Tisková verze
\begin{align} \end{align}

Příklad 4: Rovnoramenný trojúhelník

Je dán rovnoramenný trojúhelník \(ABC\), ve kterém \(|AB| = |AC| = 1\). Nechť úhel při vrcholu \(A\) má velikost \(x\).

Jaké musí být \(x\), aby byl obsah trojúhelníku maximální?

 
 

Řešení

 

1. Nejdříve identifikujeme proměnnou, jejíž extrém budeme hledat, a typ extrému (maximum nebo minimum).

Maximalizujeme obsah trojúhelníku. Označme tuto proměnnou písmenem \(s\).

Délka základny \(BC\) je \(2\sin(x/2).\)
Výška k základně je \(\cos(x/2).\)
Obsah trojúhelníku je

\(s = \dfrac{2\sin(x/2)\cos(x/2)}{2} = \dfrac{\sin{x}}{2}.\)

 

2. Ze vztahů mezi proměnnými docílíme jejich redukce tak, aby proměnná, jejíž extrém hledáme, závisela jen na jedné nezávislé proměnné.

Zde nemusíme nic redukovat, neboť proměnná \(s\) závisí pouze na proměnné \(x.\)

 

3. Dále určíme definiční obor nezávislé proměnné \(x\), na níž závisí proměnná \(s\), jejíž extrém hledáme.

Ze součtu velikostí úhlů v trojúhelníku plyne, že definiční obor proměnné \(x\) je

\(x \in ( 0, \pi )\).

 

4. Nyní přepíšeme vztah \(s = \sin(x)/2\) pro \(x \in ( 0, \pi )\) do tvaru funkčního předpisu. Místo proměnné \(s\) napíšeme \(f(x)\). Z definičního oboru proměnné \(x\) stanovíme definiční obor funkce \(f.\)

\(f(x) = \dfrac{\sin{x}}{2}\) s definičním oborem \(D(f) = ( 0, \pi) .\)

 

5. Najdeme hledaný extrém.

Hledáme globální maximum. Platí, že \(f^{\prime}(x) = \dfrac{\cos{x}}{2}.\)

Vzhledem k tomu, že funkce \(f\) má definovanou derivaci na celém intervalu \(( 0, \pi )\), tak body „podezřelými z extrému“ jsou pouze stacionární body funkce \(f\).

Stacionární body splňuji rovnici \(\dfrac{\cos{x}}{2} = 0\). Řešením z definičního oboru funkce \(f\) je

\(x = \pi/2.\)

Ověříme, zda má funkce \(f\) ve stacionárním bodě \(x = \pi/2\) globální maximum.

Funkce \(f\) je na intervalu \(( 0, \pi )\) spojitá. Její derivace je na tomto intervalu všude definovaná. Navíc tam má jediný stacionární bod \(x = \pi/2\). Proto přicházejí v úvahu pouze tyto možnosti:

(a)  funkce \(f\) je na intervalu \(( 0, \pi/2 \rangle\) klesající a na intervalu \(\langle \pi/2, \pi )\) rostoucí;
(b)  funkce \(f\) je na intervalu \(( 0, \pi/2 \rangle\) rostoucí a na intervalu \(\langle \pi/2, \pi )\) klesající;
(c)  funkce \(f\) je na intervalu \(( 0, \pi )\) buď jen rostoucí, nebo jen klesající.

Přitom jsme využili teorii z kapitoly Monotónnost a extrémy, podkapitoly Monotónnost tabulkovou metodou. Dále využijeme teorii z podkapitoly Lokální extrémy pomocí 2. derivace.

Určíme znaménko druhé derivace funkce \(f\) ve stacionárním bodě \(x = \pi/2\):

\(f^{\prime\prime}(x) = -\dfrac{\sin{x}}{2}.\)

Platí, že \(f^{\prime\prime}(\pi/2) = -1/2 \lt 0\). To znamená, že funkce \(f\) má v bodě \(x = \pi/2\) ostré lokální maximum.

Proto nemohou platit možnosti (a) a (c). Musí tedy platit možnost (b). To znamená, že funkce \(f\) má v bodě \(x = \pi/2\) globální maximum.

 

6. Zapíšeme řešení.

Trojúhelník má maximální obsah pro \(x = \dfrac{\pi}{2}.\)

 

Odkazy na příklady

 
Př. 1: Cesta na staveniště Př. 6: Trojúhelník pod parabolou
Př. 2: Oplocení Př. 7: Vitráž
Př. 3: Rovnoběžník vepsaný do obdélníku Př. 8: Vzdálenost dvou bodů na dvou křivkách
* Př. 4: Rovnoramenný trojúhelník Př. 9: Vzdálenost dvou pohybujících se osob
Př. 5: Stavba bazénu Př. 10: Vzdálenost pevného bodu a bodu na křivce