\begin{align}
\end{align}
Důkazy pravidel derivování IV
V této podkapilole dokážeme pravidla pro derivování následujících elementárních funkcí:
- \(y = \ln{x}\);
- \(y = x^a\), kde \(a \in \mathbb R\);
- \(y = \log_a x\), kde \(a \in \mathbb R^{+}\setminus \{1\}\).
Dále dokážeme pravidlo pro derivaci funkce \(u\) pomocí derivace její inverzní funkce \(u^{-1}\):
- \(u^{\prime}(x) \; = \; \Large\frac{1}{(u^{-1})^{\prime}(u(x))}\).
Definice
Inverzní funkce k prosté funkci \(u\) je funkce označená jako \(u^{-1}\), pro kterou platí:
- \(D(u^{-1})=H(u)\) a zároveň
- každému \(y \in D(u^{-1})\) je přiřazeno právě to \(x \in D(u)\), pro které je \(u(x) = y\).
Věta
Nechť funkce \(u\) je monotónní a spojitá a nechť derivace \((u^{-1})^{\prime}(u(x))\) existuje a je různá od nuly.
Potom platí
\(u^{\prime}(x) \; = \; \Large\frac{1}{(u^{-1})^{\prime}(u(x))}\).
Důkaz
Bez důkazu budeme vycházet z předpokladu, že \(u^{\prime}(x)\) existuje.
Dále využijeme skutečnost, že \(u^{-1}(u(x)) = x\) pro všecha \(x \in D(u)\).
Víme, že
\([u^{-1}(u(x))]^{\prime} \; = \; [x]^{\prime} \; = \; 1\).
Levou stranu přepíšeme s využitím pravidla pro derivaci složené funkce a dostaneme
\((u^{-1})^{\prime}(u(x))\cdot u^{\prime}(x) \; = \; 1\).
Obě strany vydělíme výrazem \((u^{-1})^{\prime}(u(x))\) a dostaneme dokazovaný vztah
\(u^{\prime}(x) \; = \; \Large\frac{1}{(u^{-1})^{\prime}(u(x))}\).
Pro funkci \(f : y = \ln{x}\), \(x \in \mathbb R^{+}\), platí \(y^{\prime} = \Large\frac{1}{x}\).
Důkaz
Při důkazu se využije pravidlo pro derivaci funkce pomocí derivace inverzní funkce.
Pro přehlednost zápisu při užití pravidla pro derivaci složené funkce označme \(\exp(x) = e^x\).
Platí, že \(\exp^{\prime}(x)= \exp(x)\), neboť \((e^x)^{\prime}= e^x\). Funkce \(\exp(x)\) je inverzní k funkci \(\ln{x}\).
S využitím pravidla pro derivaci funkce pomocí derivace inverzní funkce víme, že
\(y^{\prime} \; = \; \ln^{\prime}(x) \; = \; \Large\frac{1}{\exp^{\prime}(\ln{x})}\),
což dále přepíšeme na
\(y^{\prime}\normalsize\; = \; \Large\frac{1}{\exp(\ln{x})} \normalsize \; = \; \Large\frac{1}{x}\).
Pro funkci \(f : y = x^a\), \(x \in \mathbb R^{+}\), \(a \in \mathbb R\), platí \(y^{\prime} = \large ax^{a-1}\).
Exponent není označen písmenem \(n\), protože písmeno \(n\) je vyhrazeno pro přirozená a celá čísla.
Důkaz
Při důkazu se využije pravidlo pro derivaci složené funkce a vztah
\(x^a = e^{a\ln{x}}\).
Pro přehlednost zápisu při užití pravidla pro derivaci složené funkce označme \(\exp(x) = e^x\).
Platí, že \(\exp^{\prime}(x)= \exp(x)\), neboť \((e^x)^{\prime}= e^x\).
Víme, že
\(y^{\prime}\normalsize\; = \; (\large x^a\normalsize )^{\prime} \; = \; [\large e^{a\ln{x}}\normalsize ]^{\prime} \; = \; [\exp(a\ln{x})]^{\prime}\),
což s využitím pravidla pro derivaci složené funkce přepíšeme na
\(y^{\prime} \; = \; \exp^{\prime}(a\ln{x})\cdot (a\ln{x})^{\prime} \; = \; \exp(a\ln{x})\cdot \Large\frac{a}{x}\normalsize \; =\)
\(= \; \large e^{a\ln{x}}\normalsize \cdot \Large\frac{a}{x} \normalsize \; = \; x^a\cdot \Large\frac{a}{x} \normalsize \; = \; ax^{a-1}\).
Pro funkci \(f : y = \log_a x\), \(x \in \mathbb R^{+}\), \(a \in \mathbb R^{+}\setminus \{1\}\), platí \(y^{\prime} = \Large\frac{1}{x\ln a}\).
Důkaz
Při důkazu se využije vztah
\(\log_a x = \Large\frac{\ln{x}}{\ln{a}}\).
Víme, že
\(y^{\prime}\normalsize\; = \; ({\log_a x})^{\prime} \; = \; \Large [ \frac{\ln{x}}{\ln{a}}]^{\prime}\),
což dále přepíšeme na
\(y^{\prime} \; = \; \Large\frac{(\ln{x})^{\prime}}{\ln{a}} \normalsize \; = \; \Large\frac{1}{x\ln a}\).
