C}\)) = 0

 v(\(\mathbf{A}\)) = 0, v(\(\mathbf{B}\)) = 1, v(\(\mathbf{C}\)) = 0

 v(\(\mathbf{A}\)) = 0, v(\(\mathbf{B}\)) = 1, v(\(\mathbf{C}\)) = 1

3. Výrok \(\mathrm{(\mathbf{A} \wedge ¬\mathbf{B})}\Leftrightarrow \mathrm{(¬\mathbf{A} \wedge \mathbf{B})}\) je nepravdivý, jestliže:

 v(\(\mathbf{A}\)) = 1, v(\(\mathbf{B}\)) = 1

 v(\(\mathbf{A}\)) = 0, v(\(\mathbf{B}\)) = 1

 v(\(\mathbf{A}\)) = 1, v(\(\mathbf{B}\)) = 0

 v(\(\mathbf{A}\)) = 0, v(\(\mathbf{B}\)) = 0

4. Výrok \(\mathrm{(\mathrm{\mathbf{B}}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{A}})}\vee \mathrm{(\mathbf{A} \wedge \mathbf{B})}\):

 Je tautologií.

 Není tautologií.

5. Výrok \([\mathrm{\mathbf{B}}\Leftrightarrow \mathrm{(\mathrm{\mathbf{A}}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{C}})}] \wedge [\mathrm{(\mathrm{\mathbf{B}}\vee \mathrm{\mathbf{C}})}\Rightarrow \mathrm{(\mathrm{\mathbf{A}}\vee \mathrm{\mathbf{C}})}]\):

 Je tautologií.

 Není tautologií.

6. V kolika řádcích tabulky pravdivostních hodnot vyjde výrok \(\mathrm{[\mathrm{\mathbf{B}}\vee \mathrm{(\mathrm{\mathbf{A}}\Leftrightarrow \mathrm{\mathbf{C}})}]}\vee \mathrm{[(\mathrm{\mathbf{A}}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{C}}) \wedge \mathbf{B}]}\) pravdivý:  

7. Uvažujme implikaci: „Jestliže helium patří mezi vzácné plyny, pak rtuť je těžký kov.“ Obměněnou implikací je výrok:

 Jestliže rtuť je těžký kov, pak helium patří mezi vzácné plyny.

 Jestliže rtuť není těžký kov, pak helium nepatří mezi vzácné kovy.

 Rtuť není těžký kov a současně helium nepatří mezi vzácné kovy.

 Rtuť není těžký kov, z toho plyne, že helium nepatří mezi vzácné kovy.

8. Negací výroku \(\mathrm{[\mathbf{C} \wedge (\mathrm{\mathbf{A}}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{B}})]}\vee \mathrm{[\mathrm{(\mathrm{\mathbf{B}}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{A}})}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{C}}]}\) je:

 \(\mathrm{[\mathrm{¬\mathbf{C}}\vee \mathrm{(\mathbf{A} \wedge ¬\mathbf{B})}]}\vee \mathrm{[(\mathrm{\mathbf{B}}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{A}}) \wedge ¬\mathbf{C}]}\)

 \([\mathrm{¬\mathbf{C}}\vee \mathrm{(\mathbf{A} \wedge ¬\mathbf{B})}] \wedge [(\mathrm{\mathbf{B}}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{A}}) \wedge ¬\mathbf{C}]\)

 \([¬\mathbf{C} \wedge (\mathrm{\mathbf{A}}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{B}})] \wedge [\mathrm{(\mathrm{\mathbf{B}}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{A}})}\Rightarrow \mathrm{¬\mathbf{C}}]\)

9. Výrok ekvivalentní s výrokem \([\mathrm{(\mathrm{\mathbf{A}}\vee \mathrm{\mathbf{B}})}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{A}}] \wedge [(\mathrm{\mathbf{B}}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{A}}) \wedge (\mathrm{\mathbf{A}}\vee \mathrm{\mathbf{B}})]\) je:

 \(\mathbf{A}\)

 \((\mathrm{\mathbf{B}}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{A}}) \wedge (\mathrm{\mathbf{A}}\vee \mathrm{\mathbf{B}})\)

 \(\mathrm{(\mathbf{A} \wedge \mathbf{B})}\Rightarrow \mathrm{\mathbf{A}}\)