Další trigonometrické věty

Vztah pro poloměr kružnice opsané trojúhelníku

Pro poloměr kružnice opsané trojúhelníku platí .

Kružnice opsaná trojúhelníku
s počítáním poloměru

Důkaz

Označme střed strany . Trojúhelník je pravoúhlý s pravým úhlem u vrcholu . Velikost úhlu je , je-li , nebo pro .
V obou případech tedy platí .

Zbývá uvážit pravoúhlý trojúhelník s pravým úhlem u vrcholu , strana je průměrem kružnice , která je opsaná tomuto trojúhelníku. Jinak řečeno a . Za těchto předpokladů opět platí vztah .
Další vyjádření pro poloměr kružnice opsané dostaneme cyklickou záměnou.

Příklady

1. V trojúhelníku je , , poloměr kružnice tomuto trojúhelníku opsané je .
Vypočítejte délky stran trojúhelníku.

2. Vypočítejte obvod trojúhelníku, který je vepsán do kružnice o poloměru a jehož dva vnitřní úhly mají velikosti a .

>>nahoru<<

Obsah trojúhelníku pomocí dvou stran a úhlu jimi sevřeném

Pro obsah

každého trojúhelníku

, jehož vnitřní úhly mají velikosti

a strany mají délky

platí

Obsah trojúhelníku

Důkaz

Vyjdeme ze vzorce pro výpočet obsahu trojúhelníku , kde je výška na stranu . Označme patu kolmice výšky .

1) Je-li trojúhelník ostroúhlý, tedy , pak , tj. a tudíž .
2) Je-li trojúhelník pravoúhlý, tedy , pak tudíž , .
3) Je-li trojúhelník tupoúhlý, tedy , pak , přičemž levá strana se dá upravit takto (viz Vzorce pro goniometrické funkce).
Jestliže nyní dosadíme do původního vzorce, získáme vyjádření obsahu .
Další vzorce dostaneme cyklickou záměnou.

Příklady

1. Vypočítejte obsah trojúhelníku , jestliže , , .

2. Vypočítejte délky stran v trojúhelníku , jestliže , , .

>>nahoru<<

Heronův vzorec

Pro obsah každého trojúhelníku , jehož strany mají délky , platí , kde .

Důkaz

Vyjdeme z předchozí věty pro výpočet obsahu trojúhelníku .

Vyjádříme pomocí goniometrického vzorce a za , dosadíme vyjádření z věty o

polovičních úhlech , čili , , kde .

Po dosazení nám vyjde vztah .

Příklad

Vypočítejte pomocí Heronova vzorce obsah trojúhelníku o stranách .

>>nahoru<<

Poloměr kružnice opsané pomocí obsahu trojúhelníku a jeho tří stran

Nechť je obsah trojúhelníku , jehož strany mají délky . Potom pro poloměr kružnice opsané tomuto trojúhelníku platí .

Kružnice opsaná trojúhelníku

Důkaz

Tento vzorec vyplývá ze sinové věty a z dříve dokázaného vztahu , kde je velikost vnitřního úhlu v naproti straně .
Jestliže dosadíme do vzorce za výraz , dostaneme .

Příklad

Vypočítejte poloměr kružnice opsané trojúhelníku a stranách .

>>nahoru<<

Poloměr kružnice vepsané pomocí obsahu trojúhelníku a jeho tří stran

Nechť je obsah trojúhelníku , jehož strany mají délky . Potom pro poloměr kružnice vepsané trojúhelníku platí , kde .

Kružnice vespaná trojúhelníku

Důkaz

Nechť je střed kružnice vepsané .
Protože se skládá ze 3 nepřekrývajících se trojúhelníků , , , je jeho obsah roven součtu obsahů těchto tří trojúhelníků, které mají stejnou výšku , tj.
.

Příklad

V trojúhelníku o stranách vypočítejte poloměr kružnice vepsané.

>>nahoru<<