Sinová věta

Pro každý trojúhelník , jehož vnitřní úhly mají velikosti a strany délky , platí .

Sinová věta

Poznámka. Další vzorce vyplývají z principu cyklické záměny. Jsou to tyto:

Sinovou větu můžeme také vyjádřit ve tvaru ,

tj. poměr délek dvou stran v trojúhelníku se rovná poměru velikostí sinů protilehlých úhlů k těmto stranám.

Cyklická záměna

Důkaz

Rozlišíme 3 typy trojúhelníků, ostroúhlý, pravoúhlý a tupoúhlý. Pro každý typ provedeme důkaz zvlášť. Úhel, který budeme měřit, je u vrcholu

, tedy úhel

1) Úhel je ostrý, tj. .
Nalezneme bod , který je patou kolmice spuštěné z vrcholu na stranu .
Vyjádříme velikost strany pomocí úhlu , ,
a poté pomocí úhlu , .
Nyní porovnáme výše uvedené vztahy , tj..
Tudíž .

2) Úhel je pravý, tj. .
Bod , který je patou kolmice nám splyne s bodem .
Důkaz provedeme obdobně, ale musíme si uvědomit, že ( viz Určování hodnot goniometrických funkcí).
Vyjáříme také velikost úsečky nejprve pomocí úhlu , ,
a potom pomocí úhlu , .
Závěrem získáme rovnost .

3) Úhel je tupý, tj. .
Také nejprve nalezneme bod a vyjádříme velikost úsečky dvojím způsobem

.
Musíme si uvědomit, že platí rovnost ( viz Vzorce pro goniometrické funkce.)
Nakonec opět porovnáme obě vyjádření a vyjde nám vztah .
Cyklickou záměnou dostaneme další vyjádření. Tím je důkaz u konce.