Kvantifikátory, volné a vázané proměnné
Až doposud jsme si u výroků připouštěli jediný neznámý prvek, a to výrokové proměnné. Říkali jsme si, že tvrzení typu „\(x < 5\)“ nemůžeme považovat za výrok. V této kapitole si ukážeme nástroje, které nám umožní i taková tvrzení zpřesnit tak, aby se z nich staly výroky.
Pokud se v tvrzení objevuje proměnná, u níž nevíme, co za ni dosadit (např. proměnná \(x\) z tvrzení „\(x < 5\)“), říkáme jí volná proměnná. Jestliže nám u nějakého tvrzení brání pouze volné proměnné v tom, abychom jej označili jako výrok, říkáme tomuto tvrzení výrokový vzorec. Tvrzení „\(x < 5\)“ je tedy výrokovým vzorcem. Výrokové vzorce sice nejsou výroky, ale lze je spojovat pomocí logických spojek, dokonce i negovat a vyjde nám opět výrokový vzorec. Obě tyto činnosti se provádí téměř shodným způsobem jako u výroků. Značení výrokových vzorců budeme provádět podobně jako u výroků – velkými písmeny, do závorky ještě přidáme proměnnou, která nám „zabraňuje“ v tom, abychom daný výrokový vzorec označili za výrok. Výrokový vzorec „\(x < 5\)“ bychom tak mohli označit \(\mathbf{A}\)(\(x\)). Pokud by se ve výrokovém vzorci takových proměnných objevilo víc, vypíšeme je do závorky všechny. Výrokový vzorec „\(x < 5 \wedge y < 5\)“ bychom mohli označit např. \(\mathbf{B}\)(\(x, y\)).
Pro nás v tuto chvíli ale není důležité, jak se operuje s výrokovými vzorci. Spíše bychom se měli věnovat způsobu, jak z nich vytvořit „pravé“ výroky.
Aby z výrokového vzorce vznikl výrok, musíme z každé volné proměnné vytvořit vázanou proměnnou. Vázaná proměnná sice stále zůstavá proměnnou, ale je u ní dodán dostatek informací, aby pro dané tvrzení mělo smysl zabývat se jeho pravdivostí, a tedy abychom je mohli nazvat výrokem.
Vzpomeňme, co bylo problémem u tvrzení „\(x < 5\)“. Nevíme, co za \(x\) dosadit. Můžeme za něj dosadit např. číslo \(-4\), ale také třeba autobus jedoucí po ulici nebo ježka, který právě dupe pod okny. Nikde není řečeno, co za \(x\) dosadit. Co když zkusíme tvrzení upřesnit tím, že řekneme, že \(x\) má být nějaké číslo. Čísel je mnoho druhů, řekněme tedy, že \(x\) je nějaké reálné číslo, což můžeme zapsat např. takto: „\(x < 5\), \(x \in \mathbb{R}\)“
Nyní již z tvrzení víme, že za \(x\) se má dosazovat nějaké reálné číslo. Stal se z něj výrok? Ne! Když budeme rozhodovat o jeho pravdivosti, stále nevíme, jaké konkrétní číslo dosadit. Když dosadíme číslo 7, bude tvrzení nepravdivé, když dosadíme číslo \(3 \over 4\), bude pravdivé. Které z těchto dvou čísel si máme vybrat? Nebo máme uvažovat obě? Nebo snad všechna reálná čísla? Nic takového z tvrzení nezjistíme. Když však přidáme kvantifikátory, tuto informaci dostaneme.
Rozlišujeme dva typy kvantifikátorů:
- obecný kvatifikátor (někdy též nazývaný „velký“)
- existenční kvantifikátor (někdy též nazývaný „malý“)
