Příklad 5: Stavba bazénu
Staví se termální bazén o objemu 96 \(\rm m^3\) se čtvercovým dnem. Náklady na stavbu dna jsou 300 Kč na metr čtvereční a náklady na stavbu bočních stěn jsou 800 Kč na metr čtvereční.
Jaké rozměry musí mít bazén, aby jeho stavba vyšla nejlevněji, a jaké budou náklady na jeho stavbu?
Řešení
Hloubku bazénu počítanou v metrech označíme proměnnou \(h\) a délku se šířkou počítané v metrech označíme proměnnou \(x\).
1. Nejdříve identifikujeme proměnnou, jejíž extrém budeme hledat, a typ extrému (maximum nebo minimum).
Minimalizujeme cenu. Označme tuto proměnnou písmenem \(c\) (jako cena).
Obsah dna v \({\rm m^2}\) je \(x^2.\)
Cena stavby dna v Kč je \(300 x^2.\)
Obsah bočních stěn \({\rm m^2}\) je \(4 x h.\)
Cena stavby bočních stěn v Kč je \(800 \cdot 4 x h = 3200 x h.\)
Celková cena v Kč je
\(c = 300 x^2 + 3200 x h.\)
2. Ze vztahů mezi proměnnými docílíme jejich redukce tak, aby proměnná, jejíž extrém hledáme, závisela jen na jedné nezávislé proměnné.
Objem \(V = x^2 h\), tedy \(h = \dfrac{V}{x^2}\).
Platí, že \(V = 96 \; {\rm m^3}.\) Proto
\(c = 300 x^2 + 3200\dfrac{V}{x} = 300 x^2 + \dfrac{307 \, 200}{x}.\)
3. Dále určíme definiční obor nezávislé proměnné \(x\), na níž závisí proměnná \(c\), jejíž extrém hledáme.
Proměnná \(x\) musí být kladná, nebo-li \(x \gt 0\). Také proměnná \(h\) musí být kladná. Pro všechna \(x\) kladná, však je \(h = 96/x^2\) také kladné, takže odtud žádnou další omezující podmínku na \(x\) nedostaneme.
Definiční obor proměnné \(x\) je
\(x \in (0, +\infty).\)
4. Nyní přepíšeme vztah \(c = 300 x^2 + 307 \, 200/x\) pro \(x \in (0, +\infty)\) do tvaru funkčního předpisu. Místo proměnné \(c\) napíšeme \(f(x)\). Z definičního oboru proměnné \(x\) stanovíme definiční obor funkce \(f.\)
\(f(x) = 300 x^2 + \dfrac{307 \, 200}{x}\) s definičním oborem \(D(f) = (0, +\infty).\)
5. Najdeme hledaný extrém.
Hledáme globální minimum. Platí, že \(f^{\prime}(x) = 600 x - 307 \, 200/x^2.\)
Vzhledem k tomu, že funkce \(f\) má definovanou derivaci na celém intervalu \(( 0, +\infty )\), tak body „podezřelými z extrému“ jsou pouze stacionární body funkce \(f\).
Stacionární body splňuji rovnici \(600 x - 307 \, 200/x^2 = 0\). Řešením z definičního oboru funkce \(f\) je
\(x = 8.\)
Ověříme, zda má funkce \(f\) ve stacionárním bodě \(x = 8\) globální minimum.
Funkce \(f\) je na intervalu \(( 0, +\infty )\) spojitá. Její derivace je na tomto intervalu všude definovaná. Navíc tam má jediný stacionární bod \(x = 8\). Proto přicházejí v úvahu pouze tyto možnosti:
(a) funkce \(f\) je na intervalu \(( 0, 8 \rangle\) klesající a na intervalu \(\langle 8, +\infty )\) rostoucí;
(b) funkce \(f\) je na intervalu \(( 0, 8 \rangle\) rostoucí a na intervalu \(\langle 8, +\infty )\) klesající;
(c) funkce \(f\) je na intervalu \(( 0, +\infty )\) buď jen rostoucí, nebo jen klesající.
Přitom jsme využili teorii z kapitoly Monotónnost a extrémy, podkapitoly Monotónnost tabulkovou metodou. Dále využijeme teorii z podkapitoly Lokální extrémy pomocí 2. derivace.
Určíme znaménko druhé derivace funkce \(f\) ve stacionárním bodě \(x = 8\):
\(f^{\prime\prime}(x) = 600 + 614 \, 400/x^3.\)
Platí, že \(f^{\prime\prime}(8) \gt 0\). To znamená, že funkce \(f\) má v bodě \(x = 8\) ostré lokální minimum.
Proto nemohou platit možnosti (b) a (c). Musí tedy platit možnost (a). To znamená, že funkce \(f\) má v bodě \(x = 8\) globální minimum.
6. Zapíšeme řešení.
Nejlevnější bazén musí mít rozměry 8 m krát 8 m (délka a šířka).
Hloubka bazénu musí být \(96/(8 \cdot 8)\) m, tedy 1,5 m.
Náklady na stavbu bazénu jsou \(f(8)\) Kč, tedy \(57\,600\) Kč.
Odkazy na příklady
