Příklad 8: Vzdálenost dvou bodů na dvou křivkách
Jsou dány grafy funkcí \(\; y = x/2 + 2\;\) a \(\; y = \sqrt{2x}\). Přímka rovnoběžná s osou \(y\) protíná graf první funkce v bodě \(A\) a graf druhé funkce v bodě \(B\).
Pro jaké \(x\) bude délka úsečky \(AB\) minimální a jaká délka to bude?
Pomůcka pro řešení: Bod \(A\) leží vždy nad bodem \(B.\)
Řešení
Platí, že \(\; A = [x,x/2+2]\;\) a \(\; B = [x,\sqrt{2x}].\)
1. Nejdříve identifikujeme proměnnou, jejíž extrém budeme hledat, a typ extrému (maximum nebo minimum).
Minimalizujeme délku úsečky \(AB\). Označme tuto proměnnou písmenem \(d\) (jako délka).
Délka úsečky je
\(d = x/2+2-\sqrt{2x}.\)
2. Ze vztahů mezi proměnnými docílíme jejich redukce tak, aby proměnná, jejíž extrém hledáme, závisela jen na jedné nezávislé proměnné.
Zde nemusíme nic redukovat, neboť proměnná \(d\) závisí pouze na proměnné \(x.\)
3. Dále určíme definiční obor nezávislé proměnné \(x\), na níž závisí proměnná \(d\), jejíž extrém hledáme.
Funkce \(y = x/2 + 2\) má definiční obor \((-\infty, +\infty )\). Funkce \(y = \sqrt{2x}\) má definiční obor \(x \in \langle 0, +\infty )\). Musíme udělat průnik obou definičních oborů. Je zřejmé, že definiční obor proměnné \(x\) je
\(x \in \langle 0, +\infty )\).
4. Nyní přepíšeme vztah \(d = x/2+2-\sqrt{2x}\) pro \(x \in \langle 0, +\infty )\) do tvaru funkčního předpisu. Místo proměnné \(d\) napíšeme \(f(x)\). Z definičního oboru proměnné \(x\) stanovíme definiční obor funkce \(f.\)
\(f(x) = \dfrac{x}{2}+2-\sqrt{2x}\) s definičním oborem \(D(f) = \langle 0, +\infty ).\)
5. Najdeme hledaný extrém.
Pro výpočet derivací připomínáme, že platí: \(\;\sqrt{2x} = (2x)^{1/2}\;\) a \(\;\dfrac{1}{\sqrt{2x}} = (2x)^{-1/2}.\)
Hledáme globální minimum. Platí, že \(f^{\prime}(x) = \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{\sqrt{2x}}.\)
Vzhledem k tomu, že funkce \(f\) má definovanou derivaci na celém intervalu \(( 0, +\infty )\), tak body „podezřelými z extrému“ jsou pouze stacionární body funkce \(f\) a levý krajní bod intervalu \(\langle 0, +\infty )\), tj. \(x = 0\).
Stacionární body splňuji rovnici \(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{\sqrt{2x}} = 0\). Řešením z definičního oboru funkce \(f\) je
\(x = 2.\)
Ověříme, zda má funkce \(f\) ve stacionárním bodě \(x = 2\) globální minimum.
Funkce \(f\) je na intervalu \(\langle 0, +\infty )\) spojitá. Její derivace je na intervalu \(( 0, +\infty )\) všude definovaná. Navíc tam má funkce \(f\) jediný stacionární bod \(x = 2\). Proto přicházejí v úvahu pouze tyto možnosti:
(a) funkce \(f\) je na intervalu \(\langle 0, 2 \rangle\) klesající a na intervalu \(\langle 2, +\infty )\) rostoucí;
(b) funkce \(f\) je na intervalu \(\langle 0, 2 \rangle\) rostoucí a na intervalu \(\langle 2, +\infty )\) klesající;
(c) funkce \(f\) je na intervalu \(\langle 0, +\infty )\) buď jen rostoucí, nebo jen klesající.
Přitom jsme využili teorii z kapitoly Monotónnost a extrémy, podkapitoly Monotónnost tabulkovou metodou. Dále využijeme teorii z podkapitoly Lokální extrémy pomocí 2. derivace.
Určíme znaménko druhé derivace funkce \(f\) ve stacionárním bodě \(x = 2\):
\(f^{\prime\prime}(x) = \dfrac{1}{\sqrt{(2x)^3}}.\)
Platí, že \(f^{\prime\prime}(2) = 1/8 \gt 0\). To znamená, že funkce \(f\) má v bodě \(x = 2\) ostré lokální minimum.
Proto nemohou platit možnosti (b) a (c). Musí tedy platit možnost (a). To znamená, že funkce \(f\) má v bodě \(x = 2\) globální minimum.
6. Zapíšeme řešení.
Délka úsečky \(AB\) bude minimální, budou-li protnuty oba grafy přímkou o rovnici \(x = 2.\)
Délka úsečky v tomto případě činí \(f(2) = 1.\)
Odkazy na příklady
