Úlohy k opakování 1

1. Mějme pravoúhlý trojúhelník s přeponou . Sestrojme nyní nad každou stranou rovnostranný trojúhelník. Dokažte, že součet obsahů trojúhelníků nad oběma odvěsnami je roven obsahu trojúhelníku nad přeponou.

Nyní vyjádříme součty obsahů trojúhelníků.

Díky Pythagorově větě platí.

2. V pravidelném desetiúhelníku je poloměr kružnice jemu opsané . Vypočítejte délku strany desetiúhelníku a poloměr kružnice vepsané.

Každý pravidelný desetiúhelník lze rozdělit na 10 shodných rovnoramenných trojúhelníků. V každém z těchto trojúhelníků je rameno poloměrem kružnice opsané pravidelnému desetiúhelníku, výška vedená na základnu trojúhelníku je poloměrem kružnice vepsané pravidelnému desetiúhelníku a základna trojúhelníku je stranou tohoto desetiúhelníku. Vypočítáme nejprve úhel proti základně. Budeme řešit libovolný z trojúhelníků .

Velikost úhlu je .

3. Mějme kvádr o délkách hran . Vypočítejte odchylky stěnových úhlopříček v jednotlivých stěnách a odchylky stěnových úhlopříček a tělesové úhlopříčky.

Nejprve vezmeme stěnu s délkami stran . Odchylky úhlopříček označíme , .
Odchylka úhlopříček bude dvojnásobkem úhlu, který vypočítáme z pravoúhého trojúhelníku o
odvěsnách , tedy k polovičním oproti hranám.

Druhá odchylka je pouze doplňek do .

Vezměme nyní stěnu .
Odchylky úhlopříček v této stěně označíme , .

Druhá odchylka je pouze doplňek do .

Třetí stěna, která má délky hran .
Odchylky úhlopříček v této stěně označíme , .

Druhá odchylka je pouze doplňek do .

K určení odchylek stěnové a tělesové úhlopříčky zjistíme nejprve délku stěnové úhlopříčky.
Odchylku vypočítáme z pravoúhlého trojúhelníku o odvěsnách jedné hrany,
stěnové úhlopříčky a tělesové úhlopříčky.
Stěnové úhlopříčky označíme po řadě .

Výpočet první odchylky :


Výpočet druhé odchylky :


Výpočet třetí odchylky :

4. Ze stanice vyjedou současně dva vlaky po přímých tratích, které svírají úhel o velikosti . Rychlost prvního vlaku je , rychlost druhého . Jak daleko budou od sebe za ?

Vezmeme nejprve úhel vektorů rychlosti .

Použijeme kosinovou větu, přičemž dráhy
vypočítáme ze vzorce .

5. V trojúhelníku je , , . Určete velikosti všech vnitřních úhlů.

Z podmínky plyne, že , tudíž .
Ostatní úhly:

6. V lichoběžníku , jehož strany mají délky , vypočítejte velikosti vnitřních úhlů.

V lichoběžníku spustíme výšku z vrcholů M,N
a úsečky na straně označíme .
Vyjádříme vztah mezi nimi.

Vyjádříme výšku z pravoúhlých trojúhelníků a vyjádření porovnáme.

Ještě dosadíme za .

Tedy strana je kolmá na strany
A pro velikosti úhlů platí a .

Úhel vypočítáme tedy z pravoúhlého trojúhelníku.

Poslední úhel je doplněk do .

7. V trojúhelníku vypočítejte výšku , těžnici a velikost úhlu , je-li dáno , , .

Nejprve určete velikost úhlu pomocí kosinové věty.

Nyní vypočteme velikost úhlu u vrcholu .

Výšku spočítáme z pravoúhlého trojúhelníku,
jehož přepona je strana a výška je odvěsna.

Těžnici spočítáme pomocí kosinové věty s úhlem .

8. Vypočítejte obsah pravidelného destetiúhelníku, jestliže délka jeho strany v centimetrech má velikost

Desetiúhelník rozdělíme na 10 rovnoramenných trojúhelníků s ramenem
rovným poloměru kružnice opsané desetiúhelníku a základnou .
Vypočítáme velikosti úhlů v trojúhelníku.

Středový úhel v trojúhelníku je a ostatní úhly jsou .

Vybereme jeden trojúhelník, sestrojíme v něm výšku na základnu a spočítáme její délku.

Obsah trojúhelníku je .
Obsah desetiúhelníku je desetinásobek obsahu trojúhelníku, tj. .

9. Dálkoměrem byly po osmi sekundách změřeny vzdálenosti pozorovatele od přímočaře rovnoměrně letícího letadla , , . Vypočítejte rychlost letadla.

Označíme si místo, kde se nachází pozorovatel s dálkoměrem. Spojnice místa se třemi polohami letadla nám vytvoří dva trojúhelníky se stranami a , kde je dráha, kterou uletí mezi měřeními rychlostí .
Označíme úhel, který svírají strany v trojúhelníku a doplňkový úhel k němu , který svírají strany v trojúhelníku .

Vytvoříme soustavu rovnic pomocí
kosinové věty z obou trojúhelníků.

---

---

10. Vypočítejte obsah rovnoběžníku, jehož úhlopříčky mají délky a jejichž odchylka je .

11. V jaké výšce nad zemí se nachází nejvyšší bod známé šikmé věže v Pise, jestliže odchylka osy věže od vodorovného směru je a její délka je ?