Derivace

$\begin{align} \end{align}$

Lokální extrémy tabulkovou metodou

Tato podkapitola navazuje na podkapitolu Monotónnost tabulkovou metodou. Naučíte se zde nalézat lokální extrémy různých funkcí tabulkovou metodou. Opět zde platí předpoklady uvedené v podkapitole Předpoklady, kde je také vysvětlen pojem interval spojitosti, který se v celé této podkapitole využívá.

Nejprve je uvedena teorie a pak příklady a úlohy.

Teoretická část

Definice

Funkce $f$ má v bodě $x_0$ lokální maximum, existuje-li takové okolí ${\rm U}(x_0)$ bodu $x_0$ , že pro všechna $x$ z ${\rm U}(x_0) \cap D(f)$ platí: $f(x) \leq f(x_0)$ .

Funkce $f$ má v bodě $x_0$ lokální minimum, existuje-li takové okolí ${\rm U}(x_0)$ bodu $x_0$ , že pro všechna $x$ z ${\rm U}(x_0) \cap D(f)$ platí: $f(x) \geq f(x_0)$ .

Definice

Platí-li v nerovnostech uvedených v předchozí definici rovnost jen pro $x = x_0$ , pak říkáme, že funkce $f$ má v bodě $x_0$ ostré lokální maximum, resp. ostré lokální minimum.

Lokální maximum a lokální minimum, resp. ostré lokální maximum a ostré lokální minimum, nazýváme lokální extrémy, resp. ostré lokální extrémy.

Věta

Nechť funkce $f$ je definovaná a spojitá v nějakém okolí bodu $x_0$ .

Pokud je v nějakém levém okolí tohoto bodu rostoucí a v nějakém pravém okolí tohoto bodu klesající, má funkce v tomto bodě ostré lokální maximum, viz následující obrázek:

ostre lokalni maximum

Pokud je v nějakém levém okolí tohoto bodu klesající a v nějakém pravém okolí tohoto bodu rostoucí, má funkce v tomto bodě ostré lokální minimum, viz následující obrázek:

ostre lokalni minimum

Věta

Nechť funkce $f$ je definovaná a spojitá v nějakém levém okolí bodu $x_0$ a nechť existuje číslo $\delta \gt 0$ tak, že funkce $f$ není definovaná na otevřeném intervalu $(x_0,x_0+\delta)$ . Pak platí následující dvě tvrzení:

Pokud je v nějakém levém okolí bodu $x_0$ rostoucí, pak má funkce $f$ v tomto bodě ostré lokální maximum, viz následující obrázky:

ostre lokalni maximum, varianta 1

Pokud je v nějakém levém okolí bodu $x_0$ klesající, pak má funkce $f$ v tomto bodě ostré lokální minimum, viz následující obrázky:

ostre lokalni minimum, varianta 1

Obdobná tvrzení platí, je-li $f$ definovaná a spojitá v nějakém pravém okolí bodu $x_0$ a existuje-li číslo $\delta \gt 0$ tak, že $f$ není definovaná na otevřeném intervalu $(x_0-\delta,x_0)$ .

Tabulková metoda pro hledání ostrých lokálních extrémů:

Využije se stejné metody jako při hledání intervalů monotónnosti s tím, že se navíc uplatní výše uvedené dvě věty.
Pozor: Omezíme-li v zadání interval, na kterém je funkce zkoumána, bereme to jako omezení definičního oboru dané funkce. Proto tomu také přizpůsobíme intervaly spojitosti, viz Příklad 2.

Příklady a úlohy

Značení

V následujících příkladech a úlohách budeme používat tato značení:

M	.....	bod, v němž zkoumaná funkce nabývá ostré lokální maximum;
m	.....	bod, v němž zkoumaná funkce nabývá ostré lokální minimum.

Příklad 1

Najděte body, v nichž má funkce $f: y = x^2 + 6x + 9$ na intervalu $(-\infty,+\infty)$ ostré lokální extrémy.

graf funkce

Řešení

Intervaly spojitosti: $(-\infty,+\infty)$ .
Derivace: $f^{\prime}(x) = 2x + 6$ .
Body z intervalů spojitosti, v nichž není derivace definována: žádné.
Stacionární body z intervalů spojitosti (řešení rovnice $2x + 6 = 0$ ): $-3$ .
Tabulka:

$(-\infty,-3)$	$-3$	$(-3, +\infty)$
$f^{\prime}(-4) = -2 \lt 0$ klesající	m	$f^{\prime}(-2) = 2 \gt 0$ rostoucí

Závěr: Funkce $f$ má ostré lokální minimum v bodě $x = -3$ .

Úloha 1

Najděte body, v nichž má funkce $f: y = -x^2 + 2x - 2$ na intervalu $(-\infty,+\infty)$ ostré lokální extrémy.

schéma grafu funkce

Intervaly spojitosti: $(-\infty,+\infty)$ .
Derivace: $f^{\prime}(x) = -2x + 2$ .
Body z intervalů spojitosti, v nichž není derivace definována: žádné.
Stacionární body z intervalů spojitosti (řešení rovnice $2x - 2 = 0$ ): $1$ .
Tabulka:

$(-\infty, 1)$	$1$	$(1, +\infty)$
$f^{\prime}(0) = 2 \gt 0$ rostoucí	M	$f^{\prime}(2) = -2 \lt 0$ klesající

Závěr:

Příklad 2

Najděte body, v nichž má funkce $f: y = x - e^x$ na intervalu $\langle {-10},14)$ ostré lokální extrémy.

graf funkce

Řešení

Intervaly spojitosti: $\langle {-10},14)$ .
Derivace: $f^{\prime}(x) = 1 - e^x$ .
Body z intervalů spojitosti, v nichž není derivace definována: žádné.
Stacionární body z intervalů spojitosti (řešení rovnice $1 - e^x = 0$ ): $0$ .
Tabulka:

$-10$	$(-10,0)$	$0$	$(0, 14)$
m	$f^{\prime}(-1) = 1-{\Large\frac{1}{e}} \gt 0$ rostoucí	M	$f^{\prime}(1) = 1 - e \lt 0$ klesající

Závěr: Funkce $f$ má ostré lokální minimum v bodě $x = -10$ a ostré lokální maximum v bodě $x = 0$ .

Úloha 2

Najděte body, v nichž má funkce $f: y = x e^x$ na intervalu $(-5,8 \rangle$ ostré lokální extrémy.

graf funkce

Intervaly spojitosti: $(-5,8 \rangle$ .
Derivace: $f^{\prime}(x) = (x +1)e^x$ .
Body z intervalů spojitosti, v nichž není derivace definována: žádné.
Stacionární body z intervalů spojitosti (řešení rovnice $x + 1 = 0$ ): $-1$ .
Tabulka:

$(-5, -1)$	$-1$	$(-1, 8)$	$8$
	m	$f^{\prime}(0) = 1 \gt 0$ rostoucí	M

Závěr:

Příklad 3

Najděte body, v nichž má funkce $f: y = 2x^3+3x^2 -12x$ na intervalu $\langle {-7},6 \rangle$ ostré lokální extrémy.

Řešení

Intervaly spojitosti: $\langle {-7},6 \rangle$ .
Derivace: $f^{\prime}(x) = 6(x^2+x-2)$ .
Body z intervalů spojitosti, v nichž není derivace definována: žádné.
Stacionární body z intervalů spojitosti (řešení rovnice $x^2+x-2 = 0$ ): $-2; 1$ .
Tabulka:

$-7$	$(-7, -2)$	$-2$	$(-2, 1)$	$1$	$(1, 6)$	$6$
m	$f^{\prime}(-3) = 24 \gt 0$ rostoucí	M	$f^{\prime}(0) = -12 \lt 0$ klesající	m	$f^{\prime}(2) = 24 \gt 0$ rostoucí	M

Závěr: Funkce $f$ má ostré lokální minimum v bodě $x = -7$ a v bodě $x = 1$ a ostré lokální maximum v bodě $x = -2$ a v bodě $x = 6$ .

Úloha 3

Najděte body, v nichž má funkce $f: y = x^3-3x^2 + 3$ na intervalu $\langle {-15},26 \rangle$ ostré lokální extrémy.

schéma grafu funkce

Intervaly spojitosti: $\langle {-15},26 \rangle$ .
Derivace: $f^{\prime}(x) = 3(x^2 - 2x)$ .
Body z intervalů spojitosti, v nichž není derivace definována: žádné.
Stacionární body z intervalů spojitosti (řešení rovnice $x^2 - 2x = 0$ ): $0; 2$ .
Tabulka:

$-15$	$(-15, 0)$	$0$	$(0, 2)$	$2$	$(2, 26)$	$26$
m	$f^{\prime}(-1) = 9 \gt 0$ rostoucí	M	$f^{\prime}(1) = -3 \lt 0$ klesající	m	$f^{\prime}(3) = 9 \gt 0$ rostoucí	M

Závěr:

Příklad 4

Najděte body, v nichž má funkce $f: y = x + \cos{x}$ na intervalu $\langle \Large\frac{\pi}{2}\normalsize,3\pi)$ ostré lokální extrémy.

graf funkce

Řešení

Intervaly spojitosti: $\langle \Large\frac{\pi}{2}\normalsize,3\pi)$ .
Derivace: $f^{\prime}(x) = 1-\sin{x}$ .
Body z intervalů spojitosti, v nichž není derivace definována: žádné.
Stacionární body z intervalů spojitosti (řešení rovnice $\sin{x} = 1$ ): ${\Large\frac{\pi}{2}}; 2\pi+\Large\frac{\pi}{2}$ .
Tabulka:

$\Large\frac{\pi}{2}$	$({\Large\frac{\pi}{2}},2\pi+{\Large\frac{\pi}{2}} )$	$2\pi+\Large\frac{\pi}{2}$	$(2\pi+{\Large\frac{\pi}{2}}, 3\pi)$
m	$f^{\prime}(\pi) = 1 \gt 0$ rostoucí		$f^{\prime}(3\pi) = 1 \gt 0$ rostoucí

Závěr: Funkce $f$ má ostré lokální minimum v bodě $x = \Large\frac{\pi}{2}$ a žádné lokální maximum.

Poznámka

Asi jste si všimli, že jsme monotónnost funkce $f$ na intervalu $(2\pi+{\Large\frac{\pi}{2}}, 3\pi)$ testovali pomocí hodnoty derivace v krajním bodě, který do tohoto intervalu nepatří. Tento postup je povolený za předpokladu, že je derivace v krajním bodě definovaná a nenulová.

Úloha 4

Najděte body, v nichž má funkce $f: y = x + \sin{x}$ na intervalu $(0,3\pi \rangle$ ostré lokální extrémy.

schéma grafu funkce

Intervaly spojitosti: $(0,3\pi \rangle$ .
Derivace: $f^{\prime}(x) = 1+\cos{x}$ .
Body z intervalů spojitosti, v nichž není derivace definována: žádné.
Stacionární body z intervalů spojitosti
Tabulka:

$(0,\pi)$	$\pi$	$(\pi, 3\pi)$	$3\pi$
$f^{\prime}(0) = 2 \gt 0$ rostoucí		$f^{\prime}(2\pi) = 2 \gt 0$ rostoucí	M

Závěr:

Příklad 5

Najděte body, v nichž má funkce $f: y = e^x(x^2-4x+1)$ na intervalu $(-\infty,3)$ ostré lokální extrémy.

Řešení

Intervaly spojitosti: $(-\infty,3)$ .
Derivace: $f^{\prime}(x) = e^x(x^2-2x-3)$ .
Body z intervalů spojitosti, v nichž není derivace definována: žádné.
Stacionární body z intervalů spojitosti (řešení rovnice $x^2-2x-3 = 0$ ): $-1$ .
Tabulka:

$(-\infty,-1)$	$-1$	$(-1, 3)$
$f^{\prime}(-2) = 5e^{-2} \gt 0$ rostoucí	M	$f^{\prime}(0) = -3 \lt 0$ klesající

Závěr: Funkce $f$ má ostré lokální maximum v bodě $x = -1$ a žádné lokální minimum.

Úloha 5

Najděte body, v nichž má funkce $f: y = e^{-x}(-x^2-5x-5)$ na intervalu $(-3,+\infty)$ ostré lokální extrémy.

Intervaly spojitosti: $(-3,\infty)$ .
Derivace: $f^{\prime}(x) = e^{-x}(x^2+3x)$ .
Body z intervalů spojitosti, v nichž není derivace definována: žádné.
Stacionární body z intervalů spojitosti (řešení rovnice $x^2+3x = 0$ ): $0$ .
Tabulka:

$(-3,0)$	$0$	$(0, +\infty)$
$f^{\prime}(-1) = -2e \lt 0$ klesající	m	$f^{\prime}(1) = 4e^{-1} \gt 0$ rostoucí

Závěr:

Příklad 6

Najděte body, v nichž má funkce $f: y = \Large\frac{x^2+x+4}{x+1}$ na intervalu $\langle {-3},3)$ ostré lokální extrémy.

graf funkce

Řešení

Čitatel v předpisu zadané funkce lze vydělit jmenovatelem. Dostaneme, že $y = x + \Large\frac{4}{x+1}$ .

Intervaly spojitosti: $\langle {-3}, -1)$ a $(-1, 3)$ .
Derivace: $f^{\prime}(x) = 1-\Large\frac{4}{(x+1)^2}$ .
Body z intervalů spojitosti, v nichž není derivace definována: žádné.
Stacionární body z intervalů spojitosti (řešení rovnice $1-\Large\frac{4}{(x+1)^2}\normalsize = 0$ ): $-3; 1$ .
Dvě tabulky: jedna pro interval $\langle {-3}, -1)$ a druhá pro interval $(-1, 3)$ .

$-3$	$(-3, -1)$
M	$f^{\prime}(-2) = -3 \lt 0$ klesající

$(-1, 1)$	$1$	$(1, 3)$
$f^{\prime}(0) = -3 \lt 0$ klesající	m	$f^{\prime}(2) = \frac{5}{9} \gt 0$ rostoucí

Závěr: Funkce $f$ má ostré lokální maximum v bodě $x = -3$ a ostré lokální minimum v bodě $x = 1$ .

Úloha 6

Najděte body, v nichž má funkce $f: y = \Large\frac{-x^2-9}{x}$ na intervalu $(-20,3 \rangle$ ostré lokální extrémy.

Intervaly spojitosti: $(-20, 0)$ a $(0, 3 \rangle$ .
Derivace: $f^{\prime}(x) = -1+\Large\frac{9}{x^2}$ .
Body z intervalů spojitosti, v nichž není derivace definována: žádné.
Stacionární body z intervalů spojitosti
Dvě tabulky:

$(-20, -3)$	$-3$	$(-3, 0)$
	m	$f^{\prime}(-1) = 8 \gt 0$ rostoucí

$(0, 3)$	$3$
$f^{\prime}(1) = 8 \gt 0$ rostoucí	M

Závěr:

Příklad 7

Najděte body, v nichž má funkce $f: y = {\Large\frac{1}{x-1}}-x^3$ na intervalu $(-30,100)$ ostré lokální extrémy.

schéma grafu funkce

Řešení

Intervaly spojitosti: $(-30, 1)$ a $(1, 100)$ .
Derivace: $f^{\prime}(x) = -{\Large\frac{1}{(x-1)^2}}-3x^2$ .
Poznámka: Všimněte si, že $-{\Large\frac{1}{(x-1)^2}}$ a $-3x^2$ jsou pro $x \neq 1$ vždy záporná.
Body z intervalů spojitosti, v nichž není derivace definována: žádné.
Stacionární body z intervalů spojitosti: žádné.
Dvě tabulky: jedna pro interval $(-30, 1)$ a druhá pro interval $(1, 100)$ .

$(-30, 1)$
$f^{\prime}(0) = -1 \lt 0$ klesající

$(1, 100)$
$f^{\prime}(2) = -13 \lt 0$ klesající

Závěr: Funkce $f$ nemá žádné lokální extrémy.

Úloha 7

Najděte body, v nichž má funkce $f: y = e^x-{\Large\frac{1}{(x+2)^3}}$ na intervalu $\langle {-5},5 \rangle$ ostré lokální extrémy.

Intervaly spojitosti: $\langle {-5}, -2)$ a $(-2, 5 \rangle$ .
Derivace:
Poznámka:
Body z intervalů spojitosti, v nichž není derivace definována: žádné.
Stacionární body z intervalů spojitosti: žádné.
Dvě tabulky:

$-5$	$(-5, -2)$
m	$f^{\prime}(-3) \gt 0$ rostoucí

$(-2, 5)$	$5$
$f^{\prime}(-1) \gt 0$ rostoucí	M

Závěr:

Příklad 8

Najděte body, v nichž má funkce $f: y = -2x+e^{-2x}$ na intervalu $(-\infty,0 \rangle$ ostré lokální extrémy.

Řešení

Intervaly spojitosti: $(-\infty,0 \rangle$ .
Derivace: $f^{\prime}(x) = -2-2e^{-2x}$ .
Poznámka: Všimněte si, že $-2e^{-2x}$ je pro všechna $x$ záporné.
Body z intervalů spojitosti, v nichž není derivace definována: žádné.
Stacionární body z intervalů spojitosti: žádné.
Tabulka:

$(-\infty, 0)$	$0$
$f^{\prime}(-1) \lt 0$ klesající	m

Závěr: Funkce $f$ má ostré lokální minimum v bodě $x = 0$ a žádné lokální maximum.

Úloha 8

Najděte body, v nichž má funkce $f: y = e^{3x}+\ln{x}$ na intervalu $(1,+\infty)$ ostré lokální extrémy.

Intervaly spojitosti: $(1,+\infty)$ .
Derivace:
Poznámka:
Body z intervalů spojitosti, v nichž není derivace definována: žádné.
Stacionární body z intervalů spojitosti: žádné.
Tabulka:

$(1, \infty)$
$f^{\prime}(2) \gt 0$ rostoucí

Závěr:

Příklad 9

Najděte body, v nichž má funkce $f: y = |x+2|-2$ na intervalu $(-4,1 \rangle$ ostré lokální extrémy.

graf funkce

Řešení

Intervaly spojitosti: $(-4,1 \rangle$ .
Derivace: $f^{\prime}(x) = -1$ pro $x \lt -2$ a $f^{\prime}(x) = 1$ pro $x \gt -2$ .
Body z intervalů spojitosti, v nichž není derivace definována: $-2$ .
Stacionární body z intervalů spojitosti (řešení rovnice $f^{\prime}(x) = 0$ ): žádné.
Tabulka:

$(-4, -2)$	$-2$	$(-2, 1)$	$1$
$f^{\prime}(-3) = -1 \lt 0$ klesající	m	$f^{\prime}(-1) = 1 \gt 0$ rostoucí	M

Závěr: Funkce $f$ má ostré lokální minimum v bodě $x = -2$ a ostré lokální maximum v bodě $x = 1$ .

Úloha 9

Najděte body, v nichž má funkce $f: y = 3-|x-1|$ na intervalu $\langle {-1},2 \rangle$ ostré lokální extrémy.

graf funkce

Intervaly spojitosti: $\langle {-1},2 \rangle$ .
Derivace:
Body z intervalů spojitosti, v nichž není derivace definována: $1$ .
Stacionární body z intervalů spojitosti
Tabulka:

$-1$	$(-1, 1)$	$1$	$(1, 2)$	$2$
m	$f^{\prime}(0) = 1 \gt 0$ rostoucí	M	$f^{\prime}(1.5) = -1 \lt 0$ klesající	m

Závěr:

Derivace

Lokální extrémy tabulkovou metodou

Teoretická část

Příklady a úlohy

Značení

Příklad 1

Úloha 1

Příklad 2

Úloha 2

Příklad 3

Úloha 3

Příklad 4

Úloha 4

Příklad 5

Úloha 5

Příklad 6

Úloha 6

Příklad 7

Úloha 7

Příklad 8

Úloha 8

Příklad 9

Úloha 9

Titulní strana

Úvod

Zavedení derivace

Pravidla derivování

Monotónnost a extrémy

Konvexnost a konkávnost

L'Hospitalova pravidla

Průběh funkce

Optimalizace

Terminologie

Literatura
a webové odkazy

Tlačítka a značení

Rejstřík