Stručný obsah:
- Čísla: prvočíselné rozklady, kongruence, Eulerova věta a RSA, čínská věta o zbytcích
- Polynomy: abstraktní obory integrity, obory polynomů, ireducibilní rozlady, NSD, čínská věta o zbytcích a interpolace, konstrukce konečných těles a jejich aplikace (samoopravné kódy, sdílení tajemství, ...)
- Grupy: permutační grupy, podgrupy, Lagrangeova věta, působení grupy na množině a Burnsideova věta, cyklické grupy a diskrétní logaritmus a jeho aplikace v kryptografii
Základním studijním materiálem je studijní text (finální verze), který jsem zkompiloval z přípravované učebnice obecné algebry pro matematiky.
On-line přednáška bude komentářem tohoto textu, hlavní část studia však spočívá v četbě tohoto textu.
Cvičení: viz Moodle.
!!NEW!! Zde je podrobný popis zkoušky, včetně vzorového textu. !!NEW!!
Předběžný plán / Průběžně aktualizovaný program přednášky:
| téma |
četba |
video |
kvíz |
30.9. | Quo vadis mathematica. Elementární teorie čísel: rozklady, NSD Cv.: elementární teorie čísel, kongruence (včetně teorie) |
sekce 1 $1M problems |
motivace sekce 1 |
-- |
7.10. | Elementární teorie čísel: Eulerova věta a kryptosystém RSA, čínská věta o zbytcích Cv.: Eukleidův algoritmus (čísla, polynomy) |
sekce 2 |
sekce 2 |
Q1 do 14.10. 14:00 výsledky |
14.10. | Abstraktní teorie dělitelnosti: základní vlastnosti oborů integrity, podílové těleso, obory polynomů. Cv.: Eulerova věta, ČVZ |
sekce 3, 4.1 |
sekce 3.1,3.2 sekce 3.3 sekce 4.1 |
Q2 do 21.10. 14:00 výsledky |
21.10. | Polynomy: dělení se zbytkem, kořeny a dělitelnost.
Abstraktní teorie dělitelnosti: základní pojmy - invertibilní prvky, NSD, ireducibilní prvky a prvočinitelé, ired. rozklady Cv.: příklady oborů integrity (včetně kvadratických rozšíření), podílové těleso (důkaz správnosti konstrukce a příklady) |
sekce 4, 5.1-5.3 |
zbytek sekce 4 sekce 5.1-5.3 screenshot tabulí |
Q3 do 28.10. 14:00 výsledky |
28.10. | --- přednáška není --- Cv.: jedno doběhne časový rozvrh, druhé není |
|
4.11. | Abstraktní teorie dělitelnosti: důsledky existence a jednoznačnosti rozkladů Polynomy: dělitelnost v polynomiálních oborech (rozklady, NSD), kritérium existence racionálního kořene. Cv.: rozklady a kořeny polynomů |
sekce 5.4, 6 |
sekce 5.4 sekce 6.1 sekce 6.2 sekce 6.3
|
Q4 do 11.11. 14:00 výsledky |
11.11. | Abstraktní teorie dělitelnosti: zobecněná základní věta aritmetiky, abstraktní Eukleidův algoritmus Polynomy: čínská věta o zbytcích a interpolace Cv.: invertibilní prvky; kvadratická rozšíření celých čísel |
sekce 7, 8.1 |
sekce 7.1 sekce 7.2 sekce 8.1
|
Q5 do 18.11. 14:00 výsledky |
18.11. | Polynomy: počítání modulo polynom, konstrukce konečných těles. Reprezentace dat pomocí F_2^k, aplikace: šifra AES Cv.: dělitelnost v Gaussových celých číslech |
sekce 8.2, 9.1 eliptické křivky |
sekce 8.2 sekce 9.1 screenshot tabulí |
Q6 do 25.11. 14:00 výsledky |
25.11. | Aplikace konečných těles v informatice - sdílení tajemství, samoopravné kódy, vzájmně ortogonální latinské čtverce. Cv.: ČVZ pro polynomy; počítání v konečných tělesech |
sekce 9.2-9.4 |
sekce 9.2 sekce 9.3 sekce 9.4 |
Q7 do 2.12. 14:00 výsledky |
2.12. | Grupy: příklady, podrupy, generátory. Cv.: opakování permutací, automorfismy grafů, symetrie geometrických objektů |
sekce 10, 11.1 |
sekce 10, 11.1 |
Q8 do 9.12. výsledky |
9.12. | Grupy: Lagrangeova věta, působení grupy na množině. Cv.: podgrupy, generátory |
sekce 11.2, 12.1 |
sekce 11.2 sekce 12.1 |
Q9 do 16.12. výsledky |
16.12. | Grupy: Burnsideova věta a kombinatorické počítání až na symetrie. Struktura cyklických grup (úvod, podgrupy). Cv.: rozklady podle podgrupy; příklady působení grup, grupy symetrií |
sekce 12.2, 13.1 (po příklady o Zn, Zp*) |
sekce 12.2 sekce 13.1 úvod tabule |
Q10 do 6.1. výsledky |
6.1. | Grupy: Cyklické grupy, grupy Zp* jsou cyklické, diskrétní logaritmus a aplikace v kryptografii (Diffie-Hellmanův a El Gamalův protokol). Cv.: Burnsideova věta |
sekce 13 |
sekce 13.1,2 sekce 12.3 |
--- |
Literatura:
- učební text připravený pro tento kurz - primární zdroj, obsahuje naprostou většinu materiálu
- sbírka úloh (kurzu se týkají kapitoly II, III, IV.2); jde o mírně zastaralý materiál a neobsahuje zdaleka všechny typy úloh, které se vyskytnou na cvičeních či u zkoušky
- pokud se vám můj styl nelíbí, existuje řada pěkných učebnic v angličtině, doporučuji například:
- J. Rotman, A First Course in Abstract Algebra (2ks v knihovně)
- L. Rowen, Algebra: Groups, Rings, and Fields (zdarma online)
- víceméně jakákoliv kniha obsahující "abstract algebra" v názvu a "undergraduate level" v popisu bude pokrývat větší část látky přístupnou formou
- podnětné články obsahuje anglická wikipedia, ideální na dohledání širšího kontextu probíraných pojmů
- moje stará skripta Základy algebry (Matfyzpress 2009) jsou víceméně překonaná tím novým textem
zdroj: xkcd.com
Konzultace: Pokud něčemu nerozumíte, nebojte se zeptat! Kdykoliv osobně či on-line, po předchozí domluvě emailem. K dotazům můžete využít i kvízy.
Zápočet bude udělován za zápočet za aktivní přípravu spočívající v odevzdání alespoň 9 poctivých příprav, přičemž "poctivá příprava" znamená, že jste se seriózně pokusili o aspoň polovinu úloh a aspoň jednu úlohu jste vyřešili správně. Udělení zápočtu je v kompetenci cvičících.
Kvízy budou zadávány on-line každý týden po dobu distanční výuky. Jejich účelem je kontrolovat, zda studujete materiály průběžně. Termín vyplnění najdete v tabulce (typicky do další přednášky).
Kvízy se počítají se jako extra body ke zkoušce, jeden kvíz = maximálně jeden bod, celkem maximálně 10 bodů.
body z kvízů
Zde je podrobný popis zkoušky, včetně vzorového textu. !!NEW!!
|