Funkce sinus a kosinus

Zvolíme kartézskou soustavu souřadnic, tj. dvě na sebe kolmé číselné osy (osy a ) se společným počátkem , přičemž na obou osách je stejná délková jednotka. Vezměme bod jako obraz čísla 1 na ose . Nyní sestrojíme orientovaný úhel o velikosti s počátečním ramenem . Ke každému reálnému číslu lze přiřadit právě jeden výše popsaný orientovaný úhel . Tento orientovaný úhel se nazývá orientovaný úhel o velikosti v základní poloze.

Sestrojíme jednotkovou kružnici (tj. kružnice, kde ) se středem a označíme její průsečík s koncovým ramenem orientovaného úhlu v základní poloze. Bodem vedeme kolmici k ose , jejich průsečík je na ose obrazem reálného čísla a dále bodem vedeme kolmici k ose , jejich průsečík je na ose obrazem reálného čísla . O číslech , říkáme, že jsou první a druhou souřadnicí bodu a píšeme .

Definice. Druhou souřadnici bodu jednotkové kružnice na koncovém rameni orientovaného úhlu v základní poloze nazýváme sinus a jeho první souřadnici nazveme kosinus .
Používáme značení , .Je tedy , , pro každé .

Poznámka. Funkce sinus a kosinus jsou definovány pomocí jednotkové kružnice, proto jsou nezávislé na volbě délkové jednotky.

Uvedenými definičními vztahy je každému číslu přiřazeno právě jedno reálné číslo a právě jedno reálné číslo , tj. tyto vztahy udávají funkční předpisy funkce sinus a funkce kosinus , se nazývá argument funkce.

>>nahoru<<

Grafy funkcí sinus a kosinus argumentu sestrojíme na základě jejich definice pomocí souřadnic bodů jednotkové kružnice se středem v počátku kartézské soustavy souřadnic.
Graf funkce sinus se nazývá sinusoida a graf funkce kosinus se nazývá kosinusoida . Přitom kosinusoida je posunutá sinusoida o ve směru záporné poloosy .
Definičním oborem funkcí sinus a kosinus je množina , proto na omezené nákresně můžeme zobrazit jen části jejich grafů.

>>nahoru<<

Vlastnosti funkcí sinus a kosinus

Nejprve probereme podrobně každou vlastnost a na konci uvedeme shrnující tabulku.

Definiční obor obou funkcí je .
Neexistuje , ke kterému bychom nepřiřadili žádnou funkční hodnotu.

U obou funkcí to je interval .
Pro každé je přímka sečnou nebo tečnou jednotkové kružnice. Získáme tak vždy alespoň jeden bod kružnice, jehož první (druhá) souřadnice je hodnotou funkce () pro některé .
Je-li , pak je přímka o rovnici vnější přímkou kružnice .
Z této vlastnosti funkce plyne také následující vlastnost.

Obě funkce jsou omezené zdola číslem a shora číslem . Tedy platí, že pro každé je a .
Plyne to z jednotkové kružnice.

Funkce sinus má maximum v bodech , minimum v bodech , kde .
Funkce kosinus má maximum v bodech , minimum v bodech , kde .
Vše plyne z jednotkové kružnice.

Sinus je funce lichá a kosinus je funkce sudá.
Z definice liché funkce plyne .
Z definice sudé funkce plyne .
Tyto vlastnosti můžeme snadno ověřit pomocí jednotkové kružnice. Obě funkce jsou definovány na . Také to můžeme poznat z grafů obou funkcí, graf funkce sinus je souměrný podle počátku a graf funkce kosinus je souměrný podle osy .

Obě jsou periodické, jejich nejmenší perioda je .
Tedy platí, že pro každé a pro každé


Například je to vidět z grafů funkcí nebo z jednotkové kružnice.
Můžeme díky tomu zkoumat funkce a na intervalu a popíšeme tak jejich chování na celém .

Funkce sinus je rostoucí v intervalech a klesající v intervalech , kde .

Funkce kosinus je rostoucí v intervalech a klesající v intervalech, kde .
Intervaly snadno určíme z grafů funkcí.

Funkce sinus jich nabývá v bodech , tj. , .
Funkce kosinus jich nabývá v bodech , tj. , .
Vyčteme to jednotkové kružnice.

Ty určíme nejlépe z grafů, jinak je lze vypočítat z příslušných goniometrických nerovností.
Funkce sinus má kladné hodnoty v intervalech a záporné hodnoty v intervalech , .
Funkce kosinus má kladné hodnoty v intervalech a záporné hodnoty v intervalech , .
Nejlépe je to vidět z grafů funkcí.

Tabulka

Písmeno v tabulce označuje celé číslo.

Definiční obor funkce
Obor hodnot
Sudost,lichost funkce	lichá funkce	sudá funkce
Periodičnost funkce	periodická s periodou nejmenší perioda je	periodická s periodou nejmenší perioda je
Omezenost, neomezenost funkce	omezená funkce	omezená funkce
Intervaly, v nichž je funkce rostoucí
Intervaly, v nichž je funkce klesající
Maximum funkce v bodě	pro	pro
Minimun funkce v bodě	pro	pro
Body,ve kterých jsou funční hodnoty nulové ()
Body,ve kterých jsou funční hodnoty kladné ()
Body,ve kterých jsou funční hodnoty záporné ()

>>nahoru<<

Příklady

1. a) Která z čísel patří do oboru hodnot funkce ? Obor hodnot funkce sinus je .

Čísla patřící do oboru hodnot jsou

b) Která z čísel patří do oboru hodnot funkce ? Obor hodnot funkce kosinus je .

Výsledkem jsou hodnoty

2. Existuje , pro něž je ?

Jak sami vidíte, takové číslo neexistuje.

3. Dokažte, že platí:

a)


b)


c)


d)

4. Do kterého z intervalů , , , patří , pro něž je

a) a zároveň

Výsledkem je interval .

b) a zároveň ?

Výsledkem je interval .

5. Vypočítejte:

Najdeme je v kapitole Goniometrické funkce ostrého úhlu

=

6. Určete pomocí jednotkové kružnice všechna , pro která platí:
a)

Jestliže tedy z těchto bodů spustíme kolmice na obě osy, zjistíme, že opravdu se sinus rovná kosinu.
Tedy výsledné body jsou
b)

     Délky úseček odpovídající funkcím sinus a kosinus jsou stejně dlouhé, ale s jiným znaménkem.
Tedy výsledné body jsou

7. Zapište množinu všech , pro která platí:
a) a zároveň Použijeme jednotkovou kružnici.
platí pro
platí pro

b) a zároveň
platí pro
platí pro

Vytvoříme průnik obou intervalů.

,

8. Určete definiční obory těchto funkcí:
a)

b)

>>nahoru<<